2022年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)方法清單07 二次函數(shù)與冪函數(shù)（解析版）

清單07二次函數(shù)與事函數(shù)

知識(shí)與方法清單

i.二次函數(shù)解析式的三種形式

⑴一般式：J(x)=ax2+bx+c(?#O)；

(2)頂點(diǎn)式：,/(x)=a(x—〃?)2+〃(4和)；

(3)零點(diǎn)式:y(x)=a(x-Xj)(x-x2)(a#)).

【解讀】根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，方法如下：

——|三點(diǎn)坐標(biāo)|——T選用一般式|

頂點(diǎn)坐集一!

------1對(duì)稱軸］?I選用頂點(diǎn)式|

L~|最大(小)禰］

——|與*軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)I選用零點(diǎn)式|

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1］己知二次函數(shù)左)滿足人2)=-1次-1)=-1,且＜x)的最大值是8,則二次函數(shù)的解析式為

【答案】7(x)=-4x2+4x+7

(4a+2h+c=-\,,,

a=—4,

方法一：(利用一般式)設(shè)危尸加+法+血和)，由題意得j'解之得＜。=4,

、4訛4一a爐=8,［c=7.r

所以所求二次函數(shù)為y=-4/+4x+7.

2+(—1)1

方法二：(利用頂點(diǎn)式)設(shè)火工)=。5一m)2+〃3邦),因?yàn)槿?)=火一1),所以拋物線對(duì)稱軸為x=---------=1

所以“T，又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值為8,所以〃=8,所以./U)=a(x—/+8.因?yàn)?2)=—1,即

c(2—+8=—1.解之得a=-4.所以外)=-4(x—力+8=—4x2+4x+7.

方法三：(利用零點(diǎn)式)由已知人］)+1=0的兩根為內(nèi)=2上=-1,即ga)=/a)+i的兩個(gè)零點(diǎn)為2,—1,

4〃(—2a—1)—/7-

故可設(shè)?r)+l=4(x—2)(犬+1)(#0),即人用二以2一以一2a—1.又函數(shù)有最大值ymax=8,即

=8,解之得〃=—4,所以所求函數(shù)解析式為7(x)=—4/+我一2x(—4)—1=—4/+4x+7.

2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)段)=依2+版+以〃8)的圖象是一條拋物線,它的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向、值域、單調(diào)性分別

是：

b

⑴對(duì)稱軸：x=----；

2a

小、k上ML（b4QC-/?2、

（2）頂點(diǎn)坐標(biāo)：----,--------；

I2Q4Q,

（3）開口方向：a>0時(shí)，開口向上一,〃VO時(shí)，開口向下；

（4）值域：〃>0時(shí)必V0時(shí),yW；

（5）單調(diào)性：。>0時(shí)在上（一8,一微，是減函數(shù)，在（一盤，+，）上是增函數(shù)；。<0時(shí)?r）在（一8,一給上

是增函數(shù)，在（一5，+8）上是減函數(shù).

【解讀】對(duì)于函數(shù)遂力=以2+公+c,若是二次函數(shù)，就隱含“知,當(dāng)題目未說明是二次函數(shù)時(shí)，就要分。=0和

兩種情況討論.②在二次函數(shù)尸底+"+以w0）中,a的正負(fù)決定拋物線開口的方向（a的大小決定開口大

?。?c確定拋物線在），軸上的截距力與a確定頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或?qū)ΨQ軸的位置）.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2］如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點(diǎn)4（一3,0）,對(duì)稱軸為x=-1.給出下面

四個(gè)結(jié)論：

①加>4"。；②2a—6=1；③a—6+c=0；④5a<6.其中正確的是（）

A.①③B.0@C.②③D.②④

【答案】B

_b

【解析咽為圖象與x軸交于兩點(diǎn),所以。2—4ac>0,即〃>4%①正確;對(duì)稱軸為X=-1,即一或=一1,2“

—6=0,②錯(cuò)誤；結(jié)合圖象，當(dāng)x=-1時(shí),y>0,即a—b+c>0,③錯(cuò)誤；由對(duì)稱軸為x=-1知力=2”,又函數(shù)圖

象開口向下，所以。<0,所以5a<2a,即5a<b,④正確.故選B.

