第一課時離散型隨機(jī)變量

7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列第一課時離散型隨機(jī)變量1.理解隨機(jī)變量的含義，了解隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.2.能寫出離散型隨機(jī)變量的可能取值，并能解釋其意義.3.通過隨機(jī)變量的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).借助隨機(jī)變量間的關(guān)系解題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)(一)教材梳理填空1．隨機(jī)變量一般地，對于隨機(jī)試驗樣本空間Ω中的每個樣本點w，都有

的實數(shù)X(w)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量可能取值為

或可以

的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．[微思考]離散型隨機(jī)變量中，與試驗結(jié)果相對應(yīng)的實數(shù)有何特點？

提示：依據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義可知：與試驗結(jié)果相對應(yīng)的實數(shù)是間斷的、離散的并且是有限個.唯一有限個一一列舉(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)隨機(jī)變量的取值可以是有限個，也可以是無限個．

(

)(2)在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)”為隨機(jī)變量．(

)(3)離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實數(shù)．

(

)(4)離散型隨機(jī)變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值．

(

)答案：(1)√

(2)√

(3)×

(4)×2．下列變量中，是離散型隨機(jī)變量的是

(

)A．到2022年10月1日止，我國發(fā)射的人造地球衛(wèi)星數(shù)B．一只剛出生的大熊貓，一年以后的身高C．下次運(yùn)動會我校跳遠(yuǎn)冠軍的成績D．某人投籃10次，可能投中的次數(shù)解析：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義：其可能取到的不相同的值是有限個或可列為有限個，即可以按一定次序一一列出，試驗前可以判斷其出現(xiàn)的所有值．選項A、B、C均不符合離散型隨機(jī)變量的定義，而選項D中，投籃10次，可能投中的次數(shù)是離散型隨機(jī)變量．答案：D

3．同時拋擲5枚硬幣，得到硬幣反面向上的個數(shù)為ξ，則ξ的所有可能取值的集合為________．解析：當(dāng)硬幣全部為正面向上時，ξ＝0，硬幣反面向上的個數(shù)還可能有1個，2個，3個，4個，也可能都反面向上，即5個．答案：{0,1,2,3,4,5}題型一隨機(jī)變量的概念

[學(xué)透用活][典例1]指出下列哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由：(1)某人射擊一次命中的環(huán)數(shù)；(2)任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)；(3)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)；(4)某個人的屬相隨年齡的變化．[解]

(1)某人射擊一次，可能命中的所有環(huán)數(shù)是0，1，…，10，而且出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機(jī)的，因此命中的環(huán)數(shù)是隨機(jī)變量．(2)任意擲一枚硬幣1次，可能出現(xiàn)正面向上也可能出現(xiàn)反面向上，因此投擲3次硬幣，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)可能是0,1,2,3，而且出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機(jī)的，因此正面向上的次數(shù)是隨機(jī)變量．(3)擲一枚骰子，出現(xiàn)的結(jié)果是1點，2點，3點，4點，5點，6點中的一個，且出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機(jī)的，因此出現(xiàn)的點數(shù)是隨機(jī)變量．(4)一個人的屬相在他出生時就確定了，不隨年齡的變化而變化，因此屬相不是隨機(jī)變量．判斷一個試驗是否是隨機(jī)試驗，依據(jù)是這個試驗是否滿足隨機(jī)試驗的三個條件，即(1)試驗在相同條件下是否可重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗的所有可能的結(jié)果是否是明確的，并且試驗的結(jié)果不止一個；(3)每次試驗的結(jié)果恰好是一個，而且在一次試驗前無法預(yù)知出現(xiàn)哪個結(jié)果．[對點練清]1．10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是

(

)A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B.取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D.取到次品的概率解析：對于A中取到產(chǎn)品的件數(shù)，是一個常量不是變量，B、D也是一個常量，而C中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2，是隨機(jī)變量．答案：C

