分子對稱性與群論初步

第四章分子對稱性與群論初步Chapter4.MolecularSymmetryandIntroductiontoGroupTheory

第四章分子對稱性和分子點群Chapter4.MolecularSymmetryandPiontGroup4.1

對稱圖形的定義生物界的對稱性判天地之美,析萬物之理?！f子在所有智慧的追求中,很難找到其他例子能夠在深刻的普遍性與優(yōu)美簡潔性方面與對稱性原理相比?！钫缹ΨQ是自然界中普遍存在的一種性質(zhì),因而常常被認(rèn)為是最平凡、最簡單的現(xiàn)象。然而,對稱又具有最深刻的意義.科學(xué)家、藝術(shù)家、哲學(xué)家從各種角度研究和贊美對稱，“完美的對稱”、“可怕的對稱”、“神秘的對稱”，這些說法都表明了對稱性在人類心靈中引起的震撼。分子中的對稱性在化學(xué)中,它提供了各種化學(xué)運動分類的基礎(chǔ)。分子對稱性是由分子幾何構(gòu)型（及構(gòu)象）所決定的,而分子對稱性又決定著分子的許多性質(zhì),例如分子的某些電性、光學(xué)活性及光譜性質(zhì)。所以,研究分子對稱性,對了解分子結(jié)構(gòu)和性質(zhì)極為重要。對稱圖形是能被不改變圖形中任意兩點間的距離的操作所復(fù)原的圖形。操作：將圖形中的每一點按一定的規(guī)律從一個位置移到另一個位置。復(fù)原：實施操作前什么地方有什么，操作后仍有些什么，以致于無法觀察圖形中各點位置是否發(fā)生變化。3.1

對稱圖形的定義H2O分子旋轉(zhuǎn)180度圖形復(fù)原對稱操作：不改變圖形中任何兩點的距離而能使圖形復(fù)原的操作叫做對稱操作；實施對稱操作所憑借的幾何要素叫做對稱元素.

3.2

對稱操作與對稱元素對稱元素:旋轉(zhuǎn)軸對稱操作:旋轉(zhuǎn)

有限圖形所具有的對稱操作和對稱元素被稱為宏觀對稱操作和宏觀對稱元素。分子的宏觀對稱操作和宏觀對稱元素有5種：

一、旋轉(zhuǎn)操作與旋轉(zhuǎn)軸將圖形中的各點繞某一軸線旋轉(zhuǎn)一定角度的操作被稱為旋轉(zhuǎn)操作，符號為施行旋轉(zhuǎn)操作所憑借的幾何元素為一直線，稱為旋轉(zhuǎn)軸，符號為Cn

。H2O中的C2

n：軸次

：基轉(zhuǎn)角

基轉(zhuǎn)角是能使圖形繞某一對稱軸旋轉(zhuǎn)而復(fù)原的最小非零角度.C2N2O中的C∞H2O2N2O旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)?．

N=2，θ==180°=例2．C41，n=4，φ=90cosφ=0，sinφ=1例3．C31在直角坐標(biāo)系中，n=3,φ=120°，cosφ=1/2，sinφ=/2C2=C41=C31=

