山西省太原市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

山西省太原市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題2022~2023學(xué)年第一學(xué)期高一年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：上午8：00——9：30）說(shuō)明：本試卷為閉卷筆答，答題時(shí)間90分鐘，滿分100分.一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.下列選項(xiàng)中，與角終邊相同的角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先表示出與終邊相同的角，再根據(jù)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：與角終邊相同的角表示為，當(dāng)時(shí)，故與角終邊相同.故選：D2.在直角坐標(biāo)系中，，，則角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義，即可求得答案.【詳解】在直角坐標(biāo)系中，，，設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：A3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】解：函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，，所以，則有唯一零點(diǎn)，且在區(qū)間內(nèi).故選：C4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由，得到，再利用誘導(dǎo)公式求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，故選：D5.甲、乙兩位同學(xué)解答一道題：“已知，，求的值.”甲同學(xué)解答過(guò)程如下：解：由，得.因?yàn)?，所?所以.乙同學(xué)解答過(guò)程如下：解：因?yàn)?，所?則在上述兩種解答過(guò)程中（）A.甲同學(xué)解答正確，乙同學(xué)解答不正確 B.乙同學(xué)解答正確，甲同學(xué)解答不正確C.甲、乙兩同學(xué)解答都正確 D.甲、乙兩同學(xué)解答都不正確【答案】D【解析】【分析】分別利用甲乙兩位同學(xué)的解題方法解題，從而可得出答案.【詳解】解：對(duì)于甲同學(xué)，由，得，因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以，故甲同學(xué)解答過(guò)程錯(cuò)誤；對(duì)于乙同學(xué)，因?yàn)椋?，故乙同學(xué)解答過(guò)程錯(cuò)誤.故選：D.6.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可得解.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：B.7.下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期，因?yàn)?，所以，所以函?shù)區(qū)間上單調(diào)遞減，故A符合題意；對(duì)于B，函數(shù)函數(shù)的最小正周期，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故B不符題意；對(duì)于C，函數(shù)的最小正周期，故C不符題意；對(duì)于D，函數(shù)的最小正周期，當(dāng)時(shí)，函數(shù)增函數(shù)，故D不符題意.故選：A.8.為了節(jié)約水資源，某地區(qū)對(duì)居民用水實(shí)行“階梯水價(jià)”制度：將居民家庭全年用水量劃分為三檔，水價(jià)分檔遞增，其標(biāo)準(zhǔn)如下：階梯家庭全年用水量（立方米）水價(jià)（元/立方米）其中水費(fèi)（元/立方米）污水處理費(fèi)（元/立方米）第一階梯0-180（含）2.92.40.5第二階梯181-260（含）5.14.6第三階梯260以上7.46.9如該地區(qū)某戶家庭全年用水量為300立方米，則其應(yīng)繳納全年綜合水費(fèi)（包括水費(fèi)、污水處理費(fèi)）合計(jì)為元.若該地區(qū)某戶家庭繳納的全年綜合水費(fèi)合計(jì)為777元，則該戶家庭全年用水量為（）A.170立方米 B.200立方米 C.230立方米 D.250立方米【答案】C【解析】【分析】根據(jù)用戶繳納的金額判定全年用水量少于260，利用第二檔的收費(fèi)方式計(jì)算即可.【詳解】若該用戶全年用水量為260，則應(yīng)繳納元，所以該戶家庭的全年用水量少于260，設(shè)該戶家庭的全年用水量為x，則應(yīng)繳納元，解得.故選：C二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的選項(xiàng)中，在多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得3分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位B.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位，再將所得圖象每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變）D.向左平移個(gè)單位，再將所得圖象每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變）【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)周期變換和平移變換的原則即可得解.【詳解】要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位；或者向左平移個(gè)單位，再將所得圖象每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變）.故選：BC.10.計(jì)算下列各式，結(jié)果為的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】運(yùn)用輔助角公式、誘導(dǎo)公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函數(shù)值、三角恒等變換中“1”的代換化簡(jiǎn)即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由輔助角公式得.故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.11.下列函數(shù)中最小值為是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷A，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)及三角函數(shù)的性質(zhì)判斷B，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷C、D.【詳解】對(duì)于A：，所以當(dāng)時(shí)，故A正確；對(duì)于B：，則，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增，所以，故C正確；對(duì)于D：，當(dāng)時(shí)，則，故D錯(cuò)誤；故選：AC12.已知定義在上的函數(shù)，設(shè)，，為三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足，則的可能取值為（）A.15 B.26 C.32 D.41【答案】BC【解析】【分析】先判斷函數(shù)的性質(zhì)以及圖像的特點(diǎn)，設(shè)，由圖像得是個(gè)定值，及的取值范圍，即可得出結(jié)論．【詳解】解：作出的圖像如圖：當(dāng)時(shí)，由，得，若，，互不相等，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以由圖像可知，，由，得，即，即，則，所以，因?yàn)?，所以，即，所以的取值范圍是．故選：BC．三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分，把答案寫(xiě)在題中橫線上）13.