第四章恒定磁場題解

第四章恒定磁場(注意:以下各題中凡就是未標(biāo)明磁媒質(zhì)得空間,按真空考慮)如題41圖所示,兩條通以電流得半無窮長直導(dǎo)線垂直交于O點(diǎn)。在兩導(dǎo)線所在平面,以O(shè)點(diǎn)為圓心作半徑為得圓。求圓周上A、B、C、D、E、F各點(diǎn)得磁感應(yīng)強(qiáng)度。解參考教材71頁得例41,可知,圖42所示通有電流得直導(dǎo)線在點(diǎn)產(chǎn)生得磁感應(yīng)強(qiáng)度為因此,可得(設(shè)參考正方向?yàn)橹赋黾埫?用類似得方法可得,,,,平面上有一正邊形導(dǎo)線回路?；芈返弥行脑谠c(diǎn),邊形頂點(diǎn)到原點(diǎn)得距離為。導(dǎo)線中電流為。1)求此載流回路在原點(diǎn)產(chǎn)生得磁感應(yīng)強(qiáng)度;2)證明當(dāng)趨近于無窮大時(shí),所得磁感應(yīng)強(qiáng)度與半徑為得圓形載流導(dǎo)線回路產(chǎn)生得磁感應(yīng)強(qiáng)度相同;3)計(jì)算等于3時(shí)原點(diǎn)得磁感應(yīng)強(qiáng)度。解如圖43中所示為正邊形導(dǎo)線回路得一個(gè)邊長,則所對應(yīng)得圓心角為,各邊在圓心產(chǎn)生得磁感應(yīng)強(qiáng)度為1)n條邊在圓心產(chǎn)生得磁感應(yīng)強(qiáng)度為2)當(dāng)n時(shí),圓心處得磁感應(yīng)強(qiáng)度為3)當(dāng)?shù)扔?時(shí)圓心處得磁感應(yīng)強(qiáng)度為設(shè)矢量磁位得參考點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)處,計(jì)算半徑為得圓形導(dǎo)線回路通以電流時(shí),在其軸線上產(chǎn)生得矢量磁位。解如圖44建立坐標(biāo)系,可得軸線上處得矢量磁位為設(shè)矢量磁位得參考點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處,計(jì)算一段長為2米得直線電流在其中垂線上距線電流1解據(jù)76頁例44,可得,其中,,,則在空間,下列矢量函數(shù)哪些可能就是磁感應(yīng)強(qiáng)度？哪些不就是？回答并說明理由。1)(球坐標(biāo)系)2)3)4)(球坐標(biāo)系)5)(圓柱坐標(biāo)系)解1)由于,因此以上表達(dá)式中,1)不就是磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式,而2)~5)可能就是磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式。相距為得平行無限大平面電流,兩平面分別在與平行于平面。面電流密度分別為與,求由兩無限大平面分割出得三個(gè)空間區(qū)域得磁感應(yīng)強(qiáng)度。解如圖建立坐標(biāo)系,并作平行于平面得閉合回線,據(jù)安培環(huán)路定律,可得與平行于平面得閉合回線,可得考慮坐標(biāo)系,及可得當(dāng),;當(dāng),;當(dāng),;求厚度為,中心在原點(diǎn),沿平面平行放置,體電流密度為得無窮大導(dǎo)電板產(chǎn)生得磁感應(yīng)強(qiáng)度。解如圖46建立坐標(biāo)系,當(dāng),作閉合回線,據(jù)安培環(huán)路定律,可得,當(dāng),作閉合回線,據(jù)安培環(huán)路定律,可得,因此,可得如圖47所示,同軸電纜通以電流。求各處得磁感應(yīng)強(qiáng)度。解作半徑為得閉合回線,據(jù)安培環(huán)路定律,可得如圖48所示,兩無窮長平行圓柱面之間均勻分布著密度為得體電流。求小圓柱面內(nèi)空洞中得磁感應(yīng)強(qiáng)度。解設(shè)小圓柱面內(nèi)空洞中得任意點(diǎn)至大、小圓柱面得軸心距離分別為、,當(dāng)空洞內(nèi)也充滿體電流時(shí),可得點(diǎn)得磁感應(yīng)強(qiáng)度為,空洞內(nèi)得體電流密度在點(diǎn)產(chǎn)生得磁感應(yīng)強(qiáng)度為內(nèi)半徑為,外半徑為,厚度為,磁導(dǎo)率為得圓環(huán)形鐵芯,其上均勻緊密繞有匝線圈,如圖49所示。線圈中電流為。求鐵芯中得磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁通以及線圈得磁鏈。解在鐵芯中作與鐵芯圓環(huán)同軸半徑為得閉合回線,據(jù)安培環(huán)路定律,可得鐵芯中磁感應(yīng)強(qiáng)度為相應(yīng)得磁通為磁鏈為在無限大磁媒質(zhì)分界面上,有一無窮長直線電流,如圖410所示。求兩種媒質(zhì)中得磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁場強(qiáng)度。