空間中點直線和平面的向量表示空間中直線平面的平行同步作業(yè)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊

六空間中點、直線和平面的向量表示空間中直線、平面的平行(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)1.(多選題)在如圖所示的坐標(biāo)系中,ABCD-A1B1C1D1為棱長為1的正方體,下列結(jié)論中,正確的是 ()A.直線DD1的一個方向向量為(0,0,1)B.直線BC1的一個方向向量為(0,1,1)C.平面ABB1A1的一個法向量為(0,1,0)D.平面B1CD的一個法向量為(1,1,1)2.已知平面α內(nèi)有一個點A(2,-1,2),它的一個法向量為n=(3,1,2),則下列點P中,在平面α內(nèi)的是 ()A.(1,-1,1) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE3.設(shè)平面α的法向量的坐標(biāo)為(1,2,-2),平面β的法向量的坐標(biāo)為(-2,-4,k).若α∥β,則k等于 ()A.2 B.-4 C.4 D.-24.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點,A1M=AN=QUOTE,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是 ()A.相交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C內(nèi)二、填空題(每小題5分,共10分)5.已知O為坐標(biāo)原點,四面體OABC的頂點A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0),直線BD∥CA,并且與坐標(biāo)平面xOz相交于點D,點D的坐標(biāo)為.

6.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值是.

三、解答題(每小題10分,共20分)7.如圖,已知ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=QUOTE,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(1)求平面SAB的一個法向量;(2)求平面SCD的一個法向量.8.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為DD1和BB1的中點.求證:四邊形AEC1F是平行四邊形.(15分鐘·30分)1.(5分)若=λ+μ(λ,μ∈R),則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是()A.相交 B.平行C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)2.(5分)(2020·武漢高二檢測)如果直線l的方向向量是a=(-2,0,1),且直線l上有一點P不在平面α內(nèi),平面α的法向量是b=(2,0,4),那么 ()A.直線l與平面α垂直B.直線l與平面α平行C.直線l在平面α內(nèi)D.直線l與平面α相交但不垂直3.(5分)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E為PC的中點,則BE與平面PAD的位置關(guān)系為.

4.(5分)若平面α的一個法向量為u1=(-3,y,2),平面β的一個法向量為u2=(6,-2,z),且α∥β,則y+z=.

5.(10分)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°角,求證:CM∥平面PAD.1.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=QUOTE,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,則M點的坐標(biāo)為 ()A.(1,1,1) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE2.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD的中點.(1)求證:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由. 六空間中點、直線和平面的向量表示空間中直線、平面的平行(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)1.(多選題)在如圖所示的坐標(biāo)系中,ABCD-A1B1C1D1為棱長為1的正方體,下列結(jié)論中,正確的是 ()A.直線DD1的一個方向向量為(0,0,1)B.直線BC1的一個方向向量為(0,1,1)C.平面ABB1A1的一個法向量為(0,1,0)D.平面B1CD的一個法向量為(1,1,1)【解析】選ABC.DD1∥AA1,=(0,0,1);BC1∥AD1,=(0,1,1);直線AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0);C1點坐標(biāo)為(1,1,1),與平面B1CD不垂直,所以D錯誤.2.已知平面α內(nèi)有一個點A(2,-1,2),它的一個法向量為n=(3,1,2),則下列點P中,在平面α內(nèi)的是 ()A.(1,-1,1) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.要判斷點P是否在平面α內(nèi),只需判斷向量與平面α的法向量n是否垂直,即·n是否為0,因此,要對各個選項進(jìn)行檢驗.對于選項A,=(1,0,1),則·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;對于選項B,=QUOTE,則·n=QUOTE·(3,1,2)=0,故B正確;同理可排除C,D.3.設(shè)平面α的法向量的坐標(biāo)為(1,2,-2),平面β的法向量的坐標(biāo)為(-2,-4,k).若α∥β,則k等于 ()A.2 B.-4 C.4 D.-2【解析】選C.因為α∥β,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以k=4.4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點,A1M=AN=QUOTE,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是 ()A.相交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C內(nèi)【解析】選B.以點C1為坐標(biāo)原點,分別以C1B1,C1D1,C1C所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由于A1M=AN=QUOTE,則MQUOTE,NQUOTE,=QUOTE.又C1D1⊥平面BB1C1C,所以=(0,a,0)為平面BB1C1C的一個法向量.因為·=0,所以⊥,又MN?平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.二、填空題(每小題5分,共10分)5.已知O為坐標(biāo)原點,四面體OABC的頂點A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0),直線BD∥CA,并且與坐標(biāo)平面xOz相交于點D,點D的坐標(biāo)為.