3.根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與單調(diào)區(qū)間的位置關(guān)系，若二次函數(shù)在某

區(qū)間上單調(diào)，則該區(qū)間在對(duì)稱軸的一側(cè)，若二次函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào),則對(duì)稱軸在該區(qū)間內(nèi)（非端點(diǎn)），

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（安徽省六安市高三上學(xué)期月考）如果函數(shù)/（力=尤2-必;-3在區(qū)間（-8,2］上單調(diào)遞減，那

么實(shí)數(shù)。滿足的條件是（）

A.a>2B.a<2C,a>4D.a>-4

【答案】C

【解析】由二次函數(shù)〃x）=x2—融―3的對(duì)稱軸為x且開口向上，若在區(qū)間（-oo,2］上單調(diào)遞減，

可得：q22,解得。24,故選C.

2

4.二次函數(shù)、二次方程、二次不等式三者之間的關(guān)系

二次函數(shù)段）=加+隊(duì)+。（中0）的零點(diǎn)（圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）是相應(yīng)一元二次方程ax2+hx+c=0的根，

也是一元二次不等式加+加+介。（或加+云+區(qū)0）解集的端點(diǎn).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】不等式a?—法+c>。的解集為"|一2<%<1},則函數(shù)丁=0?+法+。的圖像大致為（）

【解析】

—2。+1=—b

ab=-a

不等式ax?+灰+°>0的解集為{工|一2<工<11,.'.,-2x1=-/.c=-2a,

a

a<0

a<0

y=ax2+bx+c=ax2-ax-2a=a（x2一x-2）,圖象開口向下，兩個(gè)零點(diǎn)為2,-1.故選C.

5.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)處取得，可分別求值再比

較大小，最后確定最值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2021江蘇省南通市高三上學(xué)期月考）若使得不等式犬―2x+a<（）成立，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍為()

A.a<—3B.a<0C.a<\D.a>—3

【答案】C

2

【解析】因?yàn)橛馤2],使得不等式x-2x+a<0成立，所以玉W一1,2],使得不等式af+2x成立，

令/(x)=-%2+2x,xe[-l,2],因?yàn)閷?duì)稱軸為x=Lxw[-l,2],所以y(x)max=/⑴=1,

所以。<1,故選C

6.含參二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】(2021浙江省臺(tái)州市高三上學(xué)期期中)己知為正實(shí)數(shù)涵數(shù)/(力=/-2%+。,且對(duì)任意

xe[0,r],w|/(x)|<a成立.若對(duì)每一個(gè)正實(shí)數(shù)a，記t的最大值為g⑷,若函數(shù)g⑷的值域記為B,則下

列關(guān)系正確的是()

A.2&BB.-iBC.3eBD.-iB

23

【答案】A

【詳解】；/(%)=——2x+a函數(shù)/(x)的圖象開口向匕對(duì)稱軸為x=1

2

①0<4,1時(shí)J(x)在[0,〃上為減函數(shù),=/(O)=a,f(x)min=f(t)=t-2t+a

???對(duì)任意的都有/(x)wHz,a]..-.-a<t2-2t+a^t2-2t+2a>0,

,1

當(dāng)△=(—2)——4x2a=4(l—2“)<0.即423時(shí),0<%,1,

當(dāng)△=(一2)2—4乂2。=4(1-24)>0,即0<4<；時(shí),1_5/13^4.41

②/>1時(shí),/(x)在[0,1]上為減函數(shù)，在[1⑺上為增函數(shù)，

則f(x)“加=/°)=a-12-a"a、=/nzu{/(0),/(r)}=max{a,r-2t+a}<a,

且/-2f+“,即1</,,2,：f的最大值為g(a)

綜上可得，當(dāng)aN1時(shí)fe(O,2],當(dāng)0<a<；時(shí),fe(O,l)

二函數(shù)g(。)的值域?yàn)?0,2],故選A.

7.一元二次方程根的討論(即二次函數(shù)零點(diǎn)的分布)

設(shè)XIX2是實(shí)系數(shù)一元二次方程，*+公+。=03>())的兩實(shí)根，則沏上的分布范圍與系數(shù)之間的關(guān)系如表所示.

根的分布

（m<n<p且tn,圖象滿足的條件

n,p均為常數(shù)）

'△>0,

Vb

九1〈垃〈加-1?>“①一不如

n

(〃?)>0.

2>0,

b

m<x\<X2②0-丁〉根，

為2a

</(zn)>0.

x\<m<X2③AM<0.

?A>0,

b

機(jī)一五<〃，

771<X1<X2<H④V

f(m)>0,

f(〃)>0.

f(/n)>0,

tn<x\<n<X2<p⑤?f(n)<0,

/(P)>o.

△

后'=0,

tn<x\=X2<n⑥b

〃7<一五〈兒

只有一根

V

\\

\____\

在區(qū)間（孫〃）內(nèi)⑦犬附貝〃）<0.

