高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

推廣第八章

一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法

及其應(yīng)用

1第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念2一、區(qū)域1.鄰域點集稱為點P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)3說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點P0

的去心鄰域記為在空間中,(球鄰域)4在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.52.

區(qū)域(1)

內(nèi)點、外點、邊界點設(shè)有點集

E

及一點

P:

若存在點P

的某鄰域

U(P)

E,

若存在點P的某鄰域

U(P)∩E=,

若對點

P

的任一鄰域

U(P)既含

E中的內(nèi)點也含E的外點,則稱P為E

的內(nèi)點；則稱P為E

的外點

;則稱P為E

的邊界點

.顯然,E

的內(nèi)點必屬于E,

E

的外點必不屬于E,

E

的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.

6(2)

聚點若對任意給定的

,點P

的去心鄰域內(nèi)總有E

中的點,

則稱P

是E

的聚點.3.聚點可以屬于E,也可以不屬于E

(因為聚點可以為E

的邊界點)1.內(nèi)點一定是聚點；說明：2.邊界點可能是聚點；7例如,(0,0)是聚點但不屬于集合．例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合．例如,(0,0)既是邊界點也是聚點．8D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域

若點集E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集；

若點集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,則稱D

是連通的;

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域

;。。

E

的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作

E;9例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域

10

整個平面

點集

是開集，

是最大的開域,

也是最大的閉域；但非區(qū)域.o11有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．例如，123.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中稱為該點的第k

個坐標(biāo).記作即的一個點,當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為

中的零元,記作

O.13的距離記作中點

a

的

鄰域為規(guī)定為

與零元O

的距離為14二、多元函數(shù)的概念

引例:

圓柱體的體積

三角形面積的海倫公式15二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．16定義1.

設(shè)非空點集點集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時,有二元函數(shù)當(dāng)n=3時,有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù),記作17二元函數(shù)的圖形（如下頁圖）18二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.19例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:20例1

求的定義域．解所求定義域為21例2

求的定義域．解：要使函數(shù)有意義，必須即定義域22定義2.

設(shè)n

元函數(shù)則稱A

為函數(shù)(也稱為n

重極限)當(dāng)n=2時,記P0是D的聚點若存在常數(shù)A

,使得:記作都有三、多元函數(shù)的極限23說明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似．24僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.(4)二重極限不同.

如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限由后例6知它在(0,0)點二重極限不存在.25例3

求證證當(dāng)時，原結(jié)論成立．26例4

求極限當(dāng)時，所以解27例5

求極限解其中28趨于不同值或有的極限不存在，解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(0,0),在點(0,0)沒有極限.則可以斷定函數(shù)則有k

值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在.

若當(dāng)點以不同方式趨于極限不存在.例6.

證明函數(shù)函數(shù)29例7

證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．30確定極限不存在的方法：31四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設(shè)n元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上連續(xù).如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點

.則稱n

元函數(shù)連續(xù),

32例如,函數(shù)在點(0,0)極限不存在,

又如,

函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點.在圓周33例9

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解：由前面的討論可知，所以該函數(shù)在原點連續(xù)。34多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域結(jié)論:

一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).35解:原式例11.求36定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則在

D

上至少可取得最大值M及最小值m

一次;(3)對任意(有界性定理)

(最值定理)

(介值定理)

閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．37思考題38思考題解答不能.例取但是不存在.原因為若取39

作業(yè)P115(2),(4),(6);6(2),(3),(5)