復(fù)變函數(shù)課件

留數(shù)1.定義

2.分類

3.性質(zhì)

4.零點與極點的關(guān)係§5.1孤立奇點1.定義例如----z=0為孤立奇點----z=0及z=1/n

(n=1,2,…)都是它的奇點----z=1為孤立奇點定義~~~~~~~~~xyo這說明奇點未必是孤立的。2.分類以下將f(z)在孤立奇點的鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點進(jìn)行分類?？疾欤禾攸c：沒有負(fù)冪次項特點：只有有限多個負(fù)冪次項特點：有無窮多個負(fù)冪次項定義設(shè)z0是f(z)的一個孤立奇點，在z0

的去心鄰域內(nèi)，若f(z)的洛朗級數(shù)沒有負(fù)冪次項，稱z=z0為可去奇點;只有有限多個負(fù)冪次項，稱z=z0為m級極點;有無窮多個負(fù)冪次項，稱z=z0為本性奇點。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.性質(zhì)若z0為f(z)的可去奇點若z0為f(z)的m(m1)

級極點例如：z=1為f(z)的一個三級極點，z=

i為f(z)的一級極點。若z0為f(z)的本性奇點4.零點與極點的關(guān)係定義不恒等於0的解析函數(shù)f(z)如果能表示成則稱z=z0為f(z)的m級零點。例如：定理事實上，必要性得證！充分性略！例如定理:證明“”

若z0為f(z)的m級極點例解顯然，z=

i是(1+z2)的一級零點綜合1.留數(shù)的定義

2.留數(shù)定理

3.留數(shù)的計算規(guī)則§5.2留數(shù)(Residue)1.留數(shù)的定義定義設(shè)z0為f(z)的孤立奇點，f(z)在z0鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負(fù)冪次項(z-z0)–1的係數(shù)c–1

稱為f(z)在z0的留數(shù)，記作Res[f(z),z0]

或Resf(z0)。由留數(shù)定義,

Res[f(z),z0]=c–1

(1)2.留數(shù)定理定理證明Dcznz1z3z2由複合閉路定理得：用2i除上式兩邊得:得證！

求沿閉曲線c的積分，歸之為求在c中各孤立奇點的留數(shù)。

一般求Res[f(z),z0]是採用將f(z)在z0鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)求係數(shù)c–1的方法,但如果能先知道奇點的類型，對求留數(shù)更為有利。以下就三類孤立奇點進(jìn)行討論：3.留數(shù)的計算規(guī)則規(guī)則I規(guī)則II事實上，由條件當(dāng)m=1時，式(5)即為式(4).規(guī)則III事實上，例1解例2解例3解例4解故由留數(shù)定理得：

(1)要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級數(shù)展開來求留數(shù)，不要死套規(guī)則。如是f(z)的三級極點。---該方法較規(guī)則II更簡單！

(2)由規(guī)則II的推導(dǎo)過程知，在使用規(guī)則II時，可將m取得比實際級數(shù)高，這可使計算更簡單。如複變函數(shù)與解析函數(shù)1.複變函數(shù)的定義

2.映射的概念

3.反函數(shù)或逆映射§5複變函數(shù)1.複變函數(shù)的定義—與實變函數(shù)定義相類似定義

例1例2oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：

定義域函數(shù)值集合2.映射的概念——複變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。

在複變函數(shù)中用兩個複平面上點集之間的對應(yīng)關(guān)係來表達(dá)兩對變數(shù)u，v

與x，y

之間的對應(yīng)關(guān)係，以便在研究和理解複變函數(shù)問題時，可借助於幾何直觀.複變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）例3解—關(guān)於實軸對稱的一個映射見圖1-1~1-2—旋轉(zhuǎn)變換(映射)見圖2例4解oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o圖1-1圖1-2圖2uv(w)o例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=43.反函數(shù)或逆映射例設(shè)z=w2