2．下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量？并說明理由．(1)某機(jī)場一年中每天運(yùn)送乘客的數(shù)量．(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)．(3)明年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)．(4)體積為64cm3的正方體的棱長．解：(1)某機(jī)場一年中每天運(yùn)送乘客的數(shù)量可能為0,1,2,3，…，是隨機(jī)變化的，因此是隨機(jī)變量．(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)可能為0,1,2,3，…，是隨機(jī)變化的，因此是隨機(jī)變量．(3)明年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數(shù)可能為0,1,2,3，…，是隨機(jī)變化的，因此是隨機(jī)變量．(4)體積為64cm3的正方體的棱長為4cm，是定值，不是隨機(jī)變量．題型二離散型隨機(jī)變量的判斷

[探究發(fā)現(xiàn)]判斷一個隨機(jī)變量是否為離散型隨機(jī)變量的關(guān)鍵是什么？提示：關(guān)鍵是判斷隨機(jī)變量X的所有取值是否可以一一列出，如果可以一一列出，隨機(jī)變量X就是離散型隨機(jī)變量，否則就不是．

[學(xué)透用活][典例2]

(1)下列敘述中是離散型隨機(jī)變量的為

(

)A．某人早晨在車站等出租車的時間B．把一杯開水置于空氣中，讓它自然冷卻，每一時刻它的溫度C．射擊十次，命中目標(biāo)的次數(shù)D．袋中有2個黑球，6個紅球，任取3個，其中含有紅球的可能性(2)某市公交公司規(guī)定：身高不超過120cm的學(xué)生免費(fèi)乘車，凡身高超過120cm的學(xué)生，每次乘車0.5元，若學(xué)生每次乘車應(yīng)交的車費(fèi)為η(單位：元)，學(xué)生的身高用ξ(單位：cm)表示，那么ξ和η是不是離散型隨機(jī)變量？若是，請寫出相應(yīng)的取值情況．[解析]

(1)選C對于選項A，是隨機(jī)變量，但不是離散型的；同理選項B也是隨機(jī)變量，但不是離散型的；對于選項C命中的次數(shù)在0,1,2，…，10中的任意一個值，所以它是離散型隨機(jī)變量；對于選項D，其可能性為100%，所以它不是隨機(jī)變量．“三步法”判定離散型隨機(jī)變量(1)依據(jù)具體情境分析變量是否為隨機(jī)變量．(2)由條件求解隨機(jī)變量的值域．(3)判斷變量的取值能否一一列舉出來，若能，則是離散型隨機(jī)變量；否則，不是離散型隨機(jī)變量．

[對點練清]1．(多選)下列隨機(jī)變量，其中X是離散型隨機(jī)變量的為

(

)A．今天數(shù)學(xué)課，我被提問到的次數(shù)XB．某網(wǎng)站中歌曲《愛我中華》一天內(nèi)被點擊的次數(shù)為XC．某公交車每15分鐘一班，某人在站臺等該公交車的時間為X分鐘D．射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分解析：A、B、D中的隨機(jī)變量X的取值可以按一定的次序一一列出，故它們都是離散型隨機(jī)變量；C中的X可以取區(qū)間[0,15]內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量．答案：ABD

2．指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，并說明理由．(1)某超市5月份每天的銷售額；(2)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差ξ；(3)某市長江水位監(jiān)測站所測水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化，該水位監(jiān)測站所測水位ξ.解：(1)某超市5月份每天的銷售額可以一一列出，故為離散型隨機(jī)變量．(2)實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量．(3)不是離散型隨機(jī)變量，水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化，不能按次序一一列舉．題型三用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗的結(jié)果

[學(xué)透用活](1)所謂的隨機(jī)變量就是試驗結(jié)果和實數(shù)之間的一個對應(yīng)關(guān)系，隨機(jī)變量是將試驗的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對應(yīng)于隨機(jī)試驗的某一個隨機(jī)事件．(2)寫隨機(jī)變量表示的結(jié)果，要看三個特征：①可用數(shù)來表示；②試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；③在試驗之前不能確定取值．[典例3]寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，

并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗的結(jié)果．(1)袋中有大小相同的紅球10個，

白球5個，

從袋中每次任取1個球，

取后不放回，

直到取出的球是白球為止，

所需要的取球次數(shù)．(2)從標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張，

所取卡片上的數(shù)字之和．[解]