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由解出即可.【詳解】由，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?故答案為：.14.已知扇形AOB的面積為，圓心角為120°，則該扇形所在圓的半徑為_(kāi)_____．【答案】2【解析】【分析】利用扇形的面積公式即可求解.【詳解】，扇形AOB的面積為，所以，解得．故答案為：215.十八世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉指出：指數(shù)源于對(duì)數(shù)，并發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即當(dāng)，時(shí)，.已知，.則______.【答案】1【解析】【分析】先指數(shù)式對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值.【詳解】由，得，∴.故答案為：116.已知函數(shù)為一次函數(shù)，若，有，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值之和為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】依題意設(shè)，由求出的值，設(shè)，則，判斷的奇偶性，根據(jù)奇偶性的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，若，，有，則有，變形可得，即，設(shè)，則，則有，函數(shù)，設(shè)，則，必有，則函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上，其最大值與最小值之和是，而，則其最大值與最小值之和是.故答案為：．四、解答題（本題共5小題，共48分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）3.（2）.【解析】【分析】（1）運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式及，，，計(jì)算可得結(jié)果；（2）運(yùn)用指數(shù)冪、對(duì)數(shù)運(yùn)算公式及換底公式計(jì)算可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】.18.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據(jù)平方關(guān)系計(jì)算可得；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再代入計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，且，所以，又，所?【小問(wèn)2詳解】解：.19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，.（1）求的值；（2）射線繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，利用三角函數(shù)的定義，結(jié)合平方關(guān)系求解；（2）設(shè)單位圓與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為Q，則，設(shè)，求得，再利用二倍角的正切公式求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)殇J角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)單位圓與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為Q，則，設(shè)，則，所以，所以.20.說(shuō)明：請(qǐng)同學(xué)們?cè)冢ˋ）、（B）兩個(gè)小題中任選一題作答.（A）已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（B）已知函數(shù).（3）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（4）若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）.（2）為奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析.（3）為奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析.（4）.【解析】【分析】（1）解對(duì)數(shù)型函數(shù)方程即可.（2）由奇偶性的定義證明函數(shù)的奇偶性，先求定義域，再找與的關(guān)系式.（3）由奇偶性的定義證明函數(shù)的奇偶性，先求定義域，再找與的關(guān)系式.（4）根據(jù)題意問(wèn)題轉(zhuǎn)化為.運(yùn)用分離常數(shù)法研究分式函數(shù)的單調(diào)性，再運(yùn)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法得的單調(diào)性，應(yīng)用的單調(diào)性求得，進(jìn)而求得m的范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，即：，解得：.【小問(wèn)2詳解】為奇函數(shù).證明：由，解得：或，即的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)?，即，所以為奇函?shù).【小問(wèn)3詳解】為奇函數(shù).證明：由，解得：或，即的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)?，即，所以為奇函?shù).【小問(wèn)4詳解】因?yàn)閷?duì)于恒成立，所以.設(shè)，則，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即：實(shí)數(shù)m的取值范圍為.21.已知函數(shù)的最小正周期為，再?gòu)南铝孝佗趦蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件：①的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.（1）請(qǐng)寫(xiě)出你選擇的條件，并求的解析式；（2）在（1）的條件下，求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式，利用整體思想，結(jié)合正弦型函數(shù)的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心，建立方程，可得答案；（2）利用整體思想，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，建立不等式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】若選①：因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，解得，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，解得，由，則，故.若選②：因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，解得，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，則，由，則，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.22.已知函數(shù)，其中，再?gòu)南铝孝佗冖廴齻€(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件：①；②的最小正周期為；③的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）請(qǐng)寫(xiě)出你選擇的條件，并求的解析式；（2）在（1）的條件下，求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）條件選擇見(jiàn)詳解，（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得出，選擇①②，由可求得的值，再由正弦型函數(shù)的周期公