則稱為z=w2的反函數(shù)或逆映射∴為多值函數(shù),2支.定義設(shè)w=f(z)的定義集合為G,函數(shù)值集合為G*則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數(shù)（逆映射）.例已知映射w=z3

，求區(qū)域0<argz<在平面w上的象。例1.函數(shù)的極限

2.運(yùn)算性質(zhì)

3.函數(shù)的連續(xù)性§6複變函數(shù)的極限與連續(xù)性1.函數(shù)的極限定義uv(w)oAxy(z)o幾何意義:

當(dāng)變點z一旦進(jìn)入z0

的充分小去心鄰域時,它的象點f(z)就落入A的一個預(yù)先給定的ε鄰域中

(1)

意義中的方式是任意的.

與一元實變函數(shù)相比較要求更高.(2)A是複數(shù).2.運(yùn)算性質(zhì)複變函數(shù)極限與其實部和虛部極限的關(guān)係：定理1(3)若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.定理2

以上定理用極限定義證!例1例2例33.函數(shù)的連續(xù)性定義定理3例4證明f(z)=argz在原點及負(fù)實軸上不連續(xù)。證明xy(z)ozz

定理4連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)

仍為連續(xù)函數(shù);

連續(xù)函數(shù)的複合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。有界性：第二章解析函數(shù)

第一節(jié)解析函數(shù)的概念第二節(jié)函數(shù)解析的充要條件第三節(jié)初等函數(shù)1.複變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義

2.解析函數(shù)的概念§2.1解析函數(shù)的概念

一.複變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)定義定義設(shè)函數(shù)w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數(shù)f(z)在點z0處可導(dǎo)。稱此極限值為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作

如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。

(1)Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨於零。

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1(2)求導(dǎo)公式與法則①常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c

=(a+ib)

=0.②(zn)

=nzn-1(n是自然數(shù)).證明對於複平面上任意一點z0，有----實函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣③設(shè)函數(shù)f(z),g(z)均可導(dǎo)，則

[f(z)±g(z)]

=f

(z)±g

(z)，

[f(z)g(z)]

=f

(z)g(z)+f(z)g

(z)④複合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(f[g(z)])

=f

(w)g

(z)，

其中w=g(z)。⑤反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中:w=f(z)與z=

(w)互為單值的反函數(shù)，且

(w)

0。思考題例3問：函數(shù)f(z)=x+2yi是否可導(dǎo)？例2解解例4證明f(z)=zRez只在z=0處才可導(dǎo)。證明(1)複變函數(shù)在一點處可導(dǎo)，要比實函數(shù)在一點處可導(dǎo)要求高得多，也複雜得多，這是因為Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨於零的原故。(2)在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的,

但在複變函數(shù)中，卻輕而易舉。(3)可導(dǎo)與連續(xù)若w=f(z)在點z0處可導(dǎo)w=f(z)點z0處連續(xù).?二.解析函數(shù)的概念定義

如果函數(shù)w=f(z)在z0及z0的某個鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析，則稱

f(z)在D內(nèi)解析，或稱f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù)

(全純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果f(z)在點z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點。

(1)w=f(z)在D內(nèi)解析在D內(nèi)可導(dǎo)。

(2)函數(shù)f(z)在z0點可導(dǎo)，未必在z0解析。例如(1)w=z2在整個複平面處處可導(dǎo)，故是整個複平面上的解析函數(shù)；(2)w=1/z，除去z=0點外，是整個複平面上的解析函數(shù)；

(3)w=zRez在整個複平面上處處不解析(見例4)。定理1設(shè)w=f

(z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)

g(z)(g

(z)≠0時)均是D內(nèi)的解析函數(shù)。定理2設(shè)w=f(h)在h

平面上的區(qū)域G內(nèi)解析,

h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,h=g(z)的函數(shù)值集合G，則複合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)處處解析。

共形映射

分式線性映射1.曲線的切線

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

3.共形映射的概念§1共形映射的概念1.曲線的切線設(shè)連續(xù)曲線(z)(z)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