/n-

口二

【解讀】對(duì)一元二次方程根的問題的研究，主要分三個(gè)方面：①根的個(gè)數(shù)問題，由判別式判斷；②正負(fù)根問題,

由判別式及韋達(dá)定理判斷；③根的分布問題，依函數(shù)與方程思想，通過考查開口方向、對(duì)稱軸、判別式、端點(diǎn)

函數(shù)值等數(shù)形結(jié)合求解

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

⑴若方程有兩根淇中一根在區(qū)間（一1,0）內(nèi),另一根在區(qū)間（1⑵內(nèi)，求m的取值范圍;

⑵若方程兩根均在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求m的取值范圍.

【解析】(I)條件說明拋物線/(犬)=/+2〃狀+2加+1與A-軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(-1,0)和(1,2)內(nèi)，作出函數(shù)人x)

的大致圖象，得

1

m<-2,

7(0)=2〃?+1<0,

1/(-1)=2>0,mGR,

1

/(I)=4w+2<0,加<-5,

,/(2)=66+5>0

5

所以-薩<-，?

5

故m的取值范圍為:-

6一

⑵山拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0,1)內(nèi)，作出函數(shù)?r)的大致圖象得

7(o)=2w+l>0,

1/(1)=4加+2>0,

A=(2加)2—4(2m+1)>0,

、0<一mvl.

r1

m>—y

1i

>m>~r，所以一予何一位

)n>\+讓或/彷1一近，

<一1<7W<0.

故m的取值范圍為,一；Vmgl一誨j.

8.第函數(shù)的定義

形如)，=K(a￡R)的函數(shù)稱為某函數(shù)，其中x是自變量以為常數(shù).注意N的系數(shù)為1.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】下列函數(shù)是暴函數(shù)的是()

A.y=-x2B.y=lC.y=3x3D.y=x3

【答案】D

i

【解析】由哥函數(shù)的定義可知y=是幕函數(shù).

【提醒】注意y=x0與y=l的區(qū)別，前者是幕函數(shù)，后者不是幕函數(shù)，雖然x0=l,但這兩個(gè)函數(shù)的定義域不同,

y=x°的定義域時(shí),(YQ,0)U(0,+8)?y=i的定義域?yàn)?~0°,+8).

9.暴函數(shù)解析式的確定

由于基函數(shù)的形式是y=d(aCR),其中只有一個(gè)參數(shù)/因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9］已知幕函數(shù)〃力=?病+，”『(WWN*)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,也)，則/(%)=.

【答案】必

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)外)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,啦),所以及=2而+，")'，即2、2而+"，廣，

所以病+"7=2,解得m=\或，"=—2.又因?yàn)?"GN*,所以m=\,f(x)-x1.

10.y=X,y=》2,y=%3,丁=》2,>=彳-1的圖象.

在同一坐標(biāo)系內(nèi)，這5個(gè)幕函數(shù)的圖象如圖所示，這5個(gè)塞函數(shù)代表了暴函數(shù)的5種基本類型，是考綱要求掌握

的5個(gè)幕函數(shù).

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】因?yàn)閥=Z，2-4，M(>neZ)的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，所以加2—4〃?<0,即0</n<4.

又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且"PZ,又M-4"?為偶數(shù)，因此加=2.

11.累函數(shù)圖象的規(guī)律

對(duì)于累函數(shù)y=x。的圖象應(yīng)注意以下兩個(gè)方面：

(l)a的正負(fù)：a>0時(shí),圖象過原點(diǎn)和(1,1),在第一象限的圖象上升；a<0時(shí),圖象不過原點(diǎn)，過(1,1),在第一象限

的圖象下降.

(2)曲線在第一象限的凹凸性,a>l時(shí)，曲線下凸；0<a<l時(shí)，曲線上凸；a<0時(shí)，曲線下凸.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11］基函數(shù)當(dāng)a取不同的正數(shù)時(shí),在區(qū)間［0,1］上它們的圖象是一組美麗的曲線(如圖).設(shè)點(diǎn)

41,0),8(0,1),連接AB,線段AB恰好被其中的兩個(gè)幕函數(shù)的圖象三等分，即有BM=MN=NA.那么

磔=()

A.1B.2C.3D.無法確定

【答案】A

12

【解析】由條件得MQ,扣仔，。由一般性,，即a=log2=log^?S=bg2

333

12lg3lg3

5?logI'："，，'：1?故選A.

