2.2-基本不等式十種題型歸納講義-2021-2022學年高一上學期數(shù)學人教A版(2019)必修第

基本不等式十種題型分析常用結論1、若，則(當且僅當時取“=”）2、若，則(當且僅當時取“=”）3、若（或同號），則(當且僅當時取“=”）4、若ab<0（或異號），則(當且僅當時取“=”）證明：∵∴，故∴（當且僅當時，等號成立），即∴典例分析題型一：湊系數(shù)考法：計算形如（）的最大值方法：變形為求解（驗證等號成立條件）例1（1）當時，求的最大值；（2）當時，求的最大值。題型二：加項變換考法：計算形如的最小值方法：變形為（驗證等號成立條件）例2已知，求的最小值。題型三：拆項變換考法：計算形如的最小值方法：變形為（驗證等號成立條件）例3求的最小值。題型四：整體代換考法：計算形如或的最小值。方法：①整體代換，將作為整體；②分離參數(shù)。例4已知，求函數(shù)的最小值。題型五：數(shù)字代換方法：將數(shù)字替換成代數(shù)式，通常變換成數(shù)字“1”。例5（1）已知，求的最小值。（2）設都是正數(shù)，且，求的最小值。題型六：型方法：分子分母同除以，即，進而利用基本不等式求解。例6已知，求函數(shù)的最大值。題型七：消元（化二元為一元）考法：已知兩個變量間的等量關系，求某個代數(shù)式的值。方法：①對已知的等量關系變形，有一個變量表示另一個變量；②將表示的變量代入所求代數(shù)式，得到一個單變量函數(shù)；③利用函數(shù)單調性求最值。說明：此方法適用范圍有限，現(xiàn)階段只適用于能化為二次函數(shù)的題型。例7已知，求的最大值。題型八：拆、拼、湊思想（目的）：從問題反推，通過拆、拼、湊，使已知和所求的單變量代數(shù)式一致。解法：對所求代數(shù)式不能直接使用基本不等式，需結合已知的等量關系和問題的代數(shù)形式對已知變形，得到問題中兩個變量的代數(shù)形式，使其積或和為定值，從而利用基本不等式求解。例8（1）已知為正實數(shù)，且，求的最小值；（2）如上述例7的方法二；（3）已知，，求的最小值。題型九：直接使用基本不等式例9（1）若正實數(shù)滿足，求的最小值；（2）已知正實數(shù)滿足，求的最小值。題型十：整體思想在均值不等式中的應用例10已知均為正數(shù)，，求函數(shù)的最小值。典例分析答案例1（1）當時，求的最大值；（2）當時，求的最大值?！痉治觥繙愊禂?shù)，使兩項之和為定值，第一題提出3，第二題湊?！窘馕觥浚?）∵ ∴∴（當且僅當時，等號成立）∴的最大值為12（2）∵ ∴∴（當且僅當時，等號成立）∴的最大值為8例2已知，求的最小值?！痉治觥坑深}知定值，因此整式項可以添加一個常數(shù)，使之乘積為定值?！窘馕觥俊? ∴∴（當且僅當時，等號成立）∴的最小值為8例3求的最小值?！痉治觥坎痦棧瑢⒉鸪?，然后利用基本不等式求解?！窘馕觥浚ó斍覂H當即時，等號成立）例4已知，求函數(shù)的最小值。【解析】∵時，∴當且僅當即時，等號成立例5（1）已知，求的最小值。【解析】∵∴，∴當且僅當即時，等號成立補充：如何計算等號成立時的值？由和解得（2）設都是正數(shù)，且，求的最小值?！窘馕觥俊摺唷喈斍覂H當，即時等號成立∴的最小值為例6已知，求函數(shù)的最大值?！窘馕觥坑深}得∵ ∴，故（當且僅當時，等號成立）∴，故，則，即∴函數(shù)的最大值為1.例7已知，求的最大值?！痉治觥勘绢}有兩種方法，其一是消元，根據“”得到值，代入成為關于的二次函數(shù)，從而求最值；方法二是對“”進行配湊，出現(xiàn)和.【解析】法一：消元法∵∴，故∵∴，得，故∴，故，，則∴的最大值為25.法二：配湊+基本不等式∵∴（解讀：之所將變形為，是根據所求得到）由題得，所以由基本不等式可得：（當且僅當時，等號成立）∴的最大值為25.例8（1）已知為正實數(shù)，且，求的最小值；（2）如上述例7的方法二；（3）已知，，求的最小值?！窘馕觥浚?）∵∴，故由題得，則由基本不等式得當且僅當，即時，等號成立∴的最小值為（3）說明：以下過程是分節(jié)過程，不是解答過程。已知是“”和“”，問題是“”和“”，我們從問題反推如何對已知拆、拼、湊，，出現(xiàn)“”和“”，接下來對已知拆、拼、湊將變形為，從而得到，本題迎刃而解。當且僅當，即時，等號成立例9（1）若正實數(shù)滿足，求的最小值；（2）已知正實數(shù)滿足，求的最小值?！窘馕觥浚?）∵∴化簡得∴當且僅當時，等號成立（