高二數(shù)學(xué)空間幾體何及其表面積與體積

第十單元立體幾何Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.第一節(jié)空間幾何體及其表面積與體積Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.基礎(chǔ)梳理1.直棱柱、正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的概念及側(cè)面積公式名稱概念側(cè)面積公式直棱柱與正棱柱側(cè)棱和底面______的棱柱叫做直棱柱底面是________的直棱柱叫做正棱柱.S直棱柱側(cè)＝____正棱錐底面是________，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是_________的棱錐叫做正棱錐S正棱錐側(cè)＝______正棱臺(tái)正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做正棱臺(tái).S正棱臺(tái)側(cè)＝________(c＋c′)h′垂直正多邊形ch正多邊形底面的中心ch′Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.2.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積及表面積名稱側(cè)面積公式表面積公式圓柱S側(cè)＝____＝______S＝______圓錐S側(cè)＝______＝______S＝______圓臺(tái)S側(cè)＝_________＝________S＝________________球S＝______πrl

cl2πrl2πr(r＋l)π(r＋r′)lπr(r＋l)(c＋c′)l4πR2

π[(r＋r′)l＋(r2＋r′2)]Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.3.簡(jiǎn)單幾何體的體積名稱體積公式柱體V＝____________錐體V＝____________臺(tái)體V＝____________球V＝____________Sh

πR3

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的中心角為90°，母線長(zhǎng)為2，則此圓錐的底面半徑為_(kāi)_______．解析：側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為2×＝π，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝π，解得r＝.

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.2.(必修2P49練習(xí)1改編)已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)是3，體對(duì)角線長(zhǎng)是3，則這個(gè)正四棱柱的側(cè)面積為_(kāi)_______．解析：設(shè)正四棱柱的高為h，由題意有h2＋32＋32＝(3)2，則h＝3，則正四棱柱的側(cè)面積為S側(cè)＝ch＝4×3×3＝.

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.3.與正方體各面都相切的球，它的表面積與正方體的表面積之比為_(kāi)_______．

π∶6

解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則球的直徑為a，則S球＝πa2，S正方體＝6a2，所以Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.4.(必修2P54練習(xí)1改編)用一張長(zhǎng)為8cm，寬為4cm的矩形鐵皮圍成圓柱形的側(cè)面，則這個(gè)圓柱的體積為_(kāi)________________．cm3或cm3

解析：分兩種情況討論：①用8cm的邊圍成圓柱的底，則圓柱的底面半徑為r＝＝，則圓柱的體積為V＝πr2h＝π×2×4＝cm3；②用4cm的邊圍成圓柱的底，則圓柱的底面半徑為r＝＝，則圓柱的體積為V＝πr2h＝π×2×8＝cm3.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.5.圓臺(tái)的上、下底面面積分別是π，4π，側(cè)面積是6π，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是________．解析：由題意知，圓臺(tái)上底半徑r＝1，下底半徑R＝2，

∵S側(cè)＝6π，設(shè)母線長(zhǎng)為l，則π(1＋2)l＝6π，則l＝2，所以圓臺(tái)的高為h＝，則圓臺(tái)的體積Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.經(jīng)典例題題型一幾何體的表面積【例1】已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩底面邊長(zhǎng)分別為30cm和20cm，其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺(tái)的高．分析：要求正棱臺(tái)的高，首先要畫(huà)出正棱臺(tái)的高，使其包含在某一個(gè)平面圖形中，轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題，將空間中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中的問(wèn)題是解決立體幾何的核心思想．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.解：正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，O，O1為兩底面的中心，D，D1分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，則DD1為棱臺(tái)的斜高．由題意知AB＝30，A1B1＝20，則O1D1＝，OD＝，又S側(cè)＝S上底＋S下底，有×(20＋30)×DD1×3＝×(202＋302)，解得DD1＝.在直角梯形O1ODD1中，O1O＝，所以棱臺(tái)的高為.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.變式1－1(2011·徐州三模)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以BC邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體的側(cè)面積為_(kāi)_______．解析：以BC為軸旋轉(zhuǎn)一周形成底面半徑為2，高為3的圓柱面，則其側(cè)面積為S側(cè)＝2πrl＝12π.12π

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.變式1－2(2009·全國(guó))直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，則此球的表面積等于________．20π

解析：在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝2，由正弦定理，可得△ABC外接圓半徑r＝2，設(shè)此圓圓心為O′，球心為O，在Rt△OBO′中，易得球半徑R＝，故此球的表面積為4πR2＝20π.

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.題型二幾何體的體積問(wèn)題【例2】已知正三棱錐P-ABC的底邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為5，求正三棱錐P-ABC的體積和側(cè)面積．分析：要求正三棱錐的體積，要先求其高，根據(jù)正三棱錐的定義知，頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影是底面的中心，可作出高．

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.解：設(shè)底面三角形ABC的中心為O，則PO⊥面ABC，即PO是高．延長(zhǎng)CO交AB于D，如圖，則D是AB中點(diǎn)，CD＝3，由于O是中心，且是重心，所以CO＝2，則在直角三角形POC中，PO＝，則正三棱錐P-ABC的體積為V＝.因?yàn)檎釶-ABC的側(cè)面是三個(gè)全等的等腰三角形，且該等腰三角形的底長(zhǎng)為6，腰長(zhǎng)為5，則其高為，則正三棱錐P-ABC的側(cè)面積為S側(cè)＝3××6×4＝36，所以正三棱錐P-ABC的體積為3，側(cè)面積為36.

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.變式2－1(2011·如東中學(xué)期中考試)如圖所示，四棱錐PABCD中，ABCD是矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD＝90°，平面APD⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝2，E是PC中點(diǎn)．求三棱錐EPBD的面積．

解：過(guò)P點(diǎn)作PO⊥AD于O，由平面APD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.∵△PAD為等腰直角三角形且AB＝1，AD＝2，∴PO＝1.VEPBD＝VDPBE＝VPDBC＝VPABCD＝·S矩形ABCD·PO＝.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.題型三幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題【例3】圓錐母線長(zhǎng)為6cm，底面直徑為3cm，在母線SA上有一點(diǎn)B，AB＝2cm，那么由A點(diǎn)繞圓錐側(cè)面一周到B點(diǎn)的最短距離為_(kāi)_______．分析：兩點(diǎn)之間直線段最短，由題意要由A點(diǎn)繞圓錐側(cè)面一周到B點(diǎn)，所以需要將此圓錐沿SA側(cè)面展開(kāi)．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.解：作出如圖所示的側(cè)面展開(kāi)圖，則所求最短距離為線段A′B，弧的長(zhǎng)為3p，則∠A′SB=90°，SA=6，SB=4，由勾股定理有A′B2=42+62=52，則A′B=2cm.

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.連接高考(2010·上海)已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為6的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，則該四棱椎的體積是________．知識(shí)準(zhǔn)備：1.要知道錐體的體積