2024屆黑龍江省伊春市高三3月高考診斷性測試（一模）數(shù)學試題試卷

2024屆黑龍江省伊春市高三3月高考診斷性測試（一模）數(shù)學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點橫坐標的和為（）A． B． C． D．2．若表示不超過的最大整數(shù)(如，，)，已知，，，則（）A．2 B．5 C．7 D．83．的展開式中的系數(shù)是-10，則實數(shù)()A．2 B．1 C．-1 D．-24．設，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，，則.其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④5．已知等比數(shù)列的前項和為，若，且公比為2，則與的關系正確的是（）A． B．C． D．6．若函數(shù)，在區(qū)間上任取三個實數(shù)，，均存在以，，為邊長的三角形，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,則 B．若，,則C．若,,則 D．若,,則8．如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點，分別為線段和棱上任意一點，則的最小值為（）A． B． C． D．9．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于A，B兩點，交y軸于點M，若、M是線段AB的三等分點，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．10．已知集合，則（）A． B． C． D．11．若，，則的值為（）A． B． C． D．12．設全集，集合，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設為互不相等的正實數(shù)，隨機變量和的分布列如下表，若記，分別為的方差，則_____．（填>，<，=）14．已知集合，則_______．15．（5分）已知曲線的方程為，其圖象經(jīng)過點，則曲線在點處的切線方程是____________．16．以，為圓心的兩圓均過，與軸正半軸分別交于，，且滿足，則點的軌跡方程為_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知的面積為.（1）求；（2）若，，求的周長.18．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC.（1）證明：平面平面（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，且、、成等比數(shù)列，.設數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）令，證明：.20．（12分）隨著改革開放的不斷深入，祖國不斷富強，人民的生活水平逐步提高，為了進一步改善民生，2019年1月1日起我國實施了個人所得稅的新政策，其政策的主要內(nèi)容包括：（1）個稅起征點為5000元；（2）每月應納稅所得額（含稅）收入個稅起征點專項附加扣除；（3）專項附加扣除包括①贍養(yǎng)老人費用②子女教育費用③繼續(xù)教育費用④大病醫(yī)療費用等．其中前兩項的扣除標準為：①贍養(yǎng)老人費用：每月扣除2000元②子女教育費用：每個子女每月扣除1000元．新個稅政策的稅率表部分內(nèi)容如下：級數(shù)一級二級三級四級每月應納稅所得額（含稅）不超過3000元的部分超過3000元至12000元的部分超過12000元至25000元的部分超過25000元至35000元的部分稅率3102025（1）現(xiàn)有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要贍養(yǎng)老人，除此之外，無其它專項附加扣除．請問李某月應繳納的個稅金額為多少？（2）為研究月薪為20000元的群體的納稅情況，現(xiàn)收集了某城市500名的公司白領的相關資料，通過整理資料可知，有一個孩子的有400人，沒有孩子的有100人，有一個孩子的人中有300人需要贍養(yǎng)老人，沒有孩子的人中有50人需要贍養(yǎng)老人，并且他們均不符合其它專項附加扣除（受統(tǒng)計的500人中，任何兩人均不在一個家庭）．若他們的月收入均為20000元，依據(jù)樣本估計總體的思想，試估計在新個稅政策下這類人群繳納個稅金額的分布列與期望．21．（12分）在直角坐標系中，點的坐標為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為常數(shù)，且）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，建立極坐標系，圓的極坐標方程為.設點在圓外.（1）求的取值范圍.（2）設直線與圓相交于兩點，若，求的值.22．（10分）△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)兩個函數(shù)相等，求出所有交點的橫坐標，然后求和即可.【題目詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標的和，故選B.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角，側(cè)重考查數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).2、B【解題分析】

求出，，，，，，判斷出是一個以周期為6的周期數(shù)列，求出即可．【題目詳解】解：.，∴，，，同理可得：；；.；，，…….∴.故是一個以周期為6的周期數(shù)列，則.故選：B.【題目點撥】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應用．3、C【解題分析】

