概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

二、隨機(jī)現(xiàn)象四、小結(jié)一、概率論的誕生及應(yīng)用三、隨機(jī)試驗(yàn)第一節(jié)隨機(jī)試驗(yàn)第一章概率論的基本概念

1654年,一個(gè)名叫梅累的騎士就“兩個(gè)賭徒約定賭若干局,且誰(shuí)先贏

c局便算贏家,若在一賭徒勝

a局

(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時(shí)便終止賭博,問(wèn)應(yīng)如何分賭本”為題求教於帕斯卡,帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問(wèn)題,於1654年共同建立了概率論的第一個(gè)基本概念數(shù)學(xué)期望.一、概率論的誕生及應(yīng)用1.概率論的誕生2.概率論的應(yīng)用

概率論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，概率論的應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域，例如天氣預(yù)報(bào)、地震預(yù)報(bào)、產(chǎn)品的抽樣調(diào)查，在通訊工程中概率論可用以提高信號(hào)的抗干擾性、解析度等等.在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽(yáng)不會(huì)從西邊升起”,1.確定性現(xiàn)象

“同性電荷必然互斥”,“水從高處流向低處”,實(shí)例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象二、隨機(jī)現(xiàn)象

在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實(shí)例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.2.隨機(jī)現(xiàn)象“函數(shù)在間斷點(diǎn)處不存在導(dǎo)數(shù)”等.結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.確定性現(xiàn)象的特徵條件完全決定結(jié)果結(jié)果有可能為:1,2,3,4,5或6.

實(shí)例3

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

實(shí)例2

用同一門(mén)炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點(diǎn)的情況.結(jié)果:彈落點(diǎn)會(huì)各不相同.實(shí)例4

從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品.其結(jié)果可能為:

正品

、次品.實(shí)例5

過(guò)馬路交叉口時(shí),可能遇上各種顏色的交通指揮燈.實(shí)例6

出生的嬰兒可能是男,也可能是女.實(shí)例7

明天的天氣可能是晴

,也可能是多雲(yún)或雨.隨機(jī)現(xiàn)象的特徵概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科.條件不能完全決定結(jié)果2.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什麼結(jié)果具有偶然性,但在大量試驗(yàn)或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)研究的.問(wèn)題什麼是隨機(jī)試驗(yàn)?如何來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象?說(shuō)明1.隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)繫

,其數(shù)量關(guān)係無(wú)法用函數(shù)加以描述.1.可以在相同的條件下重複地進(jìn)行;2.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),並且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;3.進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).

在概率論中,把具有以下三個(gè)特徵的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).定義三、隨機(jī)試驗(yàn)說(shuō)明

1.隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱為試驗(yàn),是一個(gè)廣泛的術(shù)語(yǔ).它包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn),也包括對(duì)客觀事物進(jìn)行的“調(diào)查”、“觀察”或“測(cè)量”等.實(shí)例

“拋擲一枚硬幣,觀察字面,花面出現(xiàn)的情況”.分析

2.隨機(jī)試驗(yàn)通常用E來(lái)表示.(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重複地進(jìn)行;1.拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).2.從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù).同理可知下列試驗(yàn)都為隨機(jī)試驗(yàn).(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果:字面、花面;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).

故為隨機(jī)試驗(yàn).3.記錄某公共汽車(chē)站某日上午某時(shí)刻的等車(chē)人數(shù).4.考察某地區(qū)10月份的平均氣溫.5.從一批燈泡中任取一只,測(cè)試其壽命.樣本點(diǎn)e.

S

現(xiàn)代集合論為表述隨機(jī)試驗(yàn)提供了一個(gè)方便的工具.一、樣本空間

實(shí)例1將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況:

S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):

在每次試驗(yàn)中必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn).則樣本空間實(shí)例2

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).實(shí)例3

記錄某公共汽車(chē)站某日上午某時(shí)刻的等車(chē)人數(shù).實(shí)例4

從一批燈泡中任取一只,測(cè)試其壽命.實(shí)例5

記錄某城市120急救電話臺(tái)一晝夜接到的呼喚次數(shù).

2.同一試驗(yàn),若試驗(yàn)?zāi)康牟煌?則對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同.

例如

對(duì)於同一試驗(yàn):“將一枚硬幣拋擲三次”.若觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況,則樣本空間為若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù),則樣本空間為說(shuō)明

1.試驗(yàn)不同,對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同.說(shuō)明

3.建立樣本空間,事實(shí)上就是建立隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.因此,一個(gè)樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實(shí)際問(wèn)題.例如只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的模型,也可以作為產(chǎn)品檢驗(yàn)中合格與不合格的模型,又能用於排隊(duì)現(xiàn)象中有人排隊(duì)與無(wú)人排隊(duì)的模型等.

所以在具體問(wèn)題的研究中

,描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間.隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間S的子集稱為E的隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件.通常以大寫(xiě)英文字母A,B,C,

來(lái)表示事件。試驗(yàn)中,骰子“出現(xiàn)1點(diǎn)”,“出現(xiàn)2點(diǎn)”,…,“出現(xiàn)6點(diǎn)”,“點(diǎn)數(shù)不大於4”,“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”等都為隨機(jī)事件.