二、反映操作與鏡面將圖形中的各點移動到某一平面相反方向的等距離處的操作被稱為反映操作。施行反映操作所憑借的幾何元素為一平面，稱為反映面，符號為σ。

σv：包含主軸的對稱面；

σh

：垂直主軸的對稱面；

σd：包含主軸、并平分與主軸垂直的二重軸之間的夾角的對稱面。對稱面有三類：m[100]＝

對稱面垂直x軸

m[001]＝對稱面垂直z軸m[010]＝對稱面垂直y軸三、反演操作與對稱中心將圖形中的各點移動到某一點相反方向的等距離處的操作被稱為反演操作。施行反演操作所憑借的幾何元素為一點，稱為對稱中心，符號為i。四、映轉(zhuǎn)操作與映轉(zhuǎn)軸先憑借某一軸線施行旋轉(zhuǎn)操作，再憑借與此軸垂直的平面進(jìn)行反映操作，這種復(fù)合操作被稱為映轉(zhuǎn)操作。施行反演操作所憑借的直線，稱為映轉(zhuǎn)軸，符號為Sn。CH4中的映軸S4與旋轉(zhuǎn)反映操作與操作的先后順序無關(guān)環(huán)辛四烯衍生物中的S4分子中心是S4的圖形符號五、旋轉(zhuǎn)反演操作與反軸先憑借某一軸線施行旋轉(zhuǎn)操作，再憑借此軸線上一點進(jìn)行反演操作，這種復(fù)合操作被稱為旋轉(zhuǎn)反演操作。施行反演操作所憑借的直線，稱為反軸，符號為In。映轉(zhuǎn)軸和反軸可相互代替。CH4中的反軸I4與旋轉(zhuǎn)反演操作i與操作的先后順序無關(guān)宏觀對稱操作與宏觀對稱元素當(dāng)兩個對稱元素按一定的相對位置同時存在的時候，必能導(dǎo)出第三個對稱元素，這被稱為對稱元素的組合。對稱元素的組合要服從一定的組合原則：3.3

對稱元素的組合一、兩個反映面的組合兩個夾角為α的反映面的交線，一定是一個基轉(zhuǎn)角為2α的Cn旋轉(zhuǎn)軸。推論：若有一個反映面包含Cn重軸，必有n個反映通過Cn軸。NH3分子：1C3，3σv相鄰兩個反映面夾角為60度二、兩個旋轉(zhuǎn)軸的組合垂直于夾角為α的兩個C2軸交點的直線，一定是一個基轉(zhuǎn)角為2α的Cn重旋轉(zhuǎn)軸。推論：若有一個C2重軸垂直于Cn軸，必有n個C2軸垂直于Cn重軸。苯分子：1×C6，6×C2相鄰兩個2重軸的夾角為30三、偶次軸與垂直面的組合如果一個圖形中，偶次軸和垂直于偶次軸的對稱面存在，則必存在對稱中心。即偶次軸、垂直面、對稱中心三者共存。反式二氯乙烯：1×C2，1×σh，i3.4

對稱元素的周期憑借同一對稱元素進(jìn)行的獨立對稱操作的數(shù)目被稱為對稱元素的周期。一、對稱面和對稱中心的周期是2σ的周期為2二、n重軸的周期為nC4的周期為4三、映轉(zhuǎn)軸和反軸的周期S4的周期為41、當(dāng)n為偶數(shù)，周期為nS3的周期為62、當(dāng)n為奇數(shù)，周期為2n3.4

獨立的對稱元素說明映軸和反軸只有軸次為4的整數(shù)倍時才是獨立的，其他的均可由反映面、旋轉(zhuǎn)軸、對稱中心來代替。

例如,先作二重旋轉(zhuǎn)，再對垂直于該軸的鏡面作反映，等于對軸與鏡面的交點作反演.

重疊型二茂鐵具有S5，可以由C5和與之垂直的σ來代替。討論分子結(jié)構(gòu)時，獨立的對稱元素有：旋轉(zhuǎn)軸；反映面；對稱中心；軸次為4的倍數(shù)的映轉(zhuǎn)軸。試找出分子中所有的獨立對稱元素乙烷重疊型乙烷交錯型交錯型二茂鐵俯視圖苯分子：3.5

分子的對稱類型——分子點群有限圖形按其對稱性進(jìn)行分類，把具有相同類型和個數(shù)的對稱元素的圖形劃為一類，稱為一種對稱類型。一種對稱類型是宏觀對稱元素的一種組合方式。分子的對稱類型則由點群來描述。

對于分子等有限物體，在進(jìn)行操作時，分子中至少有一點是不動的，叫做點操作。分子中全部對稱操作的集合構(gòu)成分子點群(pointgroups

).分子的對稱性有分子所屬的點群體現(xiàn)出來。點群的符號用Sch?nflies表示。1.操作時最少有一個點是不動的；2.分子全部的對稱元素至少通過一個公共點。

分子點群

C2H2O的對稱類型是C2V點群，即這四個對稱操作的集合構(gòu)成C2v點群；它滿足群的四個條件。菲分子：1C2，2σv菲分子和水分子具有相同的對稱類型：C2V點群。分子點群可以歸為四類:(1)單軸群:包括Cn

、Cnh

、Cnv

;(2)雙面群：包括Dn、Dnh、Dnd

;(3)立方群：包括Td

、Th

、Oh

、Ih

等;(4)非真旋軸群：包括Cs

、Ci

、S4等.