利用通項公式找到的系數(shù)，令其等于-10即可.【題目詳解】二項式展開式的通項為，令，得，則，所以，解得.故選：C【題目點撥】本題考查求二項展開式中特定項的系數(shù)，考查學生的運算求解能力，是一道容易題.4、C【解題分析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關定理逐一判斷即可.【題目詳解】解：①：、也可能相交或異面，故①錯②：因為，，所以或，因為，所以，故②對③：或，故③錯④：如圖因為，，在內(nèi)過點作直線的垂線，則直線，又因為，設經(jīng)過和相交的平面與交于直線，則又，所以因為，，所以，所以，故④對.故選：C【題目點撥】考查線面平行或垂直的判斷，基礎題.5、C【解題分析】

在等比數(shù)列中，由即可表示之間的關系.【題目詳解】由題可知，等比數(shù)列中，且公比為2，故故選：C【題目點撥】本題考查等比數(shù)列求和公式的應用，屬于基礎題.6、D【解題分析】

利用導數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得的取值范圍.【題目詳解】的定義域為，，所以在上遞減，在上遞增，在處取得極小值也即是最小值，，，，，所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個實數(shù)，，均存在以，，為邊長的三角形，則需恒成立，且，也即，也即當、時，成立，即，且，解得.所以的取值范圍是.故選：D【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問題的求解，屬于中檔題.7、C【解題分析】

在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．【題目詳解】設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯誤；在B中，若，，則或，故B錯誤；在C中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯誤．故選C．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，是中檔題．8、D【解題分析】

取中點，過作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當時，最小，由，故，即可求解.【題目詳解】取中點，過作面，如圖：則，故，而對固定的點，當時，最?。藭r由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【題目點撥】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.9、D【解題分析】

根據(jù)題意，求得的坐標，根據(jù)點在橢圓上，點的坐標滿足橢圓方程，即可求得結(jié)果.【題目詳解】由已知可知，點為中點，為中點，故可得，故可得；代入橢圓方程可得，解得，不妨取，故可得點的坐標為，則，易知點坐標，將點坐標代入橢圓方程得，所以離心率為，故選：D.【題目點撥】本題考查橢圓離心率的求解，難點在于根據(jù)題意求得點的坐標，屬中檔題.10、A【解題分析】

考慮既屬于又屬于的集合，即得.【題目詳解】.故選：【題目點撥】本題考查集合的交運算，屬于基礎題.11、A【解題分析】

取，得到，取，則，計算得到答案.【題目詳解】取，得到；取，則.故.故選：.【題目點撥】本題考查了二項式定理的應用，取和是解題的關鍵.12、B【解題分析】

可解出集合，然后進行補集、交集的運算即可．【題目詳解】，，則，因此，.故選：B.【題目點撥】本題考查補集和交集的運算，涉及一元二次不等式的求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、>【解題分析】

根據(jù)方差計算公式，計算出的表達式，由此利用差比較法，比較出兩者的大小關系.【題目詳解】，故.，.要比較的大小，只需比較與，兩者作差并化簡得①，由于為互不相等的正實數(shù)，故，也即，也即.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查隨機變量期望和方差的計算，考查差比較法比較大小，考查運算求解能力，屬于難題.14、【解題分析】

由可得集合是奇數(shù)集，由此可以得出結(jié)果.【題目詳解】解：因為所以集合中的元素為奇數(shù)，所以.【題目點撥】本題考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性質(zhì)是本題解題的關鍵.15、【解題分析】