實(shí)例

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).1.基本概念二、隨機(jī)事件的概念實(shí)例上述試驗(yàn)中“點(diǎn)數(shù)不大於6”就是必然事件.必然事件隨機(jī)試驗(yàn)中必然會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果.不可能事件隨機(jī)試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的結(jié)果.實(shí)例上述試驗(yàn)中“點(diǎn)數(shù)大於6”就是不可能事件.實(shí)例“出現(xiàn)1點(diǎn)”,“出現(xiàn)2點(diǎn)”,…,“出現(xiàn)6點(diǎn)”.基本事件:

由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.(相對(duì)於觀察目的不可再分解的事件)

（1）當(dāng)且僅當(dāng)集合A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱事件A發(fā)生.如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù).事件B={擲出奇數(shù)點(diǎn)}B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點(diǎn)1,3,5中的某一個(gè)出現(xiàn).2.幾點(diǎn)說(shuō)明(2)隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)係

每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個(gè)樣本空間,樣本空間的子集就是隨機(jī)事件.隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間子集隨機(jī)事件隨機(jī)事件基本事件

必然事件不可能事件複合事件兩個(gè)特殊事件

1.包含關(guān)係若事件A出現(xiàn),必然導(dǎo)致B出現(xiàn),則稱事件B包含事件A,記作實(shí)例

“長(zhǎng)度不合格”必然導(dǎo)致“產(chǎn)品不合格”所以“產(chǎn)品不合格”包含“長(zhǎng)度不合格”.圖示

B包含

A.SBA三、隨機(jī)事件間的關(guān)係及運(yùn)算

2.A等於B

若事件A包含事件B，而且事件B包含事件A，則稱事件A與事件B相等，記作A=B.3.事件

A與

B的並(和事件)實(shí)例

某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品不合格”是“長(zhǎng)度不合格”與“直徑不合格”的並.圖示事件

A與

B的並.

SBA4.事件

A與

B的交

(積事件)圖示事件A與B

的積事件.SABAB實(shí)例某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品合格”是“長(zhǎng)度合格”與“直徑合格”的交或積事件.和事件與積事件的運(yùn)算性質(zhì)5.事件

A與

B互不相容(互斥)

若事件A的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件B不出現(xiàn),B出現(xiàn)也必然導(dǎo)致A不出現(xiàn),則稱事件A與B互不相容,即實(shí)例拋擲一枚硬幣,“出現(xiàn)花面”與“出現(xiàn)字面”是互不相容的兩個(gè)事件.“骰子出現(xiàn)1點(diǎn)”“骰子出現(xiàn)2點(diǎn)”圖示A與B互斥.SAB互斥實(shí)例拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).6.事件

A與

B的差

由事件A出現(xiàn)而事件B不出現(xiàn)所組成的事件稱為事件A與B的差.記作A-B.圖示A與B的差.SABSAB實(shí)例“長(zhǎng)度合格但直徑不合格”是“長(zhǎng)度合格”與“直徑合格”的差.

設(shè)A表示“事件A出現(xiàn)”,則“事件A不出現(xiàn)”稱為事件A的對(duì)立事件或逆事件.記作實(shí)例

“骰子出現(xiàn)1點(diǎn)”“骰子不出現(xiàn)1點(diǎn)”圖示A與B的對(duì)立.SB若A與B互逆,則有A7.事件

A的對(duì)立事件對(duì)立對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別SSABABA、B對(duì)立A、B互斥互斥對(duì)

立事件間的運(yùn)算規(guī)律例1

設(shè)A,B,C表示三個(gè)隨機(jī)事件,試將下列事件用A,B,C表示出來(lái).(1)A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);(5)三個(gè)事件都不出現(xiàn);(2)A,B都出現(xiàn),C不出現(xiàn);(3)三個(gè)事件都出現(xiàn);(4)三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn);(6)不多於一個(gè)事件出現(xiàn);(7)不多於兩個(gè)事件出現(xiàn);(8)三個(gè)事件至少有兩個(gè)出現(xiàn);(9)A,B至少有一個(gè)出現(xiàn),C不出現(xiàn);(10)A,B,C中恰好有兩個(gè)出現(xiàn).解(1)沒(méi)有一個(gè)是次品;(2)至少有一個(gè)是次品;(3)只有一個(gè)是次品;(4)至少有三個(gè)不是次品;(5)恰好有三個(gè)是次品;(6)至多有一個(gè)是次品.解

例3

若用事件A表示“甲產(chǎn)品暢銷，乙產(chǎn)品滯銷”，則事件表示（）。

A．甲產(chǎn)品滯銷，乙產(chǎn)品暢銷;

B.甲、乙兩產(chǎn)品均暢銷;

Ｃ.甲產(chǎn)品滯銷;

Ｄ．甲產(chǎn)品滯銷或乙產(chǎn)品暢銷.由（1）（2）知：A與B互為逆事件。

（2）例4、若，則A與B互為逆事件。

證明：如果

而矛盾，從而：

（1）隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間子集隨機(jī)事件隨機(jī)事件基本事件必然事件不可能事件複合事件四、小結(jié)1.隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)係2.概率論與集合論之間的對(duì)應(yīng)關(guān)係記號(hào)概率論集合論樣本空間，必然事件空間不可能事件空集基本事件元素隨機(jī)事件子集A的對(duì)立事件A的補(bǔ)集A出現(xiàn)必然導(dǎo)致B出現(xiàn)A是B的子集事件A與事件B相等集合A與集合B相等1.定義一、頻率的定義與性質(zhì)