C1

群：CHFClBr

一、單軸群包括Cn

、Cnh

、Cnv

點群.這類點群的共同特點是旋轉(zhuǎn)軸只有一條.1、Cn

群：只有一條n次旋轉(zhuǎn)軸Cn

.c.Ci

群i

C2

群

C3群部分交叉式1,1,1-三氯代乙烷2、Cnh

群：1Cn

+1σh反式二氯乙烯C2h

群：1C2，1σh，1i

C1h

群(Cs)：HODSOCl2

C3h群ClClClC3h

群：1C3，1σh3、Cnv

群：1Cn

+nσvC2v

群

C3v群C3V

群：1C3，3σVNH3CHCl3二、雙面群1、Dn

群：1×Cn

，n×C2.包括Dn

、Dnh

、Dnv

點群.這類點群的共同特點是除了主軸Cn外，還有與之垂直的n條C2副軸.Dn

群：1Cn

，nC2

.

D3：這種分子比較少見，其對稱元素也不易看出.

[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+是一實例.唯一的C3旋轉(zhuǎn)軸從xyz軸連成的正三角形中心穿過,通向Co;xyzC2C2C2三條C2旋轉(zhuǎn)軸分別從每個C–C鍵中心穿過通向Co.2、Dnh

群：1×Cn

，n×C2,1×σh，n×σv

乙烯D2h

群：1C2

，2C2,1σh，2σv,1i

D3h群

：乙烷重疊型D6h群：苯D2d

群：1C2

，2C2,

2σd丙二烯3、Dnd

群：1×Cn

，n×C2,

n×σdD3d:乙烷交錯型D4d：單質(zhì)硫D5d

:交錯型二茂鐵俯視圖三、立方群1、Td

群：屬于該群的分子，對稱性與正四面體完全相同。包括Td

、Th

、Oh

、Ih點群.這類點群的共同特點是有多條高次(大于二次)旋轉(zhuǎn)軸相交.

T

群：4×C3，3×C2Td

群：4×C3

，3×C2

,6×σdTh

群：4×C3

，3×C2,6×σhCH4YX4×C3Z3×I46×σd2、Oh群

:屬于該群的分子，對稱性與正八面體或正方體完全相同Oh

群：3C4

,4C3,6C2,9σ，i

立方烷6×C2zyx4×C33×C4對稱中心i在正方體中心[B6H6]2-Oh群

SF63、Ih

群

:在目前已知的分子中，對稱性最高的就屬于該群.C60Ih

群：6C5

,10C3,15C2,15σ，i

Ih

群閉合式[B12H12]2-正十二面體正二十面體四、非真旋軸群1、Ci

群：1×i.包括Cs

、Ci

、S4

這類點群的共同特點是只有虛軸對稱中心2、S4群

:1×S4

3、Cs

群

:1×Cs

亞硝酸酐N2O3確定分子點群的流程簡圖分子線形分子:有多條高階軸分子（正四面體、正八面體…)只有鏡面或?qū)ΨQ中心,或無對稱性的分子:只有S4n(n為正整數(shù)）分子:Cn軸(但不是S2n的簡單結(jié)果)無C2副軸:有n條C2副軸垂直于主軸:3.6

分子的對稱性與偶極矩偶極矩是表示分子中電荷分布情況的物理量正負(fù)電荷的重心不重合的分子稱為極性分子，它有偶極矩,是分子的靜態(tài)性質(zhì)。偶極矩是一個矢量，它的大小為μ=qr。極性分子——永久偶極短

0一般分子——誘導(dǎo)偶極矩

I對稱操作不改變分子的可測物理量

1.由于任何對稱操作都使分子進(jìn)入一種與原型無法區(qū)分的狀態(tài)，所以，如果分子上具有永久偶極矩μ，任何對稱操作都不會改變它的方向和大小.推論：如果分子具有永久偶極矩μ，它必然處于該分子的每一個對稱元素上.2.什么情況下μ才為零呢？有下列幾種情況：

(1)分子有對稱中心i.μ處于i上就必然縮為一點而為0.

