復(fù)述與平面向量,三角函數(shù)的聯(lián)系-第一課時(shí)

4．4研究性學(xué)習(xí)課題：復(fù)數(shù)與平面向量、三角函數(shù)的聯(lián)系第一課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)目標(biāo)：理解復(fù)數(shù)的向量表示和三角表示，了解復(fù)數(shù)的開平方．

2．能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力．

3．情感、價(jià)值觀目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論的產(chǎn)生過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過程和創(chuàng)造的激情，學(xué)會(huì)與他人交流合作，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神．以上三個(gè)目標(biāo)是從以下三個(gè)方面確定的：①根據(jù)教材內(nèi)容及新大綱的教學(xué)要求，確定第一個(gè)教學(xué)目標(biāo)．②由于本節(jié)是研究性學(xué)習(xí)課題，有助于學(xué)生提高發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力，發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)新精神，故此確定第二教學(xué)目標(biāo)．③在研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中，有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程，初步理解直觀和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系，初步嘗試數(shù)學(xué)研究過程，體驗(yàn)創(chuàng)造的激情，由此確定第三個(gè)教學(xué)目標(biāo)．重點(diǎn)難點(diǎn)分析教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的向量表示和三角表示、復(fù)數(shù)的開平方運(yùn)算．教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)與二維向量一一對(duì)應(yīng)的實(shí)質(zhì)和向量與的長度r以及與x軸的夾角θ組成的有序?qū)崝?shù)對(duì)(r，θ)一一對(duì)應(yīng)的實(shí)質(zhì)．第一課時(shí)一、導(dǎo)入新課(教師活動(dòng))復(fù)習(xí)提問，并講述．(學(xué)生活動(dòng))思考、回答問題．問題1什么叫復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式?問題2復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所組成的集合有何對(duì)應(yīng)關(guān)系?問題3在直角坐標(biāo)系中，平面向量以如何用坐標(biāo)表示?通過向量的坐標(biāo)表示，你對(duì)復(fù)數(shù)的表示有何想法?[講述]我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)可用代數(shù)表示，剛才同學(xué)們也想到了復(fù)數(shù)有可能用向量表示，本節(jié)課我們研究復(fù)數(shù)的向量表示．設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)知識(shí)，為本節(jié)課學(xué)習(xí)做知識(shí)鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生提出研究課題．二、新課講授

【確定研究方案】(教師活動(dòng))以向量的坐標(biāo)表示為例，分析數(shù)學(xué)中不同事物之間的相互表示一般應(yīng)遵循哪些原則?引導(dǎo)學(xué)生確定研究方案．

(學(xué)生活動(dòng))確定研究復(fù)數(shù)向量表示的內(nèi)容及方案．

[字幕]向量的坐標(biāo)表示遵循了下列原則：

(1)向量與有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；

(2)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的合理性．

[提問]我們研究復(fù)數(shù)的向量表示，要從哪幾個(gè)方面去思考、分析?(學(xué)生回答)

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生確定研究復(fù)數(shù)向量表示的方案．【小組研究學(xué)習(xí)】(教師活動(dòng))將全班劃分為10個(gè)小組，在各小組內(nèi)進(jìn)行．引導(dǎo)學(xué)生自主探究，巡視學(xué)生探索過程，了解學(xué)生的進(jìn)展情況．

(學(xué)生活動(dòng))學(xué)生自主探究，合作學(xué)習(xí)，交流研究方法和研究成果，各組組內(nèi)展開討論，提出方法并自主探索復(fù)數(shù)向量表示的運(yùn)算方法．(詳細(xì)過程略)

【班級(jí)討論研究】(教師活動(dòng))要求各小組簡述解決方案以及解決的思維過程并展示研究結(jié)果，總結(jié)學(xué)生研究結(jié)果．

(學(xué)生活動(dòng))小組代表簡述解決方案以及解決的思維過程．投影研究結(jié)果。

【學(xué)生簡述、展示研究結(jié)果】(略)[字幕]設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)表示復(fù)數(shù)z=a+bi，連結(jié)OZ．則：①向量由點(diǎn)Z唯一確定，點(diǎn)Z由向量唯一確定．就是復(fù)數(shù)z=a+bi的向量表示．復(fù)數(shù)0用表示．用向量分別表示復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di用向量表示z=z1+z2用向量表示z=z1－z2按向量加法的平行四邊形法則進(jìn)行按向量減法的三角形法則進(jìn)行(注意差向量方向)③用向量的長度(模)r來表示復(fù)數(shù)z=a+bi的“絕對(duì)值”的大小，稱為復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作lzl或Ia+biI或r．則④用向量與x軸的夾角(以軸的非負(fù)半軸Ox為始邊)表示復(fù)數(shù)Z=a+bi的方向，則，其中θ的取值范圍是【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】(教師活動(dòng))打出字幕(例題)，分析解題思路，完成解答，并點(diǎn)評(píng)．