定義切線隨切點的移動而連續(xù)轉(zhuǎn)動的有向曲線稱為有向光滑曲線.(z)~~~~~~~~~~2.解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義(輻角和模)則~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~即(1)即(z)(w)~~~~~~~x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(z)(w)——保角性由上述討論我們有(z)(w)3.共形映射的概念~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定義~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定理若上述共形映射定義中，僅保持角度絕對值不變，而旋轉(zhuǎn)方向相反，此時稱第二類共形映射。從而，定義中的共形映射稱為第一類共形映射。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

1.分式線性映射的定義

2.分式線性映射的性質(zhì)§2分式線性映射1.分式線性映射的定義定義~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~分式線性映射(1)總可以分解成下述三種特殊映射的複合：稱為：平移整線性反演事實上，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定義~~~~~~~~roxyP

規(guī)定無窮遠(yuǎn)點的對稱點為圓心o~~~~~~~~~~~~~~~~~oTP1ox,uy,vzw2.分式線性映射的性質(zhì)（詳見P195）~~~~~~~~~定理1~~~~~~~定理2定理3

在分式線性映射下，圓周或直線上沒有點趨於無窮點，則它映射成半徑為有限的圓周；若有一點映射成無窮遠(yuǎn)點，它映射成直線。

解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)係

在§3.6我們證明了在D內(nèi)的解析函數(shù),其導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)。本節(jié)利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)係。內(nèi)容簡介§3.7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)係定義定理證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則即u及v在D內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程:定義上面定理說明：由解析的概念得：現(xiàn)在研究反過來的問題：如定理

公式不用強(qiáng)記！可如下推出：類似地，然後兩端積分得，

調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場理論等實際問題中都有重要應(yīng)用。本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)係。例1解曲線積分法故

又解湊全微分法又解偏積分法又解不定積分法1.複數(shù)列的極限

2.級數(shù)的概念第四章級數(shù)CH4§4.1複數(shù)項級數(shù)1.複數(shù)列的極限定義又設(shè)複常數(shù)：定理1證明2.級數(shù)的概念級數(shù)的前面n項的和---級數(shù)的部分和不收斂---無窮級數(shù)定義設(shè)複數(shù)列：

例1解定理2證明

由定理2，複數(shù)項級數(shù)的收斂問題可歸之為兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題。性質(zhì)定理3證明

?定義由定理3的證明過程，及不等式定理4解例2例3解練習(xí)：1.冪級數(shù)的概念

2.收斂定理

3.收斂圓與收斂半徑

4.收斂半徑的求法

5.冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)§4.2冪級數(shù)1.冪級數(shù)的概念定義設(shè)複變函數(shù)列：---稱為複變函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的最前面n項的和---級數(shù)的部分和

若級數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)---級數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況，在級數(shù)(1)中稱為冪級數(shù)2.收斂定理同實變函數(shù)一樣，複變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：定理1(阿貝爾(Able)定理）證明(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級數(shù)的收斂範(fàn)圍不外乎下述三種情況：(i)若對所有正實數(shù)都收斂，級數(shù)(3)在複平面上處處收斂。(ii)除z=0外，對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的，這時，級數(shù)(3)在複平面上除z=0外處處發(fā)散。顯然，

<

否則，級數(shù)(3)將在

處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍(lán)色，

逐漸變大，在c

內(nèi)部都是紅色,

逐漸變小，在c

外部都是藍(lán)色，紅、藍(lán)色不會交錯。故播放

(i)冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析。定義這個紅藍(lán)兩色的分界圓周cR叫做冪級數(shù)的收斂圓；這個圓的半徑R叫做冪級數(shù)的收斂半徑。(ii)冪級數(shù)(3)的收斂範(fàn)圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級數(shù)(2)的收斂範(fàn)圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.4.收斂半徑的求法

定理2(比值法)證明

定理3(根值法)

定理3(根值法)

定理2(比值法)例1解

綜上例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑並討論收斂圓周上的情形:解(1)該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散p=1p=2

