上海寶山同洲模范學校2024屆高考5月考前適應性考試數(shù)學試題

上海寶山同洲模范學校2024屆高考5月考前適應性考試數(shù)學試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)有且只有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知拋物線C：，過焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為（）A．1 B．C．2 D．33．函數(shù)f(x)＝的圖象大致為()A． B．C． D．4．若x,y滿足約束條件的取值范圍是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,5．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A． B．6 C．4 D．56．已知，，則（）A． B． C． D．7．若，，，點C在AB上，且，設，則的值為（）A． B． C． D．8．已知實數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．9．甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面，已知這三人都不會違約且無兩人同時到達，則甲第一個到、丙第三個到的概率是（）A． B． C． D．10．設集合（為實數(shù)集），，，則（）A． B． C． D．11．中心在原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切，則雙曲線的離心率是（）A．2或 B．2或 C．或 D．或12．已知拋物線的焦點為，是拋物線上兩個不同的點，若，則線段的中點到軸的距離為（）A．5 B．3 C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在區(qū)間(-∞，1)上遞增，則實數(shù)a的取值范圍是____14．在平面直角坐標系中，雙曲線（，）的左頂點為A，右焦點為F，過F作x軸的垂線交雙曲線于點P，Q.若為直角三角形，則該雙曲線的離心率是______.15．若復數(shù)z滿足，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是______.16．曲線在點處的切線方程為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，底面是矩形，面底面，且是邊長為的等邊三角形，在上，且面.（1）求證:是的中點；（2）在上是否存在點，使二面角為直角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.18．（12分）如圖，內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，平面ABC，，．（1）求證：平面ACD；（2）設，表示三棱錐B-ACE的體積，求函數(shù)的解析式及最大值．19．（12分）我國在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠鏡.使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀60年代天文學的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間（脈沖星的自轉(zhuǎn)周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機構(gòu)觀測并統(tǒng)計了93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.（1）在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.20．（12分）如圖，在矩形中，，，點分別是線段的中點，分別將沿折起，沿折起，使得重合于點，連結(jié).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，其中女性有55名，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.63522．（10分）已知函數(shù)（，），.（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由是偶函數(shù)，則只需在上有且只有兩個零點即可.【題目詳解】解：顯然是偶函數(shù)所以只需時，有且只有2個零點即可令，則令，遞減，且遞增，且時，有且只有2個零點，只需故選：B【題目點撥】考查函數(shù)性質(zhì)的應用以及根據(jù)零點個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，基礎題.2、B【解題分析】

設直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達定理可得,,由可知所以可得代入化簡求得參數(shù),即可求得結(jié)果.【題目詳解】設，（，）.易知直線l的斜率存在且不為0，設為，則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得，所以，.因為，所以，得，所以，即，，所以.故選:B.【題目點撥】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達定理及向量的坐標之間的關(guān)系,考查計算能力，屬于中檔題.3、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)為非偶函數(shù)可排除兩個選項，再根據(jù)特殊值可區(qū)分剩余兩個選項.【題目詳解】因為f(－x)＝≠f(x)知f(x)的圖象不關(guān)于y軸對稱，排除選項B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故選D.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)圖象的對稱性及特值法區(qū)分函數(shù)圖象，屬于中檔題.4、D【解題分析】解：x、y滿足約束條件，表示的可行域如圖：目標函數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點時，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標函數(shù)的最小值為：4目標函數(shù)的范圍是[4，+∞）．故選D．5、D【解題分析】

由對數(shù)運算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計算．【題目詳解】由題意．故選：D．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)的運算法則．掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6、D【解題分析】

分別解出集合然后求并集.【題目詳解】解：，故選：D【題目點撥】考查集合的并集運算，基礎題.7、B【解題分析】

利用向量的數(shù)量積運算即可算出．【題目詳解】解：，，又在上，故選：【題目點撥】本題主要考查了向量的基本運算的應用，向量的基本定理的應用及向量共線定理等知識的綜合應用．8、A【解題分析】

所求的分母特征，利用變形構(gòu)造，再等價變形，利用基本不等式求最值.【題目詳解】解：因為滿足，則，當且僅當時取等號，故選：．【題目點撥】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.9、D【解題分析】

先判斷是一個古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數(shù)，再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.【題目詳解】甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙，共1種，所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選：D【題目點撥】本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.10、A【解題分析】

根據(jù)集合交集與補集運算,即可求得.【題目詳解】集合,,所以所以故選:A【題目點撥】本題考查了集合交集與補集的混合運算,屬于基礎題.11、A【解題分析】

根據(jù)題意，由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程，再分焦點在x、y軸上兩種情況討論，進而求得雙曲線的離心率．【題目詳解】設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，是圓的切線得：，得雙曲線的一條漸近線的方程為∴焦點在x、y軸上兩種情況討論：