【解析】由題意可設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,0,z),則=(x-2,-2,z),=(0,-2,5).因為BD∥CA,所以QUOTE所以QUOTE所以點D的坐標(biāo)為(2,0,5).答案:(2,0,5)6.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值是.

【解析】因為a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),a∥b,令a=tb(t∈R),則(λ+1,0,2)=t(6,2μ-1,2λ)=(6t,(2μ-1)t,2λt),即QUOTE解得QUOTE或QUOTE答案:2,QUOTE或-3,QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)7.如圖,已知ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=QUOTE,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(1)求平面SAB的一個法向量;(2)求平面SCD的一個法向量.【解析】以點A為原點,AD,AB,AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),DQUOTE,S(0,0,1).(1)因為AD⊥AB,AD⊥SA,AB與SA相交于A,所以AD⊥平面SAB,所以=QUOTE是平面SAB的一個法向量.(2)在平面SCD中,=QUOTE,=(1,1,-1).設(shè)平面SCD的法向量是n=(x,y,z),則n⊥,n⊥,所以得方程組QUOTE所以QUOTE令y=-1,得x=2,z=1,所以平面SCD的一個法向量是n=(2,-1,1).8.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為DD1和BB1的中點.求證:四邊形AEC1F是平行四邊形.【證明】以D為坐標(biāo)原點,分別以,,為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方體的棱長為1,則A(1,0,0),EQUOTE,C1(0,1,1),FQUOTE,所以=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE,所以=,=,所以∥,∥,又因為F?AE,F?EC1,所以AE∥FC1,EC1∥AF,所以四邊形AEC1F是平行四邊形.(15分鐘·30分)1.(5分)若=λ+μ(λ,μ∈R),則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是()A.相交 B.平行C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)【解析】選D.因為=λ+μ(λ,μ∈R),所以與,共面.所以AB∥平面CDE或AB?平面CDE.2.(5分)(2020·武漢高二檢測)如果直線l的方向向量是a=(-2,0,1),且直線l上有一點P不在平面α內(nèi),平面α的法向量是b=(2,0,4),那么 ()A.直線l與平面α垂直B.直線l與平面α平行C.直線l在平面α內(nèi)D.直線l與平面α相交但不垂直【解析】選B.因為直線l的方向向量是a=(-2,0,1),平面α的法向量是b=(2,0,4),又a·b=-4+0+4=0,所以直線l在平面α內(nèi)或與平面α平行,又直線l上有一點P不在平面α內(nèi),所以直線l與平面α平行.3.(5分)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E為PC的中點,則BE與平面PAD的位置關(guān)系為.

【解析】以點A為原點,,,所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=a,AP=c,AD=b,則A(0,0,0),P(0,0,c),B(a,0,0),C(2a,b,0),故EQUOTE,則=QUOTE.又=(a,0,0)為平面PAD的一個法向量,且·=0,BE?平面PAD,故BE∥平面PAD.答案:平行4.(5分)若平面α的一個法向量為u1=(-3,y,2),平面β的一個法向量為u2=(6,-2,z),且α∥β,則y+z=.

【解析】因為α∥β,所以u1∥u2.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以y=1,z=-4.所以y+z=-3.答案:-35.(10分)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°角,求證:CM∥平面PAD.【證明】由題意得CB,CD,CP兩兩垂直,以點C為坐標(biāo)原點,CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因為PC⊥平面ABCD,所以∠PBC為PB與平面ABCD所成的角,所以∠PBC=30°.因為PC=2,所以BC=2QUOTE,PB=4.所以C(0,0,0),D(0,1,0),B(2QUOTE,0,0),A(2QUOTE,4,0),P(0,0,2),MQUOTE.所以=(0,-1,2),=(2QUOTE,3,0),=QUOTE.令n=(x,y,z)為平面PAD的法向量,則即QUOTE所以QUOTE令y=2,得n=(-QUOTE,2,1).因為n·=-QUOTE×QUOTE+2×0+1×QUOTE=0,所以n⊥,又CM?平面PAD,所以CM∥平面PAD.1.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=QUOTE,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,則M點的坐標(biāo)為 ()A.(1,1,1) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.設(shè)AC與BD相交于O點,連接OE,因為AM∥平面BDE,且AM?平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,所以AM∥EO,又O是正方形ABCD對角線的交點,所以M為線段EF的中點.在空間直角坐標(biāo)系中,E(0,0,1),F(QUOTE,QUOTE,1).由中點坐標(biāo)公式,知點M的坐標(biāo)為QUOTE.2.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD的中點.(1)求證:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由.【解析】(1)以A為原點,,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,