(學(xué)生活動(dòng))思考，與教師一道分析，嘗試完成例題解答．

[字幕]例1求復(fù)數(shù)z1=3+4i及的模，并且比較它們的模的大?。?/p>

解：

因?yàn)?>3/2，所以lzl>lz2l．

[字幕]例2向量表示的復(fù)數(shù)為3+2i，將向量向上平移3個(gè)單位長度再向左平移2個(gè)單位長度，得到向量，分別寫出：

(1)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)點(diǎn)O’對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(3)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．[分析]根據(jù)復(fù)數(shù)向量表示的意義及平移知識(shí)，一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量在復(fù)平面內(nèi)平移，只要不改變方向和模的長，它們表示同一個(gè)復(fù)數(shù)；而模長不變、方向與原來相反，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是原向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的相反數(shù)．解如圖所示，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，2)，向上平移3個(gè)單位長度再向左平移2個(gè)單位后，點(diǎn)O’的坐標(biāo)為(一2，3)．點(diǎn)A’的坐標(biāo)為(1，5)，坐標(biāo)平移不改變的方向和模(1)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3十2i；(2)點(diǎn)O’對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+3i；(3)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3-2i．

[點(diǎn)評(píng)]根據(jù)復(fù)平面內(nèi)向量平移的不變性，我們可以把起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量移到原點(diǎn)，使許多問題的求解變得簡單．[字幕]例3設(shè)z=a+bi(a，b∈R)滿足IIzl-4l+lzI-4=0，且a≥1，b≥-1，畫出復(fù)數(shù)2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合的圖形．

[分析]在復(fù)平面內(nèi)要確立一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合，必須找到其實(shí)部與虛部的關(guān)系，即轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程．本例是一個(gè)非常規(guī)的方程，如果用模的計(jì)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將要解一個(gè)含絕對(duì)值的無理方程，運(yùn)算量大且是二元方程，不易得到結(jié)論．仔細(xì)觀察已知條件并注意到復(fù)數(shù)的模是一個(gè)非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)，我們可以用整體觀點(diǎn)處理求解．

解因?yàn)閘lzl-4l+lzI-4=0，所以IIzI-4I=-(lzI-4)．又由lz-4l∈R，且根據(jù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值的性質(zhì)，知lzl4≤0．所以IzI≤4，以a2+b2≤16，又由a≥1，b≤-1知Z(a，b)構(gòu)成的集合的圖形如圖中陰影部分所示(包括邊界)．[點(diǎn)評(píng)]在復(fù)數(shù)問題中，整體觀點(diǎn)是常用的解題技巧，要注意學(xué)會(huì)這種解題技巧．設(shè)計(jì)意圖：通過例題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)復(fù)數(shù)的向量表示，掌握復(fù)數(shù)問題的一些基本解題技巧。培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及良好的思維品質(zhì)．

【課堂練習(xí)】(教師活動(dòng))打出字幕(練習(xí)題)，要求學(xué)生完成，并請(qǐng)兩位同學(xué)板演．巡視學(xué)生解題情況，對(duì)正確的給予肯定，對(duì)偏差點(diǎn)拔、指正。(學(xué)生活動(dòng))完成練習(xí)解答，板演．

[字幕]練習(xí)題：設(shè)z∈C，滿足下列條件的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形?畫出其圖．

(1)z=cosθ+isinθ(0≤θ<2π)；

(2)lzl2-4Izl+3≤0．設(shè)計(jì)意圖：加深復(fù)數(shù)向量表示的理解，溝通復(fù)數(shù)與解析幾何之間的聯(lián)系．反饋教學(xué)信息，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

【分析歸納，小結(jié)解法】(教師活動(dòng))教師根據(jù)反饋的信息，點(diǎn)評(píng)練習(xí)題解題思路，小結(jié)解題方法．

(學(xué)生活動(dòng))學(xué)生聽教師講評(píng)，領(lǐng)悟解題思想方法，并記錄筆記．

[練習(xí)題答案](1)解法1因?yàn)樗渣c(diǎn)z的集合是以原點(diǎn)為圓心，以1為半經(jīng)的圓．解法2設(shè)z=x+yi(z，y∈R)，則x+yi=cosθ+isinθ

．根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得{(0≤θ<2π)．消去參數(shù)得：x2+y2=1．所以點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓．

(2)lzl2-4Izl+3≤0，(lzI-3)(IzI-1)≤0，l≤lzl≤3．所以點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心，1為內(nèi)半徑，3為外半徑的圓環(huán)，包括圓環(huán)的邊界，圖(略)．[字幕]小結(jié)

1．在復(fù)平面內(nèi)求的點(diǎn)集合表示的圖形，一般有兩個(gè)途徑：

(1)設(shè)z=z+yi(z，y∈R)，根據(jù)已知條件求出z，y滿足的方程，注意運(yùn)算過程中化簡的等價(jià)性；

(2)充分考慮復(fù)數(shù)的整體性，直接探求動(dòng)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z具有的特征和滿足的方程．三、小結(jié)

