函數妙題公開課-

妙題改編原題1：【例12】已知函數是奇函數，并且的圖像經過點．（1）求實數的值；（2）求當時，函數的值域．【詳解】：（1）法一：因為是奇函數，所以，即整理得，所以或因為所以法二：，此時滿足題意，所以（2），令，,在上遞減，在上遞增所以，的值域為【賞析】：本題考查函數的奇偶性和值域的求法，求解函數的奇偶性問題，可以由奇偶性的定義從恒成立問題的角度去求解，也可以先由必要條件賦值解得答案，再進行對任意性的驗證，在第二問求解函數值域時，通過對定義域和單調性的研究，進而得出答案．函數具有奇偶性的本質是恒成立問題，故不具有奇偶性即為存在性問題，準確區(qū)分二者的不同，并合理地運用必要條件，可以起到簡化運算的作用．核心素養(yǎng)與思想：邏輯推理、數學抽象；化歸思想、特殊與一般思想?！靖木帯浚阂阎瘮凳瞧婧瘮?，并且的圖像經過點．（1）求實數的值；（2）求當時，恒成立，求m的取值范圍．【詳解】:（1）原題2【例67】設函數（為自然對數的底數），若曲線上存在點，使得，則的取值范圍是（）.A.B.C.D.【詳解】：當時，又因為為單調遞增函數.若，則若，則所以.曲線上存在點，使得，等價為：在上存在解.即在上有解.設，，則在上單調遞增，所以.故.故選A.【賞析】：本題是函數與方程結合的典型考題，需要同學們充分掌握兩者之間的相互轉換技巧，再利用三角函數的有界性求得所求函數的定義域。核心素養(yǎng)和思想：數學抽象、邏輯推理；函數與方程思想。【改編】：設函數，若曲線上存在點，使得，則的取值范圍是（）.A.B.C.D.【詳解】：當時，為單調遞增函數..曲線上存在點，使得，等價為：在上存在解.即在上有解.設，則在上單調遞增，所以.，故選A原題3【例68】已知，，求函數的值域．【詳解】：法一：．令，則，構造函數：，則是上的單調增函數﹐則，因此．法二：（為第四象限角），則，可看作圖中直線AQ到AP的斜率的一半的變化范圍，即以及代入可得所求函數的值域為.【賞析】：己知函數并不特殊，直接進行處理難度較大，導數處理也效果不佳，關注式子結構特點，通過變換和換元，法一通過對分式換元構造單調函數可將題目簡化；法二通過三角換元構造一次分式型函數，轉化為幾何意義，直觀尋得最值；兩種解法的突破點都在于，這是有理化后研究單調性亦或者三角換元后的斜率操作的關鍵所在。核心素養(yǎng)與思想：邏輯推理、數學抽象；數形結合思想，整體換元思想?！靖木帯浚喝?，對，求【詳解】：原題4【例69】高斯函數（取整函數）是指不超過實數x的最大整數，稱為x的整數部分，記作[x]，已知，且，則______．【詳解】：因為，所以，又因為，所以，所以，又因為，所以，即：，所以或或．經檢驗：是原方程的解．【賞析】：因任一實數都能寫成整數部分與非負純小數之和，即，故。求解與高斯函數有關的題雖然不會涉及到很多其他基礎知識，但題目比較靈活，而且有較強的技巧性．解決有關高斯函數的問題需要用到多種數學思想方法，其中較為常見的有分類討論（例如對區(qū)間進行劃分）、命題轉換、數形結合、湊整、估值法等等．因此掌握高斯函數的定義、性質、應用及有關技巧，對同學來說是大有裨益的．核心素養(yǎng)與思想：邏輯推理、數學運算；化歸思想、分類思想?！靖木帯浚焊咚购瘮担ㄈ≌瘮担┦侵覆怀^實數x的最大整數，稱為x的整數部分，記作[x]，已知，，且，則______．【詳解】：因為，所以，又因為，所以，，所以，又因為，所以，即：，所以或或．經檢驗：是原方程的解．原題5【例70】已知函數，設（）為實數，且．給出下列結論：①若，則；②若，則．其中正確的是（）A．①與②均正確 B．①正確，②不正確C．①不正確，②正確 D．①與②均不正確【詳解】：令函數，可得函數為單調遞增函數，又由，即，所以函數為奇函數，圖象關于點對稱，如圖（1）所示，①中，因為，且，則，不妨設，則點，此時直線的方程為，可得，則，可得，又由，所以，即，即，所以①正確；②中，因為，且，則，不妨設，則點，此時直線的方程為，可得，則，可得，又由，所以，即，即，所以②正確.故選：A.【賞析】:本題關鍵是構造函數，利用函數的單調性和奇偶性，結合圖像進行求解。構造很巧妙、構造無極限，同學們要在這方面多加練習。構造的前提是要充分的關注函數式的結構特點，充分利用函數的性質進行整體構造，構造好后還要有可行的優(yōu)化的解法。核心素養(yǎng)與思想：邏輯推理、數學抽象；整體構造思想、數形結合思想?！靖木帯浚喝舳x在R上的函數滿足（）ABCD【詳解】：故選：A.原題【例71】已知是定義在R上且以4為周期的奇函數，當時，，若函數在區(qū)間有5個零點，則實數的取值范圍是________?！驹斀狻浚菏紫扔墒荝上的奇函數得，即其中一個零點是0；再由周期為4的奇函數知可得，即其中有兩個零點和2；由奇函數圖象關于原點對稱知剩下的兩個零點必在，各有一個零點。轉化成在必有一根即必有一根，法一：觀察到二次函數的對稱軸為則或解得法二：分離參數，只需函數與圖象有一個交點，所以。【賞析】本題是一個涉及周期性、奇偶性、函數零點的復合函數中求參數范圍問題，由奇函數和周期性得到3個零點，將問題轉化成在必有一根，需要注意的是復合函數一定要在定義域內求解。核心素養(yǎng)與思想：直觀想象、數據分析；數形結合思想、分類討論思想。改編：已知定義在R的奇函數滿足：，當時，，若函數在區(qū)間有7個零點，則實數的取值范圍是