12.根據(jù)圖象高低判斷幕指數(shù)大小的方法

恭函數(shù)的基指數(shù)的大小，大都可通過基函數(shù)的圖象與直線x=a(awl)的交點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小反映.一般地，在

區(qū)間(0,1)上屆函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大、圖低”),在區(qū)間(1,+刃)上爆函數(shù)中指數(shù)越

大，圖象越遠(yuǎn)離x軸(不包括幕函數(shù))，=/).

在區(qū)間(0,1)上鼎函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(l,+oo)上晶函數(shù)中指數(shù)越

大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離X軸.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12］如圖,曲線是幕函數(shù)y=/在第一象限的圖象，已知〃取2,3(一1四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線

G,C2,C3,C4的n依次為

【答案】3,2.1-1,

【解析】

解法一（數(shù)形結(jié)合法）:

如圖,作直線由于函數(shù)y=/的圖象與直線x=r的交點(diǎn)為可見指數(shù)〃的大小與圖象交點(diǎn)的“高低”

是一致的，結(jié)合圖象，可得答案.

解法二(特殊值法)：當(dāng)x=2時(shí),yi=23=8,>2=22=4,券=2°-5=黃,),4=2「|8>4>陋>(,.?.丫1>”>”>泗,

故填3,2,1,-1.

13.某函數(shù)的單調(diào)性

當(dāng)a>0時(shí)基函數(shù)y=X。在（0,+8）上單調(diào)遞增；⑵當(dāng)a<0時(shí),幕函數(shù)y=￡在（0,+s）上單調(diào)遞減.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13］尋函數(shù)y=』"T與>=》3止〉在（0,+8）上都是單調(diào)遞增函數(shù)，則滿足條件的整數(shù)機(jī)的值為

（）

A.0B.1和2C.2D.0和3

【答案】C

|/n-l|>0

【解析】由題意可得：,3加—加2〉0,解得：加=2,故選C.

meZ

14.塞函數(shù)的奇偶性

mm

形如y=X"或y=（m,n為互質(zhì)的正整數(shù)）類型函數(shù)的奇偶性判斷

當(dāng)犯〃都為奇數(shù)時(shí)，幕函數(shù)在定義域上為奇函數(shù);當(dāng)m為奇數(shù),〃為偶數(shù)時(shí)，哥函數(shù)在定義域上為非奇非偶函數(shù);

當(dāng)m為偶數(shù),〃為奇數(shù)時(shí)，幕函數(shù)在定義域上為偶函數(shù).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2021北京市中國人民大學(xué)附屬中學(xué)高三考前熱身練）設(shè)ae{-l,g,1,2,3：則“〃》）=/

的圖象經(jīng)過（一1,一1）”是“/（力=6為奇函數(shù)”的（）

A.充分不必要件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由ae{—.由〃x）=/的圖像經(jīng)過（一1,一1）廁a的值為一1,1,3.此時(shí)/（力=^為奇

函數(shù).又當(dāng)/（%）=6為奇函數(shù)時(shí)，則a的值為—1,1,3,此時(shí)/（x）=X。的圖象經(jīng)過（-1,-1）.

所以“=X。的圖象經(jīng)過（一1,—1）”是“〃x）=x"為奇函數(shù)”的充要條件，故選C

15.基值大小的比較

比較兩個(gè)哥的大小，首先要分清是底數(shù)相同還是指數(shù)相同.如果底數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；如果指

數(shù)相同，可轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同，或利用暴函數(shù)的單調(diào)性,也可借助函數(shù)圖象；如果指數(shù)不同，底數(shù)也不同，則要利用

中間量.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15］（河南省九師聯(lián)盟高三五月聯(lián)考）已知a=3.939,b=3.936,c=3.83,,d=3.83"則。,兒。,

d的大小關(guān)系為（）

A.d<c<b<aB.d<b<c<a

C.b>d>c>aD.b<c<d<a

【答案】B

［解析】構(gòu)造函數(shù)/（x）=/測(cè)/'（X）=上手.當(dāng)xG（e,+a>）吐r（X）<0.

故/（x）在（e,-K?）匕單調(diào)遞減，所以/（3.9）</（3.8），所以端^<，即3.81n3.9<3.91n3.8,

所以In3.9"<ln3.83-9,所以3.9相<3,83-9:因?yàn)閥=在（0,+a>）上單調(diào)遞增，所以3.8"<3,938,

同理3忌9<3.939，所以3.賺8<3,9"<3.8"<3,939,^d<b<c<a.故選B.