該級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。

綜上該級數(shù)發(fā)散。該級數(shù)收斂，故該級數(shù)在複平面上是處處收斂的.5.冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

代數(shù)運(yùn)算

---冪級數(shù)的加、減運(yùn)算---冪級數(shù)的乘法運(yùn)算---冪級數(shù)的代換(複合)運(yùn)算

冪級數(shù)的代換運(yùn)算在函數(shù)展成冪級數(shù)中很有用.例3解代換解代換展開還原

分析運(yùn)算

定理4---冪級數(shù)的逐項求導(dǎo)運(yùn)算---冪級數(shù)的逐項積分運(yùn)算

泰勒(Taylor)級數(shù)

羅朗(Laurent)級數(shù)1.泰勒展開定理

2.展開式的唯一性

3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式§4.3泰勒(Taylor)級數(shù)1.泰勒(Taylor)展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達(dá)?(或者說,一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)?解析函數(shù)在解析點能否用冪級數(shù)表示？）由§4.2冪級數(shù)的性質(zhì)知:一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級數(shù)表示。定理（泰勒展開定理）Dk分析：代入(1)得Dkz---(*)得證！證明(不講)(不講)證明(不講)

2.展開式的唯一性結(jié)論解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級數(shù)。利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣的展開式是否唯一？事實上，設(shè)f(z)用另外的方法展開為冪級數(shù):由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是Talor級數(shù)，因而是唯一的。---直接法---間接法代公式由展開式的唯一性，運(yùn)用級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分析運(yùn)算和已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式例1解

上述求sinz,cosz展開式的方法即為間接法.例2把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù):解(2)由冪級數(shù)逐項求導(dǎo)性質(zhì)得：

(1)另一方面，因ln(1+z)在從z=-1向左沿負(fù)實軸剪開的平面內(nèi)解析，ln(1+z)離原點最近的一個奇點是-1,

它的展開式的收斂範(fàn)圍為z<1.定理1.預(yù)備知識

2.雙邊冪級數(shù)

3.函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)

4.展開式的唯一性§4.4羅朗(Laurent)級數(shù)

由§4.3

知,f(z)在z0

解析，則f(z)總可以在z0

的某一個圓域

z-z0

<R內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù)。若f(z)在z0點不解析，在z0的鄰域中就不可能展開成z-z0的冪級數(shù)，但如果在圓環(huán)域R1<

z-z0

<R2

內(nèi)解析，那麼，f(z)能否用級數(shù)表示呢？例如，由此推想，若f(z)在R

1<

z-z0

<R2

內(nèi)解析,f(z)可以展開成級數(shù)，只是這個級數(shù)含有負(fù)冪次項,即

本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是後面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計算留數(shù)的基礎(chǔ)。1.預(yù)備知識Cauchy積分公式的推廣到複連通域---見第三章第18題Dz0R1R2rRk1k2D1z2.雙邊冪級數(shù)---含有正負(fù)冪項的級數(shù)定義形如---雙邊冪級數(shù)正冪項(包括常數(shù)項)部分：負(fù)冪項部分：級數(shù)(2)是一冪級數(shù)，設(shè)收斂半徑為R2，則級數(shù)在

z-z0=R2內(nèi)收斂，且和為s(z)+;在

z-z0

=R2外發(fā)散。

z0R1R2z0R2R1

(2)在圓環(huán)域的邊界

z-z0

=R1,

z-z0=R2上,3.函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)定理證明由複連通域上的Cauchy

積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2式(*1),(*2)中係數(shù)cn的積分分別是在k2，k1上進(jìn)行的，在D內(nèi)取繞z0的簡單閉曲線c，由複合閉路定理可將cn寫成統(tǒng)一式子：證畢！級數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。

(2)在許多實際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f(z)在奇點

z0的鄰域內(nèi)解析，需要把f(z)展成級數(shù)，那麼就利用洛朗（Laurent）級數(shù)來展開。級數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。4.展開式的唯一性結(jié)論一個在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是f(z)的洛朗級數(shù)。事實上，Dz0R1R2cDz0R1R2c