(2)分子中至少有兩個對稱元素相交于唯一的一點.μ處于每一個對稱元素上,就必然處于其唯一交點上而為0.(3)分子中有四重映軸S4（任何具有S4的分子不可能有永久偶極矩.）分子偶極矩的對稱性判據(jù):分子中有反演中心、2個或多個旋轉(zhuǎn)軸、互不重合的旋轉(zhuǎn)軸和反映面，滿足其中任何一條即為非極性分子.反之，以上任何一條都不滿足的分子原則上具有極性,但極性可能太小而測量不出來.因為對稱性判據(jù)只給出偶極矩為零的充分條件,而不是必要條件.

極性分子的點群有Cn、Cnv、Cs.由于Cs=C1v,所以,也可以說極性分子的點群有Cn、Cnv.推論：(1)烷烴的偶極矩近似為零；(2)同系物的偶極矩近似相等.

CH4的偶極矩為零這一事實，既可以看作4個C-H鍵矩矢量加和的結(jié)果，也可看作1個C-H鍵矩與反向的-CH3鍵矩矢量加和的結(jié)果.

CH3-CH2-CH2-CH2-CH3→H-CH2-CH2-CH2-CH3

即CH3-CH2-CH2-CH3→H-CH2-CH2-CH3

即CH3-CH2-CH3→H-CH2-CH3

即CH3-CH3→H-CH3

即CH4(3)由偶極矩數(shù)據(jù)獲得分子構(gòu)型的信息；例H2O26.9C2點群；C2H20D∞h點群

N2H46.1C2V點群；C2H40D2h點群

5.0C2V點群；0D2h點群(4)誘導(dǎo)效應(yīng)是近程效應(yīng)；(5)偶極矩與極化率

誘

SSNN3.7

分子的對稱性與旋光性有些分子具有使平面偏振光的振動平面發(fā)生旋轉(zhuǎn)的能力，分子的這種性質(zhì)稱為旋光性。分子的對稱性與手性的關(guān)系

任何分子，都可以設(shè)想用“鏡子”產(chǎn)生其鏡象。

但是，這鏡象是否與分子本身完全相同，卻分兩種情況：

第一種情況是,分子與其鏡象完全相同。

這就是說,可以通過實際操作將分子與其鏡象完全迭合。

換言之,對分子施加某種實際操作就能變?yōu)槠溏R象。

那么，這種分子與其鏡象的關(guān)系就與左右手關(guān)系完全不同（因為左右手不能通過實際操作來互換），故稱非手性分子。結(jié)論：具有σ、或i、或S4的分子,可以通過實際操作與其鏡象完全迭合，稱為非手性分子.從對稱性來看,分子上若有虛軸Sn,反而能用實操作將分子與其鏡象完全迭合.所以,具有虛軸Sn的分子是非手性分子

分子若不具有Sn

,它與鏡象就只是鏡象關(guān)系而已，并不完全相同，不能用實際操作完全迭合。這種關(guān)系恰如左右手的關(guān)系。左手與右手互為鏡象，你能用一種實際操作把左手變成右手嗎？對于手做不到的，對于有些分子也做不到，這種分子就是手性分子（盡管任何分子都能用“鏡子”產(chǎn)生鏡象，

但手性分子本身并沒有鏡面）。

2.分子的手性與旋光性的關(guān)系

若將分子與其鏡象的旋光度分別記作R與R’，則

(1)無論對手性或非手性分子，都有R’=-R；

(2)但只有對非手性分子，才又有R’=R，因為非手性分子與其鏡象完全相同（而手性分子與其鏡象不同.正如左手的鏡象是右手，而不再是左手那樣）.

既然非手性分子同時滿足R’=-R

和R’=R,必然是R=-R=0.

結(jié)論：非手性分子沒有旋光性.手性是分子產(chǎn)生旋光性的必要條件.

3.分子對稱性-手性-旋光性的關(guān)系

結(jié)論：具有虛軸Sn(包括σ、或i、或S4)的分子是非手性分子,沒有旋光性；沒有虛軸Sn(也就沒有σ、i和S4)的分子是手性分子,具備產(chǎn)生旋光性的必要條件（但能否觀察到還要看旋光度的大?。?手性分子通常屬于Cn、Dn群.對于分子旋光性，應(yīng)注意下列幾點：

a.旋光性分子中常常有不對稱碳原子C*，但有C*的分子并非都有旋光性;沒有C*的分子也并非都沒有旋光性.