(教師活動(dòng))教師總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)要點(diǎn)

(學(xué)生活動(dòng))學(xué)生回憶，與教師一道歸納，并記錄筆記．

[字蒂]1．本節(jié)課學(xué)習(xí)了把復(fù)數(shù)用復(fù)平面內(nèi)的向量表示和復(fù)數(shù)的模．

2．本節(jié)課滲透的數(shù)學(xué)思想方法有：轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法；滲透的解題技巧有：整體、化歸等觀點(diǎn)．設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生歸納、總結(jié)問題的能力，加深對(duì)已學(xué)知識(shí)的理解，便于學(xué)生課后復(fù)習(xí)四、布置作業(yè)已知集合A={zlz=x+yi，x，y∈R，且y≥一2}，B={zlz∈C且2≤lzI≤4}求復(fù)平面內(nèi)A∩B表示的圖形面積．設(shè)計(jì)意圖：供學(xué)生思考復(fù)數(shù)與平面幾何、平面解析幾何之間的聯(lián)系．[作業(yè)答案]

不難求出A∩B表示的圖形如圖所示的陰影部分，包括邊界，其中大圓面積S1=16π

，小圓面積S2=4π

．再求弓形ABC的面積，在Rt△OCD中，lODl=2，lOCI=4，則ICDI=，∠DOC=π/3．所以弓形ABC的面積S3=S扇形ABC－S△ABC=16/3π

－所以A∩B表示的圖形面積為S1一S2一S3=20π/3+．優(yōu)游注冊(cè)/優(yōu)游注冊(cè)lqu35hmo臺(tái)源源不斷地編寫和組織人馬排練推出一些倍受鄉(xiāng)民們喜愛的家鄉(xiāng)戲曲節(jié)目。上了年紀(jì)的耿老爹夫婦倆，經(jīng)常一起去小學(xué)堂的大院兒里聽小學(xué)童們朗朗的讀書聲，看著他們?cè)谠鹤永锔吲d地做游戲玩耍。在春、夏、秋季節(jié)里，他們還喜歡去家門前不遠(yuǎn)處的水田邊上看那一大片一大片綠油油，亦忽黃澄澄的稻田。每當(dāng)“三六九鎮(zhèn)”大戲臺(tái)上燈火輝煌，鄉(xiāng)民們愉快地排練土戲的時(shí)候，耿老爹總會(huì)拿上那把老二胡坐在樂器班子里邊興致勃勃地拉呀拉的。大家都說：“耿老先生的二胡拉得越來越神了！”有的時(shí)候，郭氏也會(huì)拉一把小板凳兒坐在一旁，張著沒牙的嘴巴樂呵呵地看著大家排練。時(shí)間在不經(jīng)意間快樂地流失著……郭氏八十二歲那年中秋的次日，這位身體一直不錯(cuò)的老人在安然的午睡中無疾而終了。耿老爹讓兒女們將與自己同甘苦共患難一生的老伴兒埋葬在了東山上最高處的一塊兒坡地上。雖說耿家的祖墳也在東山上，但那個(gè)地方位置較低，視野不是很開闊。耿老爹考慮再三，決定另擇一塊兒自己更喜歡的墳地。事實(shí)上，早在老伴兒過世之前的前兩年，雖然年事已高，但身體還相當(dāng)硬朗的耿老爹就親自帶著兩個(gè)兒子選擇好了一塊兒非常滿意的墳地。當(dāng)時(shí)，他站在那塊兒坡地上對(duì)兒子們說：“這個(gè)地方最好啦！你們看，前面不遠(yuǎn)處就是你們的爺爺和奶奶，俺可以站在后面永遠(yuǎn)守護(hù)他們。還有哇，這里的地勢(shì)高，不擋眼。不是說‘站得高，望得遠(yuǎn)’嘛！這以后哇，俺和你們的娘就可以永遠(yuǎn)觀望咱們的‘三六九鎮(zhèn)’，咱們的學(xué)堂、戲臺(tái)，還有那些個(gè)稻田了！俺倆可以在這里遠(yuǎn)遠(yuǎn)地望著我們的兒孫們，望著咱們鎮(zhèn)子上一代又一代的人……”簡單操辦完了老伴兒的后事之后，耿老爹就不再是只在自家的老宅院里與耿蘭和尚武共進(jìn)一日三餐了。他有的時(shí)候會(huì)在溜達(dá)到小學(xué)堂聽小學(xué)童們讀書，看他們?cè)谠鹤永镒鲇螒蛲嫠５臅r(shí)候，順便在耿正和秀兒那里吃了午飯。有的時(shí)候，又會(huì)在門前的水田邊看上半天稻田之后，轉(zhuǎn)悠到耿英和大壯那兒，和他們一起吃午飯。董家成夫婦倆已