2.性質(zhì)設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)E的任一事件,則試驗(yàn)序號(hào)12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實(shí)例將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做

7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.波動(dòng)最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)者德摩根蒲豐204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005

可見(jiàn),在大量重複的試驗(yàn)中,隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性.即通常所說(shuō)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性..例

DeweyG.統(tǒng)計(jì)了約438023個(gè)英語(yǔ)單詞中各字母出現(xiàn)的頻率,發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)的頻率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006

1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛱岢隽烁怕收摰墓砘Y(jié)構(gòu)，給出了概率的嚴(yán)格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展.二、概率的定義與性質(zhì)1、概率的定義證明由概率的可列可加性得2.概率的性質(zhì)概率的有限可加性證明由概率的可列可加性得證明證明證明證明由圖可得又由性質(zhì)3得因此得推廣三個(gè)事件和的情況n個(gè)事件和的情況解SABAB

例3

某工廠職工可以訂閱兩種讀物—報(bào)紙和雜誌，其中訂閱報(bào)紙的概率為0.7，訂閱雜誌的概率為0.2,兩種都訂閱的概率為0.1.求解

事件A,B分別表示“訂閱報(bào)紙和訂閱雜誌”(1)(1)訂閱報(bào)紙而不訂閱雜誌的概率;(2)至少訂閱一種讀物的概率;(3)兩種讀物都不訂閱的概率.(2)(3)

例4

設(shè)A,B滿足P(A)=0.8,P(B)=0.7,在何條件下，

P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解最小值在時(shí)取得.

----------最小值----------最大值最大值在時(shí)取得.

例5、

例6、設(shè)同時(shí)發(fā)生時(shí)，C必然發(fā)生，則：

解：而：1.頻率(波動(dòng))概率(穩(wěn)定).2.概率的主要性質(zhì)三、小結(jié)1.定義一、等可能概型(古典概型)

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成，A為E的任意一個(gè)事件，且包含

m個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A出現(xiàn)的概率記為:2.古典概型中事件概率的計(jì)算公式稱此為概率的古典定義.

【注】求解古典概型問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清樣本空間中的基本事件總數(shù)和對(duì)所求概率事件有利的事件個(gè)數(shù)．在考慮事件數(shù)的時(shí)候，必須分清研究的問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題，掌握以下關(guān)於排列組合的知識(shí)是有用的：

(1)

加法原理：設(shè)完成一件事有k類方法，每類又分別有m1,m2,,…,mk種方法，而完成這件事只需其中一種方法，則完成這件事共有m1

+

m2,+…+mk種方法．

(2)

乘法原理：設(shè)完成一件事有n個(gè)步驟．第一步有m1種方法、第二步有m2種方法，…第n步有mn

種方法，則完成這件事共有m1×

m2×

…

×

mn種方法.

(3)、不同元素的選排列

從n個(gè)不相同的元素中無(wú)放回取k個(gè)的排列(k

＜n)，稱為從n個(gè)不同元素中取k個(gè)元素的選排列,共有種。當(dāng)n

＝k時(shí)，稱n個(gè)元素的全排列．共有n！種。

例如：從3個(gè)元素取出2個(gè)的排列總數(shù)有6種

(4)、不同元素的重複排列例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張3241n=4,k=3123第1張4123第2張4123第3張4共有4.4.4=43種可能取法從n個(gè)不同的元索中，有放回地取k個(gè)元素進(jìn)行的排列，共有種（元素允許重複）。

(5)、不全相異元素的排列在n個(gè)元素中，有m類不同元素、每類各有k1,k2,…km

個(gè)，將這n個(gè)元素作全排列，共有如下種方式：k1個(gè)元素k2個(gè)元素km個(gè)元素……n個(gè)元素因?yàn)?

(6)、環(huán)排列

從n個(gè)不同元素中，選出m個(gè)不同的元素排成一個(gè)圓圈的排列，共有：

(7)、組合從n個(gè)不同元素中取m個(gè)而不考慮其次序的排列（組合），共有種.4123412311242343每個(gè)排列重複了4次排列數(shù)為3.古典概型的基本模型:摸球模型(1)無(wú)放回地摸球問(wèn)題1

設(shè)袋中有4只白球和

2只黑球,現(xiàn)從袋中無(wú)放回地依次摸出2只球,求這2只球都是白球的概率.解基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個(gè)數(shù)為(2)有放回地摸球問(wèn)題2

設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.解第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個(gè)數(shù)為課堂練習(xí)1o

電話號(hào)碼問(wèn)題

在7位數(shù)的電話號(hào)碼中,第一位不能為0，求數(shù)字0出現(xiàn)3次的概率.

2o

骰子問(wèn)題

擲3顆均勻骰子,求點(diǎn)數(shù)之和為4的概率.4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量無(wú)限問(wèn)題1

把

4個(gè)球放到

3個(gè)杯子中去,求第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率,其中假設(shè)每個(gè)杯子可放任意多個(gè)球.

4個(gè)球放到3個(gè)杯子的所有放法因此第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率為(2)每個(gè)杯子只能放一個(gè)球問(wèn)題2

把4個(gè)球放到10個(gè)杯子中去,每個(gè)杯子只能放一個(gè)球,求第1至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率.解第1至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率為2o

生日問(wèn)題

某班有20個(gè)學(xué)生都是同一年出生的,求有10個(gè)學(xué)生生日是1月1日,另外10個(gè)學(xué)生生日是12月31日的概率.

