高二數(shù)學(xué)空間中向量的概念和運(yùn)算

3．1空間中向量的概念和運(yùn)算

3.1課堂互動(dòng)講練知能優(yōu)化訓(xùn)練課前自主學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示方法和字母表示方法．2．掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，數(shù)量積．3．能運(yùn)用運(yùn)算法則及運(yùn)算律解決一些簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題．課前自主學(xué)案溫故夯基1．平面上有______和______的量叫作向量，方向相同且模_____的向量稱(chēng)為相等向量．2．向量可以進(jìn)行加減和數(shù)乘運(yùn)算，向量加法滿(mǎn)足_______律和______律．大小方向相等交換結(jié)合1．空間向量(1)空間向量的定義在空間，把具有______和______的量叫作空間向量，向量的_______叫作向量的長(zhǎng)度或模．知新益能大小方向大小長(zhǎng)度1．空間兩向量的加減法與平面內(nèi)兩向量的加減法完全一樣嗎？提示：一樣．因?yàn)榭臻g中任意兩個(gè)向量均可平移到同一個(gè)平面內(nèi)，所以空間向量與平面向量加減法均可以用三角形或平行四邊形法則，是一樣的．思考感悟3．空間向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝_______.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．4．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)定義：實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積______仍然是一個(gè)________，稱(chēng)為向量的數(shù)乘運(yùn)算．(2)向量a與λa的關(guān)系向量b＋aλaλ的范圍方向關(guān)系模的關(guān)系λ>0方向相同λa的模是a的模的|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ<0方向相反∠AOBλa＋λb數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c思考感悟2．(1)兩個(gè)向量a、b垂直的充要條件是a·b＝0，對(duì)嗎？(2)若a·b＝0，則a＝0或b＝0，對(duì)嗎？提示：(1)不對(duì)；(2)不對(duì)．課堂互動(dòng)講練空間向量的加減運(yùn)算考點(diǎn)突破(1)計(jì)算兩個(gè)空間向量的和或差時(shí)，與平面向量完全相同．運(yùn)算中掌握好三角形法則和平行四邊形法則是關(guān)鍵．(2)計(jì)算三個(gè)或多個(gè)空間向量的和或差時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：①三角形法則和平行四邊形法則；②正確使用運(yùn)算律；③有限個(gè)向量順次首尾相連，則從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即表示這有限個(gè)向量的和向量．例1【名師點(diǎn)評(píng)】化簡(jiǎn)向量表達(dá)式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則．在化簡(jiǎn)過(guò)程中遇到減法時(shí)可靈活應(yīng)用相反向量轉(zhuǎn)化成加法，也可按減法法則進(jìn)行運(yùn)算，加、減法之間可相互轉(zhuǎn)化．空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算空間向量加法、減法、數(shù)乘向量的意義及運(yùn)算律與平面向量類(lèi)似．例2【思路點(diǎn)撥】連接AM得到△ADM，利用線(xiàn)段中點(diǎn)的向量表示和三角形的重心的意義，在△ADM中開(kāi)始進(jìn)行向量運(yùn)算．(1)對(duì)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①要準(zhǔn)確區(qū)分兩向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)與數(shù)乘向量實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)之積之間的差異．②數(shù)量積運(yùn)算不滿(mǎn)足消去律．若a、b、c(b≠0)為實(shí)數(shù)，ab＝bc?a＝c；但對(duì)于向量，就不正確，即a·b＝b·c

a＝c.由圖可以看出．向量的數(shù)量積及應(yīng)用例3

如圖所示，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，(1)求AC1的長(zhǎng)；(2)證明：AC1⊥BD.自我挑戰(zhàn)2在三棱錐S-ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，求證：SC⊥AB.1．在運(yùn)用空間向量的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)向量表達(dá)式時(shí)，要結(jié)合空間圖形，觀(guān)察分析各向量在圖形中的表示，運(yùn)用運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)為止．2．證明兩向量共線(xiàn)的方法為：首先判斷兩向量中是否有零向量．若有，則兩向量共線(xiàn)；若兩向量a，b中，b≠0，且有a＝λb(λ∈R)，則a，b共線(xiàn)．方法感悟3．兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個(gè)數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號(hào)由