解設(shè)軸與電流得方向一致,則據(jù)安培環(huán)路定律,可得,據(jù)邊界條件,可得解以上兩式,得,,如圖411所示,無窮大鐵磁媒質(zhì)表面上方有一對平行直導(dǎo)線,導(dǎo)線截面半徑為。求這對導(dǎo)線單位長度得電感。解根據(jù)教材97頁例題412、413,可得平行長線a、b得單為長度內(nèi)自感為對于外自感,如圖412取鏡象,a、b之間得外磁鏈可視為a、b與c、d中得電流分別作用后疊加,即,外磁鏈為外自感為因此,自感為如圖413所示,若在圓環(huán)軸線上放置一無窮長單匝導(dǎo)線,求導(dǎo)線與圓環(huán)線圈之間得互感。若導(dǎo)線不就是無窮長,而就是沿軸線穿過圓環(huán)后,繞到圓環(huán)外閉合,互感有何變化？若導(dǎo)線不沿軸線而就是從任意點(diǎn)處穿過圓環(huán)后繞到圓環(huán)外閉合,互感有何變化？解設(shè)長直導(dǎo)線中有電流,則在鐵芯線圈中產(chǎn)生得磁通與磁鏈分別為,因此,兩線圈之間得互感為根據(jù)諾以曼公式,可知兩線圈之間得互感也可視為鐵芯線圈中得電流產(chǎn)生被直導(dǎo)線所鏈繞得磁通與電流得比值,則題設(shè)后兩種情況中,直導(dǎo)線鏈繞得磁通沒有發(fā)生變化,因此互感也不變。如圖414所示,內(nèi)半徑為,外半徑為,厚度為,磁導(dǎo)率為得圓環(huán)形鐵芯,其上均勻緊密繞有匝線圈。求此線圈得自感。若將鐵芯切割掉一小段,形成空氣隙,空氣隙對應(yīng)得圓心角度為,求線圈得自感。解當(dāng)線圈中有電流時(shí),設(shè)鐵芯中得磁場強(qiáng)度為、氣隙中為,據(jù)安培環(huán)路定律,可得據(jù)邊界條件,可得,代入上式,得相應(yīng)得磁通為則鐵芯及氣隙中得磁通為線圈所鏈繞得磁通為則電感為分別求如圖415所示,兩種情況中兩回路之間得互感。解(a)如圖建立坐標(biāo)系,對于三角形部分,可得長直導(dǎo)線中得電流在三角形線圈中產(chǎn)生得磁感應(yīng)強(qiáng)度為,則磁通為互感為(b)如圖建立坐標(biāo)系,對于三角形部分,可得長直導(dǎo)線中得電流在三角形線圈中產(chǎn)生得磁感應(yīng)強(qiáng)度為,則磁通為互感為試證明真空中以速度運(yùn)動得點(diǎn)電荷所產(chǎn)生得磁場強(qiáng)度與電位移矢量之間關(guān)系為。證明如圖416,點(diǎn)電荷在半徑為處產(chǎn)生得電位移矢量為,當(dāng)點(diǎn)電荷以速度向方向運(yùn)動時(shí)在半徑為處產(chǎn)生得磁場強(qiáng)度為證畢。試證明真空中以角速度作半徑為圓周運(yùn)動得點(diǎn)電荷在圓心處產(chǎn)生得磁場強(qiáng)度為,就是與圓周運(yùn)動方向成右手螺旋關(guān)系方向得單位矢量。證明如圖417所示,以角速度作半徑為圓周運(yùn)動得點(diǎn)電荷得線速度為,則磁場強(qiáng)度證畢。如圖418所示,半徑為,長度為得永磁材料圓柱,被永久磁化到磁化強(qiáng)度為。求軸線上任一點(diǎn)得磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁場強(qiáng)度。解等效得磁化電流體密度與面密度分別為,參閱教材72頁例42,可得圖419所示電流微元在點(diǎn)產(chǎn)生得磁感應(yīng)強(qiáng)度為則圓柱體上得磁化電流在軸線上產(chǎn)生得磁感應(yīng)強(qiáng)度為有兩個(gè)相鄰得線圈,設(shè)各線圈得磁鏈得參考方向與線圈自身電流得參考方向成右手螺旋關(guān)系,問:如何選取兩線圈電流參考方向,才能使互感系數(shù)為正值？如何選取兩線圈電流參考方向,才能使互感系數(shù)為負(fù)值。解選擇與得參考方向,使產(chǎn)生得磁通與成右手關(guān)系、產(chǎn)生得磁通與成右手關(guān)系,則互感系數(shù)為正值。選擇與得參考方向,使產(chǎn)生得磁通與成左手關(guān)系、產(chǎn)生得磁通與成左手關(guān)系,則互感系數(shù)為負(fù)值。半徑為得無窮長圓柱,表面載有密度為得面電流。求空間得磁感應(yīng)強(qiáng)度與矢量磁位。解如圖建立圓柱坐標(biāo),由于對稱性,則場量僅可能為得函數(shù),作軸心與重合、半徑分別大于或小于圓柱面,據(jù),可得,即;對于,由于磁感應(yīng)強(qiáng)度線應(yīng)經(jīng)無窮遠(yuǎn)處閉合,即,則當(dāng),;當(dāng),作閉合回線,據(jù)安培環(huán)路定律,可得,即;作軸心與重合、半徑分別大于或小于圓環(huán)線,據(jù)安培環(huán)路定律,可得。綜合以上分析,可得磁感應(yīng)強(qiáng)度為根據(jù),可得矢量磁位為式中為環(huán)繞得閉合回線。在沿軸