課堂練習(xí)1o

分房問(wèn)題

將張三、李四、王五3人等可能地分配到3間房中去,試求每個(gè)房間恰有1人的概率.解二、典型例題在N件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有於是所求的概率為解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有例3

在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問(wèn)取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”，則所求概率為解於是所求概率為例4將

15名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(wèn)(1)每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的概率是多少?解15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中的分法總數(shù):(1)每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有因此所求概率為(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的分法共有3種,對(duì)於每一種分法,其餘12名新生的分法有因此3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的分法共有因此所求概率為例5

某接待站在某一周曾接待過(guò)12次來(lái)訪,已知所有這12次接待都是在週二和週四進(jìn)行的,問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的.

假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定,且各來(lái)訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解週一週二週三週四週五週六周日12341277777

故一周內(nèi)接待12次來(lái)訪共有小概率事件在實(shí)際中幾乎是不可能發(fā)生的,從而可知接待時(shí)間是有規(guī)定的.週一週二週三週四週五週六周日週二週四1234122222212次接待都是在週二和週四進(jìn)行的共有故12次接待都是在週二和週四進(jìn)行的概率為例6

假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等於1/365,求64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率.64個(gè)人生日各不相同的概率為故64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率為解說(shuō)明我們利用軟體包進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.例7、有n個(gè)人排隊(duì)，排成一圈，求甲、乙兩人相鄰的概率是多少?解：(2)排成一圈是環(huán)排列，n個(gè)人的環(huán)排列有(n－1)!種，甲、乙相鄰占一個(gè)位置的環(huán)排列有(n一2)!種，考慮互換性，有利事件有2×(n一2)!種．故：

更為簡(jiǎn)單的想法是：設(shè)想一個(gè)圓周上：有n個(gè)位置，甲占了一個(gè)位置後，乙還有n一1個(gè)位置可選，其中與甲相鄰的位置有2個(gè)．所以:

例8、從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少?解：A

={4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙}={4只鞋子中沒(méi)兩只鞋子配成一雙}

例9、某人將三封寫(xiě)好的信隨機(jī)裝入三個(gè)寫(xiě)好地址的信封中，問(wèn)沒(méi)有一封信裝對(duì)地址的概率是多少？這是一個(gè)配對(duì)問(wèn)題解：設(shè)Ai={第i封信裝入第i個(gè)信封}i=1,2,3

A={沒(méi)有一封信裝對(duì)地址}直接計(jì)算P(A)不易，我們先來(lái)計(jì)算={至少有一封信裝對(duì)地址}則其中：於是:推廣到n封信,用類似的方法可得:把n

封信隨機(jī)地裝入n個(gè)寫(xiě)好地址的信封中,沒(méi)有一封信配對(duì)的概率為:例10

利用概率模型證明恒等式（1）（2）證（1）構(gòu)造概率模型：設(shè)一袋中有n個(gè)球，其中只有1個(gè)紅球，其餘全是黑球，現(xiàn)從袋中無(wú)放回地摸出r個(gè)球。記事件A=“摸出的r個(gè)球中有紅球”，則由可得到等式（1）。（2）構(gòu)造概率模型：設(shè)一袋中有n個(gè)球，其中有m個(gè)紅球，n-m個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中無(wú)放回地摸出r個(gè)球。記事件Ai=“摸出的r個(gè)球中有i個(gè)紅球”，則而所以，即定義當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域，並且任意一點(diǎn)落在度量(長(zhǎng)度、面積、體積)相同的子區(qū)域是等可能的，則事件A的概率可定義為說(shuō)明當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無(wú)窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為幾何概型.三、幾何概型

那麼

兩人會(huì)面的充要條件為例10

甲、乙兩人相約在0到T這段時(shí)間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面.先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過(guò)時(shí)間t(t<T)後離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連.求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.會(huì)面問(wèn)題解故所求的概率為若以x,y

表示平面上點(diǎn)的座標(biāo),則有

將一枚硬幣拋擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反兩面的情況,設(shè)事件A為“至少有一次為正面”,事件B為“兩次擲出同一面”.現(xiàn)在來(lái)求已知事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率.分析事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率,記為1.引例一、條件概率同理可得為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.2.定義3.性質(zhì)二、乘法定理

例1在標(biāo)有1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字的卡片裏,無(wú)放回地抽取兩次,一次一張,求

(1)第一次取到奇數(shù)卡片的概率;(2)已知第一次取到偶數(shù),求第二次取到奇數(shù)卡片的概率;(3)第二次才取到奇數(shù)卡片的概率.

解設(shè)A,B分別表示第一次和第二次取到奇數(shù)卡片這兩個(gè)事件,則P(A)=例2

某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物,問(wèn)它能活到25歲以上的概率是多少?

設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件，B表示“能活25歲以上”的事件,則有解例4

五個(gè)鬮,其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫(xiě)著“有”字，三個(gè)鬮內(nèi)不寫(xiě)字，五人依次抓取,問(wèn)各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關(guān)?

依此類推故抓鬮與次序無(wú)關(guān).

例5

一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球.隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色後放回罐中，並且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

波裏亞罐子模型b個(gè)白球,r個(gè)紅球於是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球.

