高數(shù)同濟(jì)六版D二元泰勒公式

*第九節(jié)一、二元函數(shù)泰勒公式二、極值充分條件的證明二元函數(shù)的泰勒公式第九章1/2/2024高數(shù)同濟(jì)六版一、二元函數(shù)的泰勒公式一元函數(shù)的泰勒公式:推廣多元函數(shù)泰勒公式1/2/2024高數(shù)同濟(jì)六版記號(hào)(設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)):

一般地,

表示表示1/2/2024高數(shù)同濟(jì)六版定理1.的某一鄰域內(nèi)有直到n+1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn),則有其中①②①稱為f

在點(diǎn)(x0,y0)的n

階泰勒公式,②稱為其拉格朗日型余項(xiàng)

.1/2/2024高數(shù)同濟(jì)六版證:令則利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得:1/2/2024高數(shù)同濟(jì)六版一般地,由的麥克勞林公式,得將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式.1/2/2024高數(shù)同濟(jì)六版說(shuō)明:(1)余項(xiàng)估計(jì)式.因f

的各n+1階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),在某閉鄰域其絕對(duì)值必有上界

M,則有1/2/2024高數(shù)同濟(jì)六版(2)當(dāng)n=0時(shí),得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:(3)若函數(shù)在區(qū)域D

上的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零,由中值公式可知在該區(qū)域上定理11/2/2024高數(shù)同濟(jì)六版例1.

求函數(shù)解:的三階泰勒公式.

因此,1/2/2024高數(shù)同濟(jì)六版其中1/2/2024高數(shù)同濟(jì)六版時(shí),具有極值二、極值充分條件的證明的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒(méi)有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)定理2

(充分條件)1/2/2024高數(shù)同濟(jì)六版證:由二元函數(shù)的泰勒公式,并注意則有所以1/2/2024高數(shù)同濟(jì)六版其中

,

,

是當(dāng)h→0,k→0時(shí)的無(wú)窮小量,于是(1)當(dāng)AC－B2＞0

時(shí),必有A≠0,且A

與C

同號(hào),可見(jiàn),從而△z＞0,因此1/2/2024高數(shù)同濟(jì)六版從而△z＜0,(2)當(dāng)AC－B2＜0

時(shí),若A,C不全為零,無(wú)妨設(shè)A≠0,則時(shí),有異號(hào);同號(hào).可見(jiàn)△z

在(x0,y0)鄰近有正有負(fù),1/2/2024高數(shù)同濟(jì)六版++－若A＝C

＝0,則必有B≠0,不妨設(shè)B＞0,此時(shí)可見(jiàn)△z

在(x0,y0)鄰近有正有負(fù),(3)當(dāng)AC－B2＝0

時(shí),若A≠0,則若A＝0,則B＝0,為零或非零1/2/2024高數(shù)同濟(jì)六版此時(shí)因此作業(yè)P123