①當焦點在x軸上時有：②當焦點在y軸上時有：∴求得雙曲線的離心率2或．

故選：A．【題目點撥】本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．解題的關(guān)鍵是：由圓的切線求得直線的方程，再由雙曲線中漸近線的方程的關(guān)系建立等式，從而解出雙曲線的離心率的值．此題易忽視兩解得出錯誤答案．12、D【解題分析】

由拋物線方程可得焦點坐標及準線方程,由拋物線的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點的橫坐標,即為中點到軸的距離.【題目詳解】解：由拋物線方程可知，，即，.設則，即，所以.所以線段的中點到軸的距離為.故選:D.【題目點撥】本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義求得兩點橫坐標的和.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組，解不等式求得的取值范圍.【題目詳解】由二次函數(shù)的性質(zhì)和復合函數(shù)的單調(diào)性可得解得.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎題.14、2【解題分析】

根據(jù)是等腰直角三角形，且為中點可得，再由雙曲線的性質(zhì)可得，解出即得.【題目詳解】由題，設點，由，解得，即線段，為直角三角形，，且，又為雙曲線右焦點，過點，且軸，，可得，，整理得：，即，又，.故答案為：【題目點撥】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，是?？碱}型.15、【解題分析】

先求得復數(shù)，再由復數(shù)模的計算公式即得.【題目詳解】，，則.故答案為：【題目點撥】本題考查復數(shù)的四則運算和求復數(shù)的模，是基礎題.16、【解題分析】

對函數(shù)求導，得出在處的一階導數(shù)值，即得出所求切線的斜率，再運用直線的點斜式求出切線的方程.【題目詳解】令，，所以，又，所求切線方程為，即.故答案為：.【題目點撥】本題考查運用函數(shù)的導函數(shù)求函數(shù)在切點處的切線方程，關(guān)鍵在于求出在切點處的導函數(shù)值就是切線的斜率，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解題分析】試題分析：(1)連交于可得是中點，再根據(jù)面可得進而根據(jù)中位線定理可得結(jié)果；(2)取中點，由（1）知兩兩垂直.以為原點，所在直線分別為軸,軸，軸建立空間直角坐標系，求出面的一個法向量，用表示面的一個法向量，由可得結(jié)果.試題解析：(1)證明：連交于，連是矩形，是中點.又面，且是面與面的交線，是的中點.(2)取中點，由（1）知兩兩垂直.以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖），則各點坐標為.設存在滿足要求，且，則由得：，面的一個法向量為，面的一個法向量為，由，得，解得，故存在，使二面角為直角，此時.18、（1）見解析（2），最大值．【解題分析】

（1）先證明，，故平面ADC．由，即得證；（2）可證明平面ABC，結(jié)合條件表示出，利用均值不等式，即得解.【題目詳解】（1）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形，∴，．∵平面ABC，平面ABC，∴．∵AB是圓O的直徑，∴，且，平面ADC，∴平面ADC．∵，∴平面ADC．（2）解∵平面ABC，，∴平面ABC．在中，，．在中，∵，∴，∴，∴．∵，當且僅當，即時取等號，∴當時，體積有最大值．【題目點撥】本題考查了線面垂直的證明和三棱錐的體積，考查了學生邏輯推理，空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.19、（1）79顆；（2）5.5秒.【解題分析】

（1）利用各小矩形的面積和為1可得，進而得到脈沖星自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的頻率，從而得到頻數(shù)；（2）平均值的估計值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.【題目詳解】（1）第一到第六組的頻率依次為0.1，0.2，0.3，0.2，，0.05，其和為1所以，，所以，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有（顆）.（2）新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為（秒）.故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5.5秒.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖的應用，涉及到平均數(shù)的估計值等知識，是一道容易題.20、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)，，可得平面，故而平面平面．（Ⅱ）過作于，則可證平面，故為所求角，在中利用余弦定理計算，再計算．【題目詳解】解：（Ⅰ）因為，，，平面，平面所以平面，又平面，所以平面平面；（Ⅱ）過作于，則由平面，且平面知，所以平面，從而是直線與平面所成角.因為，，，所以，從而.【題目點撥】本題考查了面面垂直的判定，考查直線與平面所成角的計算，屬于中檔題．21、(1)無關(guān)；(2)，.【解題分析】

(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而可得列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得.因為3.030<3.841，所以我們沒有充分理由認為“體育迷”與性別有關(guān)．(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概