由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級數(shù)，可用間接法。在大都數(shù)情況，均採用這一簡便的方法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開式，只有在個別情況下，才直接採用公式(5')求Laurent系數(shù)的方法。例1解例2解例3解例4xyo12xyo12xyo12解:沒有奇點注意首項(2)對於有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理函數(shù)分解成多項式與若干個最簡分式之和，然後利用已知的幾何級數(shù)，經(jīng)計算展成需要的形式。小結(jié)：把f(z)展成洛朗(Laurent)級數(shù)的方法：解(1)在(最大的)去心鄰域例5yxo12

(2)在(最大的)去心鄰域xo12練習(xí)：

(2)根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把f(z)展成泰勒(Taylor)級數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f(z)展成洛朗(Laurent)級數(shù)。

(3)Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)的不同點：

Taylor級數(shù)先展開求R,找出收斂域。

Laurent級數(shù)先求f(z)的奇點，然後以z0

為中心，奇點為分隔點，找出z0到無窮遠(yuǎn)點的所有使f(z)解析的環(huán)，在環(huán)域上展成級數(shù)。

解析函數(shù)的充要條件

初等函數(shù)1.解析函數(shù)的充要條件

2.舉例§2.2解析函數(shù)的充要條件

如果複變函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù)w=f(z)在D內(nèi)解析。

本節(jié)從函數(shù)u(x,y)及v(x,y)的可導(dǎo)性，探求函數(shù)w=f(z)的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的一個充分必要條件，並給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。問題如何判斷函數(shù)的解析性呢？一.解析函數(shù)的充要條件

記憶定義方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).定理1設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)有定義，則f(z)在點z=x+iy∈D處可導(dǎo)的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(x,y)可微，且滿足

Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時,有證明（由f(z)的可導(dǎo)C-R方程滿足上面已證！只須證

f(z)的可導(dǎo)函數(shù)u(x,y)、v(x,y)可微）?！吆瘮?shù)w=f(z)點z可導(dǎo)，即則f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+

(Δz)Δz(1),且Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(

1+i

2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+

1Δx-

2Δy)+i(bΔx+aΔy+

2Δx+

1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=

1+i

2故（1）式可寫為因此Δu=aΔx-bΔy+

1Δx-

2Δy,Δv=bΔx+aΔy+

2Δx+

1Δy所以u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)處可微.

（由函數(shù)u(x,y),v(x,y)在點(x,y)處可微及滿足

C-R方程f(z)在點z=x+iy處可導(dǎo)）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點可微，即：定理2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實部與虛部有密切的聯(lián)繫.當(dāng)一個函數(shù)可導(dǎo)時,僅由其實部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來.

利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的.使用時:i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，

ii)驗證C-R條件.iii)求導(dǎo)數(shù)：

前面我們常把複變函數(shù)看成是兩個實函數(shù)拼成的,但是求複變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時要注意,並不是兩個實函數(shù)分別關(guān)於x,y求導(dǎo)簡單拼湊成的.二.舉例例1

判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：解(1)設(shè)z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

則解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)則u=excosy,v=exsiny僅在點z=0處滿足C-R條件，故解(3)設(shè)z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0則例2

求證函數(shù)證明由於在z≠0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù)，且滿足C-R條件：故函數(shù)w=f(z)在z≠0處解析，其導(dǎo)數(shù)為例3證明例4

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函數(shù)，且f

(z)≠0，那麼曲線族u(x,y)=C1，

v(x,y)=C2必互相正交，這裏C1

、C2常數(shù).那麼在曲線的交點處，i)uy、

vy

均不為零時，由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一條曲線的斜率分別為解利用C-R方程

ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：兩族曲線互相正交.ii)uy，vy中有一為零時，不妨設(shè)uy=0，則k1=∞，

k2=0（由C-R方程）即：兩族曲線在交點處的切線一條是水準(zhǔn)的，另一條是鉛直的,它們?nèi)曰ハ嗾弧＞毩?xí):a=2,b=-1,c=-1,d=21.指數(shù)函數(shù)