(1)設(shè)所需的取球次數(shù)為X,則X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是紅球，

第i次取到白球，

這里i＝1,2,3,4，…，11.(2)設(shè)所取卡片上的數(shù)字之和為X,則X＝3,4,5，…，11.X＝3,表示“取出標(biāo)有1,2的兩張卡片”；X＝4,表示“取出標(biāo)有1,3的兩張卡片”；X＝5,表示“取出標(biāo)有2,3或1,4的兩張卡片”；X＝6,表示“取出標(biāo)有2,4或1,5的兩張卡片”；X＝7,表示“取出標(biāo)有3,4或2,5或1,6的兩張卡片”；X＝8,表示“取出標(biāo)有2,6或3,5的兩張卡片”；X＝9,表示“取出標(biāo)有3,6或4,5的兩張卡片”；X＝10,表示“取出標(biāo)有4,6的兩張卡片”；X＝11,表示“取出標(biāo)有5,6的兩張卡片”．用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗的結(jié)果的關(guān)鍵點和注意點(1)關(guān)鍵點：解決此類問題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每一個值對應(yīng)的意義，即一個隨機(jī)變量的取值對應(yīng)一個或多個隨機(jī)試驗的結(jié)果．(2)注意點：解答過程中不要漏掉某些試驗結(jié)果．

[對點練清]1．[變設(shè)問]若本例(2)中條件不變，

所取卡片上的數(shù)字之差的絕對值為隨機(jī)變量ξ，

請問ξ有哪些取值？

其中ξ＝4表示什么含義？解：ξ的所有可能取值有：1,2,3,4,5.ξ＝4表示“取出標(biāo)有1,5或2,6的兩張卡片”．2．甲、乙兩隊員進(jìn)行乒乓球單打比賽，規(guī)定采用“七局四勝制”，用X表示需要比賽的局?jǐn)?shù)，寫出X所有可能的取值，并寫出表示的試驗結(jié)果．解：根據(jù)題意可知X的可能取值為4,5,6,7.X＝4表示共打了4局，甲、乙兩人有1人連勝4局．X＝5表示在前4局中有1人輸了一局，最后一局此人勝出．X＝6表示在前5局中有1人輸了2局，最后一局此人勝出．X＝7表示在前6局中，兩人打平，最后一局有1人勝出．[課堂思維激活]一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會貫通1．下列隨機(jī)試驗的結(jié)果能否用離散型隨機(jī)變量表示？若能，則寫出各隨機(jī)變量可能的取值，并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗的結(jié)果．(1)從學(xué)?；丶乙?jīng)過5個紅綠燈口，可能遇到紅燈的次數(shù)；(2)在優(yōu)、良、中、及格、不及格5個等級的測試中，某同學(xué)可能取得的成績．解：(1)能用離散型隨機(jī)變量表示．設(shè)可能遇到紅燈的次數(shù)為X，它的可能取值的集合為{0,1,2,3,4,5}．事件{X＝0}表示經(jīng)過5個紅綠燈口時，遇到都不是紅燈；事件{X＝1}表示經(jīng)過5個紅綠燈口時，遇到1次紅燈；事件{X＝2}表示經(jīng)過5個紅綠燈口時，遇到2次紅燈；事件{X＝3}表示經(jīng)過5個紅綠燈口時，遇到3次紅燈；事件{X＝4}表示經(jīng)過5個紅綠燈口時，遇到4次紅燈；事件{X＝5}表示經(jīng)過5個紅綠燈口時，遇到的都是紅燈．則X是一個離散型隨機(jī)變量，它的所有可能取值的集合是{1,2,3,4,5}．事件{X＝1}表示該同學(xué)取得的成績?yōu)椴患案?；事件{X＝2}表示該同學(xué)取得的成績?yōu)榧案?；事件{X＝3}表示該同學(xué)取得的成績?yōu)橹校皇录X＝4}表示該同學(xué)取得的成績?yōu)榱?；事件{X＝5}表示該同學(xué)取得的成績?yōu)閮?yōu)．二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2．某快餐店的小時工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪800元，每工作1h再獲取15元