16.把y=X'1的圖象通過伸縮與平移變換，可以得到y(tǒng)=變上邑（。/0,工力4］的圖象，利用圖象可進(jìn)一步研

ax+b\ab）

火―立cx+d（八c

究函數(shù)y=-----。工0,一工一的性質(zhì).

ax+b\ab）

2r-1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16］>=與」的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為.

工-3

【答案】（3,2）

【解析】因?yàn)槎?生土=生心士*=2+二一.所以丁=上二!■的圖象可由>的圖象向右平移3個(gè)單

x—3x-3x-3x-3x

位，向上平移2個(gè)單位得到，由>=巳是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以y=子:的圖象關(guān)于點(diǎn)（3,2）對(duì)稱.

跟蹤檢測(cè)

一、單選題

I.(2021湖北省黃岡市高三下學(xué)期第四次模擬)設(shè)。>0,。>0,若"+24=^+34則()

A.a<bB.a>bC.2a-3bD.3a<4匕

【答案】B

【解析】因?yàn)閍>0,所以片+3。>4+2。=〃+3。,所以+3。>廿+30,因?yàn)楹瘮?shù)/'(x)=V+3x,在

(0,+e)上單調(diào)遞增，且。力>0,所以a>從故選B

2.(2021安徽省六安市高三上學(xué)期月考)如果函數(shù)/(x)=Y+笈+c對(duì)任意的實(shí)數(shù)羽都有

y(T+X)=〃-%),那么()

A./(O)</(2)</(-2)B./(0)<./(-2)</(2)

C./(2)</(O)</(-2)D./(-2)</(0)</(2)

【答案】B

(解析】?.?f(x)=Y+"+c對(duì)任意的實(shí)數(shù)X,都有/(-1+x)=/(一力，，函數(shù)y=V+法+C的對(duì)稱軸方

程為X=-工???拋物線開口向上，稱軸方程為X=-2，％=0距離X=最近,X=2距離X=-《最遠(yuǎn)，

2222

??J(O)</(—2)</(2).故選B.

3.(2021.北京市延慶區(qū)高三模擬)已知定義在R上的事函數(shù)〃x)=x"'為實(shí)數(shù))過點(diǎn)A(2,8),記

a=/(logQ.53)，1=/(log25),c=/W),則瓦c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】由題得8=2"',23=2",.?.機(jī)=3,/(x)=/.函數(shù)/(無)=d是R上的增函數(shù)

因?yàn)猷?3<log05l=0,0<log25<log,8=3=m,所以m>log25>log053,

所以/(，〃)>/(log,5)>/(log。$3),所以a<匕<c.故選A

4.(江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校高三第二次聯(lián)考)已知函數(shù)y=-ax"+力-1是嘉函數(shù)，直線

H+1

mx-〃y+2=0O>0,〃>0)過點(diǎn)(a,力)，則----的取值范圍是()

加+1

A?卜WHnK(L3)C.[p3]D.加

【答案】D

【解析】由y=-ar"+。-1是幕函數(shù)，知：a=T,O=l.又(a,b)在如一〃y+2=0匕

71+13—/?!471+1I

；?根+〃=2,即〃=2一機(jī)＞0,則----=------=-------1且0＜機(jī)＜2,?'?-------e(―,3).

/篦+1m+l777+Im+13

故選D.

3

5.(2021徽省合肥市高三6月最后一卷)若0＜玉＜%，則下列函數(shù)①fix)=x:②/(x)=/；③/J)=x；

④/（幻=五；⑤/。）=：滿足條件/（七三）,，/）（/〉Y＞°）的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】只有上凹函數(shù)或者是一次函數(shù)才滿足題中條件，所以只有①②③⑤滿足.故選D.

6.（2021浙江省杭州市高三5月模擬）已知二次函數(shù)"》）=犬+辦+》（a,Z?eR）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，若

/仁+2x-］）=0有四個(gè)不同的根玉＜/＜?。?且不，龍2，/，Z成等差數(shù)列，則a-力不可能是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】設(shè)/（%）+ax+b（a,beR］的兩個(gè)不同零點(diǎn)為〃?,〃,且m＞n,

m+n=-a

所以/（加）=/（〃）=（），△=/一4人＞0,且1.,

mn=b

又因?yàn)?（d+2x-1）=。有四個(gè)不同的根玉＜二＜七＜Z，

所以X2+2x—1=m對(duì)應(yīng)的根為%，*4，%2+2x—1=〃對(duì)應(yīng)的根為冗2，入3，

A=4+4(l+m)＞0[A=4+4(1+H)＞0

所以‘玉+X4=一2,＜x2+玉=—2

x}x4=-\-mx2x3=-\-n

22

所以(元4一工1)2=X4+x)-2X4X,=(X4+石)2-4X4X}=4+4(1+⑼，

2

同理(*3—修)-=-^3+*2--2%3%2=(，3+*2)—-4-X^X7=4+4(1+H),

因?yàn)橥?，?,￡，匕成等差數(shù)列，

2

所以%—玉=3。3—々),則(2—X1)2=9(X3-X2)

所以4+4(1+機(jī))=9[4+4(1+〃)],解得771=16+9/1.