2.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)

3.對數(shù)函數(shù)

4.乘冪與冪函數(shù)

5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)§2.3初等函數(shù)

本節(jié)將實變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到複變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質(zhì)，並說明它的解析性。內(nèi)容簡介一.指數(shù)函數(shù)它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：定義

這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的。

例1例2例3二.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到複變數(shù)情形定義正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)思考題由正弦和余弦函數(shù)的定義得其他三角函數(shù)的定義(詳見P51)定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)三.對數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，(1)對數(shù)的定義故特別

(2)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)見§1-6例1例4四.乘冪與冪函數(shù)

乘冪ab定義

—多值—一般為多值—q支

(2)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù))時，乘冪ab與a

的

n次根意義一致。(1)當(dāng)b=n(正整數(shù))時，乘冪ab與a的n次冪意義一致。解例5

冪函數(shù)zb定義①當(dāng)b=n(正整數(shù))w=zn在整個複平面上是單值解析函數(shù)

除去b為正整數(shù)外，多值函數(shù)，當(dāng)b為無理數(shù)或複數(shù)時，無窮多值。5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)詳見P52

重點：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、乘冪．

唯一決定分式線性映射的條件1.分式線性映射的存在唯一性

2.舉例§3唯一決定分式線性映射的條件定理1.分式線性映射的存在唯一性證明①式(1)是三對點所確定的唯一的一個映射。~~~~~~~~~~~~所求分式線性映射因此，式(1)說明分式線性映射具有保交比不變性。由分式線性映射的存在唯一性定理知：以下討論這個映射會把C的內(nèi)部映射成什麼？(不可能把d1的部分映入D1，d1的另一部分映入D2).事實上，由以上討論給出確定對應(yīng)區(qū)域的兩個方法：事實上由上一節(jié)和本節(jié)的討論，還有以下結(jié)論：~~~~~~~~~~~~~~

例1解2.舉例uv(w)xy(z)例2解uvo(w)xy(z)o

例3解uv(w)xy(z)11例4解uvo(w)xy(z)oR例5解xy(z)1-1i-iouv(w)o1.冪函數(shù)

2.指數(shù)函數(shù)§4幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射1.冪函數(shù)冪函數(shù)：xy(z)uv(w)xy(z)上岸下岸uv(w)冪函數(shù)所構(gòu)成的映射特點：把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域，但張角變成了原來的n倍，因此，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~xy(z)uv(w)i例1解:-ixy(z)i11uv(w)例22.指數(shù)函數(shù)帶形區(qū)域角形區(qū)域xy(z)iauv(w)x

y(z)

上岸下岸u

v

(w)xy(z)uv(w)i例3解xy(z)ab1例4解uv(w)xy(z)uv(w)EABDC例5解答：xy(z)uv(w)xy(z)-11例6uv(w)解見P244例7

複變函數(shù)的積分1.有向曲線

2.積分的定義

3.積分存在的條件及其計算法

4.積分性質(zhì)§3.1複變函數(shù)積分的概念1.有向曲線CA(起點)B(終點)CC2.積分的定義定義DBxyo

3.積分存在的條件及其計算法定理

證明

由曲線積分的計算法得4.積分性質(zhì)由積分定義得：例1解又解Aoxy例2解oxyrC?íì1==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

oxy例3解解:例4分析§1的積分例子:§3.2Cauchy-Goursat基本定理由此猜想：複積分的值與路徑無關(guān)或沿閉路的積分值＝0的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的單連通有關(guān)。先將條件加強(qiáng)些，作初步的探討—Cauchy定理Cauchy-Goursat基本定理：

BC—也稱Cauchy定理(3)定理中曲線C不必是簡單的！如下圖。BBC推論設(shè)f