”

b個(gè)白球,r個(gè)紅球

隨機(jī)取一個(gè)球，觀看顏色後放回罐中，並且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.

解設(shè)Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出

當(dāng)c>0時(shí)，由於每次取出球後會(huì)增加下一次也取到同色球的概率.這是一個(gè)傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會(huì)增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)例6

設(shè)某光學(xué)儀器廠製造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透鏡落下三次而未打破”.所以1.樣本空間的劃分三、全概率公式與貝葉斯公式2.全概率公式全概率公式圖示證明化整為零各個(gè)擊破說(shuō)明

全概率公式的主要用處在於它可以將一個(gè)複雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題,分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問(wèn)題,最後應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.例7

有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%，二廠生產(chǎn)的占50%

，三廠生產(chǎn)的占20%，又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%，1%，1%，問(wèn)從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設(shè)事件A為“任取一件為次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%稱此為貝葉斯公式.

3.貝葉斯公式證明例8解(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得解例9

由貝葉斯公式得所求概率為

上題中概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的,叫做先驗(yàn)概率.

而在得到資訊之後再重新加以修正的概率0.97叫做後驗(yàn)概率.先驗(yàn)概率與後驗(yàn)概率解例10由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大約只有87人患有癌癥.1.條件概率全概率公式貝葉斯公式四、小結(jié)乘法定理顯然P(A|B)=P(A)這就是說(shuō),已知事件B發(fā)生,並不影響事件A發(fā)生的概率,這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立.一、兩事件的獨(dú)立性A={第二次擲出6點(diǎn)}，B={第一次擲出6點(diǎn)}，先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)

由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨(dú)立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)則稱A、B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A、B獨(dú)立.兩事件獨(dú)立的定義

例1

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可見(jiàn),P(AB)=P(A)P(B)

由於P(A)=4/52=1/13,故事件A、B獨(dú)立.問(wèn)事件A、B是否獨(dú)立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,

前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作出結(jié)論的，也可以通過(guò)計(jì)算條件概率去做:

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},

在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.

可見(jiàn)P(A)=P(A|B),

即事件A、B獨(dú)立.則P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13

在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.

由於“甲命中”並不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立.甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊,記A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨(dú)立？例如（即一事件發(fā)生與否並不影響另一事件發(fā)生的概率）

一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,則A1與A2獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次抽取的影響.又如：因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無(wú)放回的，則A1與A2不獨(dú)立.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如由此可見(jiàn)兩事件相互獨(dú)立，但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)係.請(qǐng)同學(xué)們思考二者之間沒(méi)有必然聯(lián)繫由此可見(jiàn)兩事件互斥但不獨(dú)立.設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下麵四個(gè)結(jié)論中，正確的是：

前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)繫，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下麵四個(gè)結(jié)論中，正確的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再請(qǐng)你做個(gè)小練習(xí).=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)A、B獨(dú)立概率的性質(zhì)=P(A)-P(A)P(B)僅證A與獨(dú)立定理2

若兩事件A、B獨(dú)立,則

也相互獨(dú)立.證明=P(A)P()故A與獨(dú)立二、多個(gè)事件的獨(dú)立性

對(duì)於三個(gè)事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

四個(gè)等式同時(shí)成立,則稱事件A、B、C相互獨(dú)立.請(qǐng)注意多個(gè)事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)繫兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立對(duì)n(n>2)個(gè)事件?對(duì)獨(dú)立事件，許多概率計(jì)算可得到簡(jiǎn)化三、獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用即

例4三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問(wèn)三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解將三人編號(hào)為1，2，3，所求為記Ai={第i個(gè)人破譯出密碼}i=1,2,3已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/412=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]3

例5下麵是一個(gè)串並聯(lián)電路示意圖.A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件.它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率.求電路正常工作的概率.

解將電路正常工作記為W，由於各元件獨(dú)立工作，有其中P(W)0.782代入得

例6

設(shè)有一架長(zhǎng)機(jī)兩架僚機(jī)飛往某目的地進(jìn)行轟炸，由於只有長(zhǎng)機(jī)裝有導(dǎo)航設(shè)備，因此僚機(jī)不能單獨(dú)到達(dá)目的地，在飛行途中要經(jīng)過(guò)敵方高射炮陣地，每機(jī)被擊落的概率為0.2，達(dá)到目的地後，各機(jī)獨(dú)立轟炸，每機(jī)炸中目標(biāo)的概率為0.3，求目標(biāo)被炸中的概率。解設(shè)Ai=“有i架飛機(jī)到達(dá)目的地”，i=1，2，3B=“目標(biāo)被炸中”，則只有僚機(jī)到達(dá)目的地解“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;1,設(shè)兩事件Ａ與Ｂ互斥，且P(A)＞0，P(B)＞0，則（D）正確A．與互斥B．與互斥C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A-B)=P(A)2(93),設(shè)兩事件Ａ與Ｂ滿足P(B|A)=1,則（D）正確。A.A是必然事件B.