分子有C*卻無旋光性的現(xiàn)象稱內(nèi)消旋.例如（R，S）構(gòu)型的2,3-二氯丁烷等.C2

群

R2R2R1R1R1R1R2R2分子中沒有C*卻有旋光性的實例有:C2群的丙二烯型分子（但屬于D2d

群的丙二烯本身不是旋光性分子?。?、聯(lián)苯的某些衍生物、D3群的風(fēng)扇型分子，以及螺旋型分子等.

螺旋型分子毫無例外地都是手性分子，且旋光方向與螺旋方向一致；匝數(shù)越多旋光度越大；螺距小者旋光度大.六螺烯，無手性C，有旋光性。有手性C，無旋光性，內(nèi)消旋。b.旋光性分子具有對映異構(gòu)體，現(xiàn)在用拉丁字母R、S（rectus,右；sinister，左）來區(qū)分它們的構(gòu)型(但舊的D、L命名對生物化學(xué)更有重要意義，因而仍被使用).對映異構(gòu)體的旋光大小相等、方向相反，其中偏振面順時針旋轉(zhuǎn)稱為右旋，記作（+）；逆時針旋轉(zhuǎn)稱為左旋，記作（-）.盡管R、S與（+）、（-）都有右、左之意，但R、S是人為規(guī)定的，旋光方向卻是分子本性決定的.所以一般地說，R并不必然對應(yīng)于（+）、S也并不必然對應(yīng)于（-）.對映異構(gòu)體R與S型的等量混合物無旋光性，這種現(xiàn)象稱為外消旋，記作（±）.

3.反應(yīng)機(jī)理與旋光性

旋光體和消旋體的研究不但對闡明分子結(jié)構(gòu)有重要意義，而且對闡明反應(yīng)機(jī)理也有幫助.例如，親核反應(yīng)SN1親核反應(yīng)機(jī)理SN2親核反應(yīng)機(jī)理

因此，分析產(chǎn)物有助于判明親核取代是哪一種機(jī)理4.對稱性的自發(fā)破缺（symmetryself-breaking）

很多化學(xué)教科書說：除旋光方向相反外，對映異構(gòu)體有相同的物理性質(zhì)；除對旋光性試劑表現(xiàn)出不同的反應(yīng)性能外，對映異構(gòu)體有相同的化學(xué)性質(zhì).

但是，現(xiàn)代科學(xué)中一直有一個重要的未解之謎：為什么組成我們機(jī)體的最重要物質(zhì)——蛋白質(zhì)都是由L-氨基酸而不是由D-氨基酸來構(gòu)成？而構(gòu)成核糖核酸的糖又都是D型？大自然這種傾向性選擇的根源何在——它是純粹的偶然因素還是有著更深刻的原因？許多科學(xué)家都關(guān)注著自然界這一類對稱性破缺.

在物理學(xué)領(lǐng)域,1956年，李政道、楊振寧提出弱相互作用下宇稱不守恒假說，同年由吳健雄等證實.5.藥物分子的不對稱合成

對稱性破缺在生命科學(xué)中產(chǎn)生了極為深遠(yuǎn)的影響，因為構(gòu)成生命的重要物質(zhì)如蛋白質(zhì)和核酸等都是由手性分子縮合而成，生物體中進(jìn)行的化學(xué)反應(yīng)也受到這些分子構(gòu)型的影響.

藥物分子若有手性中心，則對映異構(gòu)體對生物體可能會有完全不同的作用，許多藥物的有效成份只有左旋異構(gòu)體有活性,右旋異構(gòu)體無效甚至有毒副作用.

例如，氯霉素的D-對映體有殺菌作用，L-對映體則全無藥效；早期用于減輕婦女妊娠反應(yīng)的藥物酞胺哌啶酮因未能將右旋異構(gòu)體分離出去而導(dǎo)致許多胎兒畸形；具有旋光性的蓋草能、穩(wěn)殺得等除草劑的活性,比消旋體提高兩個數(shù)量級，大大減少了用藥量.因此，藥物的消旋體拆分很重要，不對稱合成更重要，這已成為極其引人注目的研究領(lǐng)域.21世紀(jì)的第一個諾貝爾化學(xué)獎授予W.S.Knowles、Ryoji

Noyori、K.B.Sharpless,就是表彰他們在手性催化反應(yīng)方面的貢獻(xiàn).

