高階線性微分方程

15.6高階線性微分方程線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)小結(jié)思考題作業(yè)二階線性微分方程舉例線性(higher-orderlinearordinarydifferentialequation)第5章微分方程常數(shù)變易法2當(dāng)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí),例

設(shè)有一個(gè)彈簧,它的上端固定,下端掛一個(gè)并在平衡位置附近上下物體的位置x隨時(shí)間試建立物體位移滿一、二階線性微分方程舉例質(zhì)量為m的物體.作用在物方向相反.體上的重力與彈性力大小相等、這個(gè)位置

就是物體的平衡位置.如圖所示.物體具有一個(gè)初始速度如果使那么物體

便離開平衡位置,振動(dòng).在振動(dòng)過程中,t變化,即x是

t

的函數(shù).

足的微分方程,即x=x(t).解(1)自由振動(dòng)情況.物體所受的力為建立坐標(biāo)系彈性恢復(fù)力虎克定律3據(jù)牛頓第二定律得則阻尼自由振動(dòng)方程為阻力(2)強(qiáng)迫振動(dòng)情況.若物體在運(yùn)動(dòng)過程中還受則鉛直外力強(qiáng)迫振動(dòng)方程為4求電容器兩兩極板間電壓uc所滿足的微分方程.例

聯(lián)組成的電路,其中R,L,C

為常數(shù),~‖電容器由電學(xué)知由回路電壓定律,得設(shè)有一個(gè)電阻R,自感L,電容C和電源E串在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0自感電動(dòng)勢(shì)為EL.

設(shè)電路中電流為i(t),極板上的電荷量為q(t),兩極板間的電壓為uC,5串聯(lián)電路的振蕩方程為如果電容器充電后撤去電源(E=0),則得故有化為關(guān)于uC的微分方程:~‖6二階二階線性齊次微分方程二階線性非齊次微分方程微分方程線性微分方程n階線性以上兩例方程的共性

—可歸結(jié)為同一形式:7定理5.1？證疊加原理一定是通解(1)二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)解1.二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)齊次8說明不一定是所給二階齊次如,是某二階線性齊次方程的解,也是二階線性齊次方程的解并不是二階線性齊次方程通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.線性方程的通解.一個(gè)任意常數(shù)C9線性無關(guān)線性相關(guān).否則稱線性無關(guān).如線性相關(guān)內(nèi)恒等式成立如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù),使得當(dāng)x在該區(qū)間那末稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)為定義在區(qū)間I內(nèi)的n個(gè)函數(shù).10如線性無關(guān).定理5.2通解為了求只要求它的兩個(gè)線性無關(guān)的特解.兩個(gè)線性無關(guān)的特解,那末也是(1)的齊次線性方程的通解,若在I上有通解.則函數(shù)y1(x)與y2(x)在I上如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程(1)的11推論是n階齊次線性方程的n個(gè)線性無關(guān)的解,那么,此方程的通解為其中為任意常數(shù).定理2可推廣到n階齊次線性方程.122.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)定理5.3

的一個(gè)特解,

為了求非齊次線性方程的一個(gè)特解和對(duì)應(yīng)齊次線性方程只要求得:的通解.非齊次(2)非齊次線性方程的通解,

Y是與(2)對(duì)應(yīng)的齊次方程(1)的通解,

是二階非齊次線性微分方程(2)的通解.

是二階非齊次線性微分方程13已知的通解.又容易驗(yàn)證是所給方程的一個(gè)特解.是非齊次方程的通解.如是二階非齊次線性方程.是對(duì)應(yīng)齊次方程所以14解的疊加原理定理5.4函數(shù)之和,的特解,那么就是原方程的特解.定理5.3和定理5.4也可推廣到n階非齊次設(shè)非齊次方程(2)的右端f(x)是幾個(gè)線性方程.15

求解解的通解是再考慮兩個(gè)方程分別是原方程的特解.所以原方程的通解為例16常數(shù)變易法

對(duì)應(yīng)齊次方程的通解

設(shè)非齊次方程的解為代入原方程確定u(x).

三、常數(shù)變易法回憶一階線性非齊次方程

17對(duì)二階線性非齊次方程情形1

設(shè)(3)的解為由于有兩個(gè)待定函數(shù),所以要建立兩個(gè)方程:(3)(4)已知對(duì)應(yīng)齊次方程通解為

(v1(x),v2(x)待定)令于是將以上結(jié)果代入方程(3),得(6)故(5),(6)的系數(shù)行列式,y1,y2是對(duì)應(yīng)齊次方程的解18(5)

因y1,y2線性無關(guān),

可解得,19積分,得

代入(3)的解設(shè)中,說明

將(3)的解設(shè)為只有一個(gè)必須滿足的條件即方程(3),因此必需再附加一個(gè)條件,方程(5)的引入是為了簡化計(jì)算.設(shè)(3)的解為即得非齊次方程的通解20情形2僅知(3)的齊次方程的一個(gè)非零特解y1(x).

代入(3)并化簡,得設(shè)其通解為積分得一階線性方程由此得原方程(3)的通解為21例的通解為解

已知齊次方程積分得故所求通解為將所給方程化為22例解令代入非齊次方程并化簡,得將上式兩邊積分,得于是所求通解為

兩邊再積分,得23線性微分方程解的結(jié)構(gòu)四、小結(jié)線性微分方程的概念常數(shù)變易法24

思考題都是微分方程:求此方程的通解.的解,25證齊次方程的特解.非齊次線性方程的兩個(gè)特解之差是對(duì)應(yīng)結(jié)論所以設(shè)y1,