因?yàn)樗浴?=16+9〃>〃,解得〃>一2,

所以。一6=—(根+〃)一根〃=-(16+10〃)一(16+9〃)"=-9〃2-26n-16=-9(?+—.

I99

7.（2021浙江省普通高中強(qiáng)基聯(lián)盟協(xié)作體高三下學(xué)期統(tǒng)測(cè)安）已知對(duì)任意的亂9目0,3].方

程|/"）二/"（3）|+|/（力—/（々）|=加在[°，3]上有解,則加的取值范圍是（）

A.[0,3]B.[0,4]C.{3}D.{4}

【答案】D

【解析】/（X）=（X-1）2-1,Xe。3],則/（X）min=TJ（X）max=3.

要對(duì)任意的X1,&e[o,3].方程|/（x）-/（X|）|+1/（x）-（%2）|=〃2在[。，3]上都有解，

取〃石）=-1J（W）=3,此時(shí)，任意xw[0,3],都有m=—『（3）+，（兀）一/（馬）|=4,

其他加的取值，方程均無解，則旭的取值范圍是{4}.故選D.

8.（2021浙江省臺(tái)州市、紹興市高三5月模擬）已知關(guān)于x的不等式（J+ax+oJlnxNO在（0,+向上恒

成立（其中。、OGR）,則（）

A.當(dāng)。=一2時(shí)，存在b滿足題意B.當(dāng)a=0時(shí),不存在b滿足題意

C.當(dāng)人=1時(shí)，存在"滿足題意D.當(dāng)人=2時(shí),不存在。滿足題意

【答案】D

【解析】因?yàn)殛P(guān)于X的不等式卜2+以+孫InX20在（0,+。）上恒成立,

’0〈尤<1

所以必需要滿足0X>+1辦+/0

x1+ax+b<0

即對(duì)于函數(shù)y=V+ox+b,必有一零點(diǎn)為x=1且零點(diǎn)左右函數(shù)值符號(hào)不同,

即當(dāng)0cx<1時(shí),y<0；當(dāng)x>l時(shí),y》0.

A項(xiàng)：a=—2,y=%~-2%+b,令x=1.0=12-2+/?，b=l，

此時(shí)y=公—2x+l,不滿足零點(diǎn)左右函數(shù)值符號(hào)不同,A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)：。=0,、=*2+力.令x=i.o=]2+。,人=一],

此時(shí)y=/一1，存在b滿足題意.B錯(cuò)誤；

C項(xiàng)：5=1.y=%2+依+1,令*=1，0=12+。+1.。=-2.

此時(shí)y=%2-2%+1,不滿足零點(diǎn)左右函數(shù)值符號(hào)不同,C錯(cuò)誤；

D項(xiàng)：/?=2,^=%2+。工+2,令％=1，0=12+4+2.a——3-

此時(shí)y=x2-3x+2,不滿足當(dāng)0<x<l時(shí)ywo且當(dāng)X>1時(shí),y20.

即不存在。滿足題意,D正確，故選D.

9.（2021安徽省六安市高三上學(xué)期第一次月考）在同一直角坐標(biāo)系中，指數(shù)函數(shù)y=,二次函數(shù)

丁=姓2一樂的圖象可能是（）

【答案】B

【解析】指數(shù)函數(shù)y=圖象位于x軸上方，據(jù)此可區(qū)分兩函數(shù)圖象.二次函數(shù)丁=0?一灰=(依-母小

有零點(diǎn)2,0.A,B選項(xiàng)中，指數(shù)函數(shù)y=在R上單調(diào)遞增，故2>1,故A錯(cuò)誤、B正確.C,D選項(xiàng)中，指

ayaJa

數(shù)函數(shù)y=在K上單調(diào)遞減，故0<2<l,故c,D錯(cuò)誤.故選B

\a)a

10.已知函數(shù)/(x)=-犬+笈+c,則“//)]>0”是“方程/(X)=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解且方程

f(7(x))=0恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由f(x)=一/+瓜+C表示開口向下的拋物線,對(duì)稱軸的方程為X=5,

