高等數(shù)學(xué)課件D多元函數(shù)的基本概念

推廣第八章一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1/1/2024多元函數(shù)第八章第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性機動目錄上頁下頁返回結(jié)束多元函數(shù)的基本概念1/1/2024多元函數(shù)一、區(qū)域1.鄰域點集稱為點P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點P0

的去心鄰域記為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/1/2024多元函數(shù)在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/1/2024多元函數(shù)2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點、外點、邊界點設(shè)有點集

E

及一點

P:

若存在點P

的某鄰域U(P)

E,

若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,

若對點

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點也含E則稱P為E

的內(nèi)點；則稱P為E

的外點;則稱P為E

的邊界點.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的外點,顯然,E

的內(nèi)點必屬于E,

E

的外點必不屬于E,E的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.1/1/2024多元函數(shù)(2)

聚點若對任意給定的

,點P

的去心機動目錄上頁下頁返回結(jié)束鄰域內(nèi)總有E

中的點,則稱P

是E

的聚點.聚點可以屬于E,也可以不屬于E(因為聚點可以為所有聚點所成的點集成為E

的導(dǎo)集

.E

的邊界點)1/1/2024多元函數(shù)D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域

若點集E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集；

若點集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束。。

E

的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作

E;1/1/2024多元函數(shù)例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/1/2024多元函數(shù)

整個平面

點集是開集，是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束o

對區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點P

D與某定點A的距離AP

K,則稱

D

為有界域

,

界域

.否則稱為無1/1/2024多元函數(shù)3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點的第k

個坐標.記作即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一個點,當(dāng)所有坐標稱該元素為中的零元,記作O.1/1/2024多元函數(shù)的距離記作中點

a

的

鄰域為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束規(guī)定為與零元O

的距離為1/1/2024多元函數(shù)二、多元函數(shù)的概念引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強

三角形面積的海倫公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/1/2024多元函數(shù)定義1.

設(shè)非空點集點集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時,有二元函數(shù)當(dāng)n=3時,有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù),記作機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/1/2024多元函數(shù)例如,

二元函數(shù)定義域為圓域說明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)

D圖形為中心在原點的上半球面.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域為圖形為空間中的超曲面.單位閉球1/1/2024多元函數(shù)三、多元函數(shù)的極限定義2.

設(shè)n

元函數(shù)點,則稱A

為函數(shù)(也稱為n

重極限)當(dāng)n=2時,記二元函數(shù)的極限可寫作：P0是D的聚若存在常數(shù)A,對一記作都有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束對任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切1/1/2024多元函數(shù)例1.

設(shè)求證：證:故總有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束要證1/1/2024多元函數(shù)例2.

設(shè)求證：證：故總有要證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/1/2024多元函數(shù)

若當(dāng)點趨于不同值或有的極限不存在，解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在.以不同方式趨于不存在.例3.

討論函數(shù)函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/1/2024多元函數(shù)例4.

求解:因而此函數(shù)定義域不包括x,y

軸則故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/1/2024多元函數(shù)僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.

二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3知它在(0,0)點二重極限不存在.例3目錄上頁下頁返回結(jié)束1/1/2024多元函數(shù)四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設(shè)n元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點

.則稱n

元函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束連續(xù).連續(xù),1/1/2024多元函數(shù)例如,

函數(shù)在點(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點.在圓周機動目錄上頁下頁返回結(jié)束結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).1/1/2024多元函數(shù)定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束*(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)對任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續(xù)性定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略)1/1/2024多元函數(shù)解:原式例5.求例6.

求函數(shù)的連續(xù)域.解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/1/2024多元函數(shù)內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集

2.多元函數(shù)概念n

元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/1/2024多元函數(shù)有3.多元函數(shù)的極限4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P11題

2;4;5(3),(5)(畫圖

);8P72題

3;4機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1/1/2024多元函數(shù)解答提示:P11題2.稱為二次齊次函數(shù).P11題4.P11題5(3).定義域P11題5(5).定義域機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/1/2024多元函數(shù)P12題8.間斷點集P72題3.定義域P72題4.令y=kx

，若令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,則可見極限不存在1/1/2024多元函數(shù)

作業(yè)P115(2),(4),(6)6(2),(3),(5),(6)7，9,10第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束1/1/2024多元函數(shù)備用題1.設(shè)求解法1令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/1/2024多元函數(shù)1.