C.D.思考題3、某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重複射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為（C）4，對(duì)於任意二事件A和B（B）若，則A,B一定獨(dú)立.若，則A,B有可能獨(dú)立.(C)若，則A,B一定獨(dú)立.(D)若，則A,B一定不獨(dú)立.5(98),設(shè)A,B，C為三個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)事件，0＜P(C)＜1,則事件（B）不獨(dú)立。

A.與CB.AC與

C.與D.與6,(00)設(shè)A,B,C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，則A,B,C三個(gè)事件獨(dú)立的充分必要條件是(A)A.A與BC獨(dú)立B.AB與

A∪C獨(dú)立

C.AB與AC獨(dú)立D.A∪B與A∪C獨(dú)立7,設(shè)甲乙兩人獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，其命中率分別為0.6與0.5，則已命中的目標(biāo)是被甲射中的概率為（）。解設(shè)A={目標(biāo)是被甲射中的}，B={目標(biāo)是被乙射中的}，則A∪B={目標(biāo)被射中}，所求概率為8，設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且A

B,P(B)>0,則（B）成立。

A.P(A)＜P(A|B) B.P(A)P(A|B)C.P(A)＞P(A|B) D.P(A)P(A|B)

一、隨機(jī)變數(shù)概念的產(chǎn)生

在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來(lái)表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變數(shù)的概念.1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）.

例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；

九月份武漢的最高溫度；每天進(jìn)入一號(hào)樓的人數(shù)；昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)；2、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變數(shù)來(lái)表示它的各種結(jié)果.也就是說(shuō)，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.正如裁判員在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫號(hào)碼一樣，二者建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)係.

這種對(duì)應(yīng)關(guān)係在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值單值函數(shù).e.X(e)R

這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)不一樣?。?）它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的範(fàn)圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值.（2）由於試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，於是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值和每個(gè)確定範(fàn)圍內(nèi)的值也有一定的概率.

稱這種定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)X=X(e)為隨量機(jī)變簡(jiǎn)記為r.v.

而表示隨機(jī)變數(shù)所取的值時(shí),一般採(cǎi)用小寫(xiě)字母x,y,z,w,n等.隨機(jī)變數(shù)通常用大寫(xiě)字母X,Y,Z,W,N

等表示

有了隨機(jī)變數(shù),隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過(guò)隨機(jī)變數(shù)的關(guān)係式表達(dá)出來(lái).二、引入隨機(jī)變數(shù)的意義

如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變數(shù).

事件{收到不少於1次呼叫}{沒(méi)有收到呼叫}{X1}{X=0}

隨機(jī)變數(shù)概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變數(shù)後，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變數(shù)及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機(jī)變數(shù)及其取值規(guī)律三、隨機(jī)變數(shù)的分類離散型(1)離散型隨機(jī)變數(shù)所取的可能值是有限多個(gè)或無(wú)限可列個(gè),叫做離散型隨機(jī)變數(shù).

觀察擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).隨機(jī)變數(shù)X

的可能值是:隨機(jī)變數(shù)連續(xù)型實(shí)例11,2,3,4,5,6.非離散型其他實(shí)例2

若隨機(jī)變數(shù)X記為“連續(xù)射擊,直至命中時(shí)的射擊次數(shù)”,則X

的可能值是:實(shí)例3

設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則隨機(jī)變數(shù)X記為“擊中目標(biāo)的次數(shù)”,

則X

的所有可能取值為:實(shí)例2

隨機(jī)變數(shù)X為“測(cè)量某零件尺寸時(shí)的測(cè)量誤差”.則X的取值範(fàn)圍為(a,b).實(shí)例1

隨機(jī)變數(shù)X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型

隨機(jī)變數(shù)所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機(jī)變數(shù).則X的取值範(fàn)圍為

從中任取3個(gè)球取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變數(shù).(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每個(gè)值的概率為:看一個(gè)例子一、離散型隨機(jī)變數(shù)分佈律的定義定義1：某些隨機(jī)變數(shù)X的所有可能取值是有限多個(gè)或可列無(wú)限多個(gè),這種隨機(jī)變數(shù)稱為離散型隨機(jī)變數(shù)

.其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）

定義2

：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變數(shù)X所取的一切可能值，稱為離散型隨機(jī)變數(shù)X的分佈律.用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是分佈律解:依據(jù)分佈律的性質(zhì)P(X=k)≥0,

a≥0,從中解得即例2設(shè)隨機(jī)變數(shù)X的分佈律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.二、離散型隨機(jī)變數(shù)表示方法（1）公式法（2）列表法或例3

某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分佈.解：X可取值為0,1,2;

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81常常表示為：這就是X的分佈律.例4

某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X

的分佈律.解:顯然，X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,為計(jì)算

P{X=k}，

k=1,2,…，Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設(shè)於是可見(jiàn)這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的分佈律.例5

一汽車(chē)沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等.以X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)，求X的分佈律.解:依題意,X可取值0,1,2,3.

P{X=0}=P(A1)=1/2,Ai={第i個(gè)路口遇紅燈},i=1,2,3設(shè)路口3路口2路口1P{X=1}=P()=1/4

P{X=2}=P()=1/8X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)路口3路口2路口1路口3路口2路口1=1/8P(X=3)=P()路口3路口2路口1即X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)設(shè)隨機(jī)變數(shù)X只可能取0與1兩個(gè)值,它的分佈律為則稱X服從(0—1)分佈或兩點(diǎn)分佈.1.兩點(diǎn)分佈三、幾種常見(jiàn)分佈例6“拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反兩面情況.

隨機(jī)變數(shù)X服從(0—1)分佈.其分佈律為例7200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機(jī)變數(shù)X服從(0—1)分佈.