要使得方程fW=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)，只需檔)>0,要使得方程/(/(X))=0恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，設(shè)兩解

分別為斗,々,且當(dāng)<馬，則滿足X、〈于(X)M<工2，

因?yàn)閤e(斗光2)時(shí),“X)>0,所以/(/(1))>0,所以必要性成立；

反之，設(shè)t=/(1)>0,即/⑺>0,當(dāng)/(/)=0有兩個(gè)正根,且滿足4<t2，若tt<t2</(x)max,

此時(shí)方程/(/(x))=o恰有四個(gè)不同實(shí)數(shù)解，所以充分性不成立.所以“/上?|>0”是“方程/(x)=0有

兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解且方程/1(/(%))=0恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解”的必要不充分條件.故選C.

11.已知/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí),f(x)=Y+2x，若存在實(shí)數(shù)a,b(aH與，使f(x)在[a,b]

上的值域?yàn)槿危瑒tQ+力的值為，)

3+V5

AW2

3+5/5_p.—3--\/5

土苴或土也------或------

2222

【答案】D

2工_三x>0

【解析】因?yàn)?(%)為奇函數(shù)，所以/(x)=2一八，如圖,

x+2x,x<0

a<b

由區(qū)間概念可推知\11,得Q6>0,

—<—

ba

(1)當(dāng)0<a<b時(shí),/。)=一(％-1)2+141,從而，41,即心1.所以14。<。,由圖得y=/。)在［。,目

/(?)=-1

上為減函數(shù)，所以：，這兩個(gè)關(guān)系等價(jià)于是方程/(幻=上的兩個(gè)根，且1<。<夕’，

b

由方程2》一/=_1.得V一萬2—12一］)=0解得%=］,々=匕@,

%2

所以=!±且,即a+/?=上叵；

22

(2)當(dāng)a<Z?<0時(shí)，

/(%)=(》+1)2—1之一1,從而、2—1,即/74—1,所以。<匕<-1,

/（?）=-1

由圖得y=fix）在［a,b］上為減函數(shù)，所以:，這兩個(gè)關(guān)系等價(jià)于，b是方程f（x）=-的兩個(gè)根,

/⑹=1X

b

且。<人工一1”,由方程2x+x2=g.得丁+%2+（%2-］）=o,解得玉=_1,“二1；占,

解得a=-1-也2=—1,即。=-3--，故選D

22

12.（2021上海市普陀區(qū)高三一模）設(shè)b、c均為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程/+同x|+c=0在復(fù)數(shù)集。上給出下

列兩個(gè)結(jié)論：

①存在〃、J使得該方程僅有兩個(gè)共輒虛根；

②存在。、J使得該方程最多有6個(gè)互不相等的根.

其中正確的是（）.

A.①與②均正確B.①正確，②不正確

C.①不正確,②正確D.①與②均不正確

【答案】A

【解析】令。=04為正實(shí)數(shù)，則存在兩個(gè)共朝的虛根，如6=0,。=1,則存在兩個(gè)共聊虛根,x=±i,故①正確；

若％為實(shí)數(shù)，則方程可看做兇2+b|x|+c=0,只需保證國有兩個(gè)正解即可，此時(shí)方程有四個(gè)實(shí)根;若％為虛數(shù),

則設(shè)x=m+應(yīng)，（機(jī),“eE）有Y+方可+。=0,等價(jià)于/_,2+2加班+b1病+“2+0=o,所以2m?=0.

又x為虛數(shù)，所以則有m=0,即一"+目H+c=o,（〃eR）,即"一同4一。=0最多有兩個(gè)根，所以方

b2-4c>0

程最多有6個(gè)解.只需,/+4c〉0即可，如b=-3,a=2,方程有一1,—2,1,2四個(gè)實(shí)根，有

b<Q

-3+^3-V17.兩個(gè)虛根.故②正確；故選A.