群

群的概念（法國EvaristeGalois）

按一定的乘法聯(lián)系起來的任何元素的集合，而且滿足4個條件的，則此集合稱為群。乘法是一種結(jié)合規(guī)則：指所規(guī)定的群中各元素之間的關(guān)系。G＝｛A、B、C、D、E｝群中元素的個數(shù)為群的階，符號為h。數(shù)學(xué)上符合的四個條件

1、封閉性

群中任意兩個元素乘積或一個元素自乘的結(jié)果，必是群中的一個元素。A,B是G群中任意兩個元素，AA=C,BB=D,AB=EC,D,E都是群G的元素，群G中的元素滿足封閉性。

乘積：一種相互作用。G＝｛0，±1，±2，…，±n｝對算術(shù)加法構(gòu)成一個群。

例例滿足群的封閉性。

2、締合性

群中各元素的運算滿足乘法結(jié)合律。若A、B、C為G群中的元素則ABC=(AB)C=A(BC)。

例G＝｛0，±1，±2，…，±n｝對算術(shù)加法構(gòu)成一個群。

滿足群的締合性

3、單位元素

群中必有一個元素E，它同群中任意一個元素作用的結(jié)果仍是該元素，E為單位元素。即ER=RE=R

例G＝｛0，±1，±2，…，±n｝對算術(shù)加法構(gòu)成一個群。

單位元素：0

G群中有單位元素。4、逆元素

群中的每一個元素都有逆元素存在，逆元素也是群中的元素。A的逆元素為A-1，AA-1=EB的逆元素為B-1，BB-1=E例G＝｛0，±1，±2，…，±n｝對算術(shù)加法構(gòu)成一個群。

n的逆元素為-n。

G群中任意元素的逆元素仍是群中元素。

例G＝｛0，±1，±2，…，±n｝對算術(shù)加法構(gòu)成一個群。

G集合滿足群的四個條件：封閉性；締合性；單位元素；逆元素。無限群:由無限個元素構(gòu)成的群。有限群:由有限個元素構(gòu)成的群。凡是同時滿足上述4個條件的的集合G，就稱為群。群的特征不在于構(gòu)成群的是何種元素，而是在于它必須服從上述結(jié)合規(guī)則，這些結(jié)合規(guī)則反映了群中個元素間的內(nèi)在聯(lián)系。群是一個集合，但集合不一定都是群。推論：群G的恒等元是唯一的。

設(shè)A為群G

的任意元素，則A在G中的逆元素是唯一的，記為A-1.例全體整數(shù)（正數(shù)、負(fù)數(shù)和零）--------加法2.全體非零的實數(shù)--------乘法3.（立正、向右轉(zhuǎn)、向左轉(zhuǎn)和向后轉(zhuǎn)）4個操練動作

------在進(jìn)行一個動作之后接著進(jìn)行另一個動作。

群

的乘法表

對于有限群G和群G中的任意兩個元素的乘積關(guān)系以表格的形式來表示，稱為乘法表。乘法表的作法：1.有h行和h列組成2.橫向元素稱為第一次作用元素，縱向元素稱為第二次作用元素。3.乘法一般是不可以交換的。乘法的順序規(guī)定，列元素×行元素4.將所有的兩兩元素乘積的寫在行與列的交叉位置中。G立正向左轉(zhuǎn)向右轉(zhuǎn)向后轉(zhuǎn)

立正立正向左轉(zhuǎn)向右轉(zhuǎn)向后轉(zhuǎn)向左轉(zhuǎn)向左轉(zhuǎn)向后轉(zhuǎn)立正向右轉(zhuǎn)向右轉(zhuǎn)向右轉(zhuǎn)立正向后轉(zhuǎn)向左轉(zhuǎn)向后轉(zhuǎn)向后轉(zhuǎn)向右轉(zhuǎn)向左轉(zhuǎn)立正乘法表的說明：1.每一個有限群都可以給出一個乘法表。2.乘法表是群的四個性質(zhì)的體現(xiàn)。3.一個操作可以產(chǎn)生其它兩個操作連續(xù)作用的等效結(jié)果。4.每一個操作都存在一個能夠準(zhǔn)確消除該操作作用的操作。5.乘法表中任一行（列），均不會同時出現(xiàn)兩個相同的元素。