兩點(diǎn)分佈是最簡(jiǎn)單的一種分佈,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬於兩點(diǎn)分佈.說(shuō)明2.等可能分佈如果隨機(jī)變數(shù)X的分佈律為例拋擲骰子並記出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變數(shù)X,則有看一個(gè)試驗(yàn)將一枚均勻骰子拋擲3次.X的分佈律是：3.伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)分佈令X表示3次中出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù)

擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”

抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”

一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)E中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果：A

或.這樣的試驗(yàn)E稱為伯努利試驗(yàn)

.“重複”是指這n次試驗(yàn)中P(A)=p保持不變.

將伯努利試驗(yàn)E獨(dú)立地重複地進(jìn)行n次,則稱這一串重複的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)

.“獨(dú)立”是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響.

用X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則且兩兩互不相容.易證：（1）（2）稱這樣的分佈為二項(xiàng)分佈.記為二項(xiàng)分佈兩點(diǎn)分佈二項(xiàng)分佈的圖形例8

已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率.

解:因?yàn)檫@是有放回地取3次，因此這3次試驗(yàn)的條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努裏試驗(yàn).依題意，每次試驗(yàn)取到次品的概率為0.05.設(shè)X為所取的3個(gè)中的次品數(shù)，於是，所求概率為：則X~b(3,0.05)，

若將本例中的“有放回”改為”無(wú)放回”,那麼各次試驗(yàn)條件就不同了,此試驗(yàn)就不是伯努利試驗(yàn).此時(shí),只能用古典概型求解.請(qǐng)注意：

伯努利試驗(yàn)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；

二項(xiàng)分佈描述的是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的分佈律.（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或，（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.可以簡(jiǎn)單地說(shuō)，

且P(A)=p

，；例9

某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率是0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以後最多只有一個(gè)壞了的概率.解:設(shè)X為三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)已壞的燈泡數(shù).X~b(3,0.8)，把觀察一個(gè)燈泡的使用時(shí)數(shù)看作一次試驗(yàn),“使用到1000小時(shí)已壞”視為事件A.每次試驗(yàn),A出現(xiàn)的概率為0.8

P{X1}=P{X=0}+P{X=1}=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104分析

這是不放回抽樣.但由於這批元件的總數(shù)很大,且抽查元件的數(shù)量相對(duì)於元件的總數(shù)來(lái)說(shuō)又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來(lái)處理.例10解圖示概率分佈注意：P(X=4)最大。

一般地，若在k0處，概率P{X=k}達(dá)到最大（稱k0為隨機(jī)變數(shù)X的最可能值）。則k0應(yīng)滿足解上述不等式得(n+1)p-1≤k0≤(n+1)p

。因?yàn)閗0必須為整數(shù)，所以當(dāng)(n+1)p為整數(shù)，其他，本例中，n=20，p=0.2,所以，(n+1)p=4.2,故k0=4。例11

設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備,各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由四人維護(hù),每人負(fù)責(zé)20臺(tái);其二是由3人共同維護(hù)臺(tái)80.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.解按第一種方法發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修”,而不能及時(shí)維修的概率為則知80臺(tái)中發(fā)生故障故有即有

按第二種方法故80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為4.泊松分佈

同樣地，解如下不等式得-1≤k0≤。因?yàn)閗0必須為整數(shù)，所以泊松分佈的最可能取值為當(dāng)為整數(shù)，其他，泊松分佈的圖形泊松分佈的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí),他們做了2608次觀察(每次時(shí)間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分佈.

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中

,泊松分佈是常見(jiàn)的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分佈.電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水,則對(duì)固定的

k，有設(shè)Possion定理:Poisson定理說(shuō)明若X~b(n,p),則當(dāng)n

較大，p

較小,而適中,則可以用近似公式

歷史上，泊松分佈是作為二項(xiàng)分佈的近似，於1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的.二項(xiàng)分佈與泊松分佈的關(guān)係證

記二項(xiàng)分佈

泊松分佈例12

一家商店採(cǎi)用科學(xué)管理，由該商店過(guò)去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分佈來(lái)描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？解:設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)λ=5的泊松分佈.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件,求滿足P{X≤m}>0.95

的最小的m.進(jìn)貨數(shù)銷售數(shù)求滿足P{X≤m}>0.95

的最小的m.查泊松分佈表得P{X>m}≤0.05也即於是得m+1=10,m=9件或例13

獨(dú)立射擊5000次,命中率為0.001,解

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；命中次數(shù)不少於1次的概率.(至少命中1次的概率)

(2)令X表示命中次數(shù),則X~b(5000,0.001)解令X表示命中次數(shù),則

令

此結(jié)果與用二項(xiàng)分佈算得的結(jié)果0.9934僅相差萬(wàn)分之一.利用Poisson定理再求例12

(2)X~b(5000,0.001)

由此可見(jiàn)日常生活中“提高警惕,防火防盜”的重要性.

由於時(shí)間無(wú)限,自然界發(fā)生地震、海嘯、空難、泥石流等都是必然的，早晚的事，不用奇怪，不用驚慌.