22

13.（2021河南省南陽市2高三期中質(zhì)量評(píng)估）如果函數(shù)〃x）=（a—l）f+僅+2）x+l（其中6-aN2）

在［1,2］上單調(diào)遞減，則3a+2。的最大值為（）

2,

A.4B.-1C.-D.6

3

【答案】c

【解析】分以下幾種情況討論:

(1)當(dāng)a—1=0時(shí)，即當(dāng)4=1時(shí),/(x)=(b+2)x+l在［1,2］上單調(diào)遞減，可得b+2<0,

解得人<一2.?.七一。=8—122,可得匕之3,不合乎題意；

(2)當(dāng)a-l<0時(shí)，即當(dāng)a<l時(shí)，

b+2

由于函數(shù)/(x)=(a—1)%2+。+2)元+1在［1,2］上單調(diào)遞減，則一2(._］)-1,

可得〃+2W2—2。,即2a+8<0,可得8W-2a,由。一“W2,可得?！簇耙?,

'_2

［b=-2a

所以,3。+給43(0-2)+2x(—2a)=Ta+3力—6,當(dāng)且僅當(dāng)12時(shí)，即當(dāng)4時(shí)，等號(hào)成立，則

M—b=—

I3

3"2yH+24=|；

(3)當(dāng)a—1>0時(shí)，即當(dāng)a>l時(shí)，

b+2

由于函數(shù)/(x)=(。-l)f+(b+2)x+l在［1,2］上單調(diào)遞減，則一福可22,可得4a+b?2,即

Z?<2—4。，?.?〃一。22,即〃22+a、「.2+aK〃K2—4tz,解得不合乎題意.

綜上所述,3a+2b的最大值為1.故選C.

二、多選題

14.已知函數(shù)/(x)=d-2x+a有兩個(gè)零點(diǎn)否，聲,以下結(jié)論正確的是()

112

A.a<\B.若％與。0,則—+—=—

%x2a

C./(-1)=/(3)D.函數(shù)有y=/(|x|)四個(gè)零點(diǎn)

【答案】ABC

【解析】二次函數(shù)對(duì)應(yīng)二次方程根的判別式A=(—2)2-4a=4-4a>0,a<1,故A正確；

韋達(dá)定理%+工2=2,工］工2=。，—+—=------=—，故B正確；因?yàn)?(X)對(duì)稱軸為尤=1,點(diǎn)

x}x2x}x2a\,

(-1,/(-1)),(3,/(3))關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，故C正確；當(dāng)a<0時(shí),y=/(國)只有兩個(gè)零點(diǎn)，故D不正確.

故選ABC

15.(2021湖南省常德市高三上學(xué)期第月考)若二次函數(shù)/(x)=a?+必+”。工0)的圖象和直線y=x無

交點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論：

①方程〃/(幻]=x一定沒有實(shí)數(shù)根；

②若a>0,則不等式/[/(x)]>x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立；

③若a<0,則必存在實(shí)數(shù)%,使/[/(x0)]>/；

④函數(shù)g(x)=ax2-bx+c(a^0)的圖象與直線V=-％一定沒有交點(diǎn).

其中，正確的是()

A.①B.②C.③D.@

【答案】ABD

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)“X)的圖象與直線>=》沒有交點(diǎn)，所以/U)>x(a>0)或/(x)<x(a<())恒成立.

因?yàn)?[/(%)]>/(x)>x或/[/?]</(%)<x恒成立，所以/"(x)]沒有實(shí)數(shù)根,故①正確；

若a>0,則不等式/"(x)]>/(x)>x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，故②正確；若a<0,則不等式/"(x)]<x對(duì)一

切實(shí)數(shù)x都成立，所以不存在實(shí)數(shù)%,使/[/(x0)]>/，故③錯(cuò)誤；由函數(shù)g(x)=f(-x)與/(%)的圖象關(guān)于

y軸對(duì)稱，所以g(x)和直線>=一》也一定沒有交點(diǎn).故④正確，故選ABD

16.(2021江蘇省無錫市高三上學(xué)期期初檢測(cè))已知函數(shù)/(x)=3/-6x7,則()

A.函數(shù)/(力在(2,3)有唯一零點(diǎn)

B.函數(shù)“X)在(-1,+8)上單調(diào)遞增

C.當(dāng)a>l時(shí)，若/(優(yōu))在上的最大值為8,則a=3

D.當(dāng)0<a<1時(shí)，若/(")在xe[-1,1]上的最大值為8,則a=；

【答案】ACD

【解析】/(X)=3(X-1)2-4,A.〃2)=-1<0.八3)=8〉0,/。)在(2,3)匕^一個(gè)零點(diǎn)，又函數(shù)對(duì)稱軸

是x=l,還有一個(gè)零點(diǎn)小于1,因此函數(shù)f(x)在(2,3)有唯一零點(diǎn),A正確；

B.由對(duì)稱軸知B錯(cuò)；，C.時(shí),優(yōu)由/(l)=3/-6a-l=8得a=3或〃=一1(舍

a

去