依題意，將點的坐標代入曲線的方程中，解得.由，得，則曲線在點處切線的斜率，所以在點處的切線方程是，即．16、【解題分析】

根據(jù)圓的性質(zhì)可知在線段的垂直平分線上，由此得到，同理可得，由對數(shù)運算法則可知，從而化簡得到，由此確定軌跡方程.【題目詳解】，，和的中點坐標為，且在線段的垂直平分線上，，即，同理可得：，，，點的軌跡方程為．故答案為：．【題目點撥】本題考查動點軌跡方程的求解問題，關鍵是能夠利用圓的性質(zhì)和對數(shù)運算法則構造出滿足的方程，由此得到結(jié)果.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案；（2）根據(jù)兩角余弦公式可得，即可求出，再根據(jù)正弦定理可得，根據(jù)余弦定理即可求出，問題得以解決．【題目詳解】（1）由三角形的面積公式可得，，由正弦定理可得，，；（2），，，，，則由，可得：，由，可得：，，可得：，經(jīng)檢驗符合題意，三角形的周長．（實際上可解得，符合三邊關系）．【題目點撥】本題考查了三角形的面積公式、兩角和的余弦公式、誘導公式，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了學生的運算能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）證明平面即平面平面得證；（2）分別以所在直線為x軸，y軸.軸，建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz，再利用向量方法求二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：因為平面ABC，所以因為.所以.即又.所以平面因為平面.所以平面平面（2）解：由題可得兩兩垂直，所以分別以所在直線為x軸，y軸.軸，建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz，則，所以設平面的一個法向量為，由.得令，得又平面，所以平面的一個法向量為.所以二面角的余弦值為.【題目點撥】本題主要考查空間幾何位置關系的證明，考查二面角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19、（1）,（2）證明見解析【解題分析】

（1）利用首項和公差構成方程組，從而求解出的通項公式；由的通項公式求解出的表達式，根據(jù)以及，求解出的通項公式；（2）利用錯位相減法求解出的前項和，根據(jù)不等關系證明即可.【題目詳解】（1）設首項為，公差為.由題意，得，解得，∴，∴，∴當時，∴，.當時，滿足上式.∴（2），令數(shù)列的前項和為.兩式相減得∴恒成立，得證.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應用，難度一般.（1）當用求解的通項公式時，一定要注意驗證是否成立；（2）當一個數(shù)列符合等差乘以等比的形式，優(yōu)先考慮采用錯位相減法進行求和，同時注意對于錯位的理解.20、（1）李某月應繳納的個稅金額為元，（2）分布列詳見解析，期望為1150元【解題分析】

（1）分段計算個人所得稅額；

（2）隨機變量X的所有可能的取值為990，1190，1390，1590，分別求出各值對應的概率，列出分布列，求期望即可．【題目詳解】解：（1）李某月應納稅所得額（含稅）為：29600?5000?1000?2000＝21600元

不超過3000的部分稅額為3000×3%＝90元

超過3000元至12000元的部分稅額為9000×10%＝900元，

超過12000元至25000元的部分稅額為9600×20%＝1920元

所以李某月應繳納的個稅金額為90＋900＋1920＝2910元，

（2）有一個孩子需要贍養(yǎng)老人應納稅所得額（含稅）為：20000?5000?1000?2000＝12000元，

月應繳納的個稅金額為：90＋900＝990元

有一個孩子不需要贍養(yǎng)老人應納稅所得額（含稅）為：20000?5000?1000＝14000元，

月應繳納的個稅金額為：90＋900＋400＝1390元；

沒有孩子需要贍養(yǎng)老人應納稅所得額（含稅）為：20000?5000?2000＝13000元，

月應繳納的個稅金額為：90＋900＋200＝1190元；

沒有孩子不需要贍養(yǎng)老人應納稅所得額（含稅）為：20000?5000＝15000元，

月應繳納的個稅金額為：90＋900＋600＝1590元；

．

所以隨機變量X的分布列為：990119013901590．【題目點撥】本題考查了分段函數(shù)的應用與函數(shù)值計算，考查了隨機變量的概率分布列與數(shù)學期望，屬于中檔題．21、（1）（2）【解題分析】

（1）首先將曲線化為直角坐標方程，由點在圓外，則解得即可；（