4.1級數(shù)的基本性質(zhì)

第一節(jié)級數(shù)的基本性質(zhì)一、復(fù)數(shù)項級數(shù)二、復(fù)變函數(shù)項級數(shù)三、冪級數(shù)一、復(fù)數(shù)項級數(shù)1.

復(fù)數(shù)序列及其極限復(fù)數(shù)序列收斂的等價條件即注例1下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.例1下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.例1下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.下列數(shù)列是否收斂,如果收斂,求出其極限.而解

例2所以數(shù)列發(fā)散.2.

復(fù)數(shù)項級數(shù)2.

復(fù)數(shù)項級數(shù)注：注：說明:與實數(shù)項級數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性的基本方法是:復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的等價條件復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的等價條件復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件例4解級數(shù)滿足必要條件,但例5解例5解3.柯西準則定理4.1.1(復(fù)序列的柯西準則)定理4.1.2(復(fù)級數(shù)的柯西準則)3.柯西準則定理4.1.1(復(fù)序列的柯西準則)定理4.1.2(復(fù)級數(shù)的柯西準則)4.絕對收斂，柯西乘積定理4.1.3例6故原級數(shù)收斂,且為絕對收斂.因為所以由正項級數(shù)的比式判別法知:解例6故原級數(shù)收斂,且為絕對收斂.因為所以由正項級數(shù)的比式判別法知:解例6故原級數(shù)收斂,且為絕對收斂.因為所以由正項級數(shù)的比式判別法知:解故原級數(shù)收斂.所以原級數(shù)非絕對收斂.例7解二、復(fù)變函數(shù)項級數(shù)1.

一致收斂定義4.1.1定義4.1.1定義4.1.1定理4.1.4定理4.1.5(維爾斯特拉斯判別法)注：2.

一致收斂的級數(shù)(或序列)的性質(zhì)定理4.1.62.

一致收斂的級數(shù)(或序列)的性質(zhì)定理4.1.6定理4.1.7定理4.1.7定義4.1.2注如定理4.1.8定理4.1.8證三、冪級數(shù)冪級數(shù)的定義三、冪級數(shù)冪級數(shù)的定義1.

關(guān)于冪級數(shù)的阿貝爾(Abel)第一定理定理4.1.9證2.

冪級數(shù)的收斂圓例如,級數(shù)通項不趨于零,故級數(shù)發(fā)散.例如,級數(shù)對任意固定的z,從某個n開始,總有于是有故該級數(shù)對任意的z均收斂...收斂圓收斂半徑問題1：答案:問題2：答案:在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對具體級數(shù)進行具體分析.問題1：答案:問題2：答案:在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對具體級數(shù)進行具體分析.問題1：答案:問題2：答案:在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對具體級數(shù)進行具體分析.定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.定理4.1.10例8解3.

冪級數(shù)和的解析性質(zhì)定理4.1.11

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