同樣,由於人的一生是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，在人的一生中發(fā)生車(chē)禍、失戀、患絕癥、考試不及格、炒股大虧損等都屬於正?，F(xiàn)象,大可不必怨天尤人,更不要想不開(kāi)而跳樓自殺.小概率事件雖不易發(fā)生，但重複次數(shù)多了，就成大概率事件.本例啟示其他離散分佈：幾何分佈：

超幾何分佈：

巴斯卡分佈：幾何級(jí)數(shù)12340.40.30.20.1

對(duì)於離散型隨機(jī)變數(shù)，如果知道了它的分佈律,也就知道了該隨機(jī)變數(shù)取值的概率規(guī)律.在這個(gè)意義上，我們說(shuō)

這一節(jié)，我們介紹了離散型隨機(jī)變數(shù)及其分佈律，並給出兩點(diǎn)分佈、二項(xiàng)分佈、泊松分佈三種重要離散型隨機(jī)變數(shù).離散型隨機(jī)變數(shù)由它的分佈律唯一確定.四、小結(jié)練習(xí)題一、分佈函數(shù)的定義

如果將

X

看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的座標(biāo)，那麼分佈函數(shù)

F(x)的值就表示

X落在區(qū)間內(nèi)的概率.設(shè)

X

是一個(gè)

r.v，稱為

X

的分佈函數(shù)

,記作

F

(x)

.(1)在分佈函數(shù)的定義中,X是隨機(jī)變數(shù),x是參變數(shù).

(2)F(x)

是r.vX取值不大於

x

的概率.(3)

對(duì)任意實(shí)數(shù)x1<x2，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間(x1,x2]內(nèi)的概率為：P{x1<Xx2}

因此，只要知道了隨機(jī)變數(shù)X的分佈函數(shù)，它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)請(qǐng)注意:

分佈函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過(guò)它，我們可以用高等數(shù)學(xué)的工具來(lái)研究隨機(jī)變數(shù).當(dāng)

x<0時(shí)，{X

x}=，故

F(x)=0例1設(shè)隨機(jī)變數(shù)X的分佈律為當(dāng)

0x<1時(shí)，

F(x)=P{X

x}=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解X求X的分佈函數(shù)F(x).當(dāng)

1x<2時(shí)，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=當(dāng)

x2時(shí)，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1故注意右連續(xù)下麵我們從圖形上來(lái)看一下.的分佈函數(shù)圖設(shè)離散型r.vX

的分佈律是P{X=xk

}=pk,

k=1,2,3,…

F(x)=P(X

x)=

即F(x)

是X

取的諸值xk

的概率之和.一般地則其分佈函數(shù)二、分佈函數(shù)的性質(zhì)(1)

如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)r.vX

的分佈函數(shù).也就是說(shuō)，性質(zhì)(1)--(3)是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某r.v的分佈函數(shù)的充分必要條件.(3)F(x)

右連續(xù)，即

(2)且試說(shuō)明F(x)能否是某個(gè)r.v

的分佈函數(shù).例2

設(shè)有函數(shù)

F(x)

解

注意到函數(shù)F(x)在上下降，不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分佈函數(shù).不滿足性質(zhì)(2)，可見(jiàn)F(x)也不能是r.v

的分佈函數(shù).或者例3

一個(gè)靶子是半徑為2m的圓盤(pán),設(shè)擊中靶上任一同心圓盤(pán)上的點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比,並設(shè)射擊都能中靶,以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變數(shù)X的分佈函數(shù).解於是故X的分佈函數(shù)為其圖形為一連續(xù)曲線

注意

兩類隨機(jī)變數(shù)的分佈函數(shù)圖形的特點(diǎn)不一樣.三、小結(jié)

在這一節(jié)中，我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)變數(shù)的分佈函數(shù),以及分佈函數(shù)的性質(zhì).練習(xí)題F(x)=P(X

x)故

一、連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)的引入

連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間,對(duì)這種類型的隨機(jī)變數(shù),不能象離散型隨機(jī)變數(shù)那樣,以指定它取每個(gè)值概率的方式,去給出其概率分佈,而是通過(guò)給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.

下麵我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)的描述方法.則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變數(shù),稱f(x)

為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為概率密度

.二、連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)及其概率密度的定義有,使得對(duì)任意實(shí)數(shù)

,

對(duì)於隨機(jī)變數(shù)X,如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),

連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)的分佈函數(shù)在上連續(xù)三、概率密度的性質(zhì)1o2o【注】這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某r.vX的概率密度的充要條件0xf(x)面積為1利用概率密度可確定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)範(fàn)圍內(nèi)的概率對(duì)於任意實(shí)數(shù)x1,x2,(x1<x2),

若f(x)在點(diǎn)x

處連續(xù),則有0xf(x)x1x2

故

X的密度f(wàn)(x)

在x

這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度之比的極限.這裏，如果把概率理解為品質(zhì)，f(x)相當(dāng)於線密度.

若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則對(duì)f(x)的進(jìn)一步理解:若不計(jì)高階無(wú)窮小，有表示隨機(jī)變數(shù)X

取值於的概率近似等於.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.

要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a的高度(取值)，並不反映X取值的概率.但是，這個(gè)高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.f(x)xoa(1)連續(xù)型r.v取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率均為0.即這是因?yàn)檫B續(xù)型r.v的分佈函數(shù)F(x)

是連續(xù)的，且請(qǐng)注意:當(dāng)時(shí)得到(2)對(duì)連續(xù)型r.vX,有由P(B)=1,不能推出

B=S由P(A)=0,不能推出由此可以得到如下結(jié)論：例2故有解(1)