子群

若有一個群H的元素皆包含于另一個群G中，則稱群H為群G的子群。任何群至少有兩個子群：群本身和恒等元素構(gòu)成的一階群。這兩個群稱為平凡子群。拉格朗日定理:

有限群的階是其子群的階的整數(shù)倍。子群在處理化學(xué)問題：沒有取代的分子屬于高對稱性的群，而取代的分子則屬于它的子群。

共軛類

共軛元素的定義：對于群G中的任意元素A和B,

群中有一元素X，使B=XAX-1，則稱B與A共軛。這個式子稱為用X對A進(jìn)行相似變換。自軛性:任何元素與其本身共軛；對稱性:A與B共軛，則B與A共軛；傳遞性:若A與B共軛，C與A共軛，則B與C共軛。C2v{E,C2,σxz,σyz}中的4個元素自成一類C3v{E,2C3,3σ}的6個元素成3類例群G中所有相互共軛元素的集合稱為G的共軛類。1.根據(jù)共軛關(guān)系的性質(zhì),群G的一個類中的元素可由該類中任一元素生成。2.根據(jù)共軛的傳遞性可證:兩個不同的類沒有公共元素。3.群G中的恒等元自成一類。共軛類與子群不同：除了{(lán)E}類外所有其它的共軛類都不含有恒等元，而任何子群都必須含有恒等元。群的同構(gòu)與同態(tài)A.同構(gòu)◆定義:兩個同階的群G和G’，如果它們的元素之間一一對應(yīng),且保持群的基本運算規(guī)律不變,即群G中任意兩個元素乘積的映射等于G’中這兩個元素映射的乘積.則稱群G和群G’同構(gòu),記作G

G’。也可以理解為：同階的群，如果群元素之間有一一對應(yīng)關(guān)系，并有相同的乘法表，就稱為同構(gòu)群。群的同構(gòu)與同態(tài)B.同態(tài)◆定義:設(shè)有兩個群G和G’，它們的階不同，若G’中任何一個元素都可以在G中找到一個或多個元素和它相對應(yīng)，且保持群的基本運算規(guī)律不變，則稱群G和群G’同態(tài)。對稱操作群：進(jìn)行對稱變換的所有對稱操作的集合。一個分子的全部對稱操作形成一個群，這些對稱操所對應(yīng)的操作矩陣也組成一個群。C2h

群C2，σh，i，E例C2hEC2σhiEEC2σhiC2C2EiσhσhσhiEC2iiσhC2EC2h的乘法表例群的表示以上4個對稱操作所對應(yīng)的一組矩陣群，就是群的表示。也就是說，描述對稱操作的矩陣也構(gòu)成了一個群，而且分子的點群與矩陣群一一對應(yīng)，盡管它們的 群元素不同、作用的規(guī)則不同，但它們的乘法表是相同的，因此這兩個群同構(gòu)。與點群同構(gòu)或同態(tài)的矩陣群，稱為群的表示。群的表示的基任意函數(shù)集合，只要在群操作作用下變成為另一個函數(shù)集合，則稱原來的函數(shù)集合為群表示的基。基選擇的任意性：點的坐標(biāo)，一組函數(shù)，向量，波函數(shù)，原子軌道，分子軌道等。群的可約表示凡是可以進(jìn)行群表示化簡的矩陣表示就稱為群的可約表示。若利用相似變換的方法能把一個表示Γ的所有矩陣分解為低維表示時，該表示Γ稱為可約表示。C2vEC2σvσv’EEC2σvσv’C2C2Eσv’σvσvσvσv’EC2σv’σv’σvC2EC2v的乘法表例C2v的兩組不同的表示這些群的表示是可以簡化的是群的可約表示群的

不可約表示其實在一個群的無窮多個表示中，只有少數(shù)幾個所謂的不可約表示是重要的，它反映了該群的的本質(zhì)。凡是不能用群表示的簡化方法化簡的矩陣表示就稱為群的不可約表示。矩陣的對角元之和稱為該矩陣的跡。在矩陣約化過程中矩陣的值