北京市西城區(qū)北京第四十四中學2024年高三上數(shù)學期末達標測試試題含解析

北京市西城區(qū)北京第四十四中學2024年高三上數(shù)學期末達標測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．2．如圖，在平面四邊形中，滿足，且，沿著把折起，使點到達點的位置，且使，則三棱錐體積的最大值為（）A．12 B． C． D．3．很多關于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數(shù)學家和數(shù)學愛好者，有些猜想已經被數(shù)學家證明，如“費馬大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內容是：對于每一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則將它乘以再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以；如此循環(huán)，最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個程序框圖.若輸入的值為，則輸出i的值為（）A． B． C． D．4．已知表示兩條不同的直線，表示兩個不同的平面，且則“”是“”的()條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要5．已知等差數(shù)列的公差為-2，前項和為，若，，為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內角為，則的最大值為（）A．5 B．11 C．20 D．256．已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取得最大值時，點恰好在以為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．7．自2019年12月以來，在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，研究表明，該新型冠狀病毒具有很強的傳染性各級政府反應迅速，采取了有效的防控阻擊措施，把疫情控制在最低范圍之內.某社區(qū)按上級要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記，有3個不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶，負責該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生，現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去，且每個住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記，則不同的分配方案共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．72種8．已知定義在上的偶函數(shù)，當時，，設，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若關于的方程有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．若復數(shù)滿足，則()A． B． C． D．11．已知為定義在上的奇函數(shù)，且滿足當時，，則（）A． B． C． D．12．設為虛數(shù)單位，為復數(shù)，若為實數(shù)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，則_____，（的值為______．14．已知雙曲線-=1(a>0，b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點F，兩曲線的一個交點為P，若|FP|=5，則點F到雙曲線的漸近線的距離為_____.15．設，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則_________16．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)是_____，_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正方體的棱長為2，為棱的中點.（1）面出過點且與直線垂直的平面，標出該平面與正方體各個面的交線（不必說明畫法及理由）；（2）求與該平面所成角的正弦值.18．（12分）如圖，已知橢圓經過點，且離心率，過右焦點且不與坐標軸垂直的直線與橢圓相交于兩點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的右頂點為，線段的中點為，記直線的斜率分別為，求證：為定值.19．（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若，角為鈍角，（1）求的值；（2）求邊的長.20．（12分）如圖中，為的中點，，，.（1）求邊的長；（2）點在邊上，若是的角平分線，求的面積.21．（12分）已知函數(shù)．（1）若在處取得極值，求的值；（2）求在區(qū)間上的最小值；（3）在（1）的條件下，若，求證：當時，恒有成立．22．（10分）中國古代數(shù)學經典《數(shù)書九章》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點D），交PC于N（異于點C）.（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫出它每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用特值確定函數(shù)的正負情況。【詳解】，故奇函數(shù)，四個圖像均符合。當時，，，排除C、D當時，，，排除A。故選B?！军c睛】圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調性、及特殊值。2、C【解析】

過作于，連接，易知，，從而可證平面，進而可知，當最大時，取得最大值，取的中點，可得，再由，求出的最大值即可.【詳解】在和中，，所以，則，過作于，連接，顯然，則，且，又因為，所以平面，所以，當最大時，取得最大值，取的中點，則，所以，因為，所以點在以為焦點的橢圓上（不在左右頂點），其中長軸長為10，焦距長為8，所以的最大值為橢圓的短軸長的一半，故最大值為，所以最大值為，故的最大值為.故選：C.【點睛】本題考查三棱錐體積的最大值，考查學生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.3、B【解析】

根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結果.【詳解】輸入，不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)不成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；成立，跳出循環(huán)，輸出i的值為.故選：B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結果，考查計算能力，屬于基礎題.4、B【解析】

根據(jù)充分必要條件的概念進行判斷.【詳解】對于充分性：若，則可以平行，相交，異面，故充分性不成立；若，則可得，必要性成立.故選：B【點睛】本題主要考查空間中線線，線面，面面的位置關系，以及充要條件的判斷，考查學生綜合運用知識的能力.解決充要條件判斷問題，關鍵是要弄清楚誰是條件，誰是結論.5、D【解析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調遞減，再由余弦定理結合通項可求得首項，即可求出前n項和，從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2，可知數(shù)列單調遞減，則，，中最大，最小，又，，為三角形的三邊長，且最大內角為，由余弦定理得，設首項為，即得，所以或，又即,舍去，，d=-2前項和.故的最大值為.故選：D【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用，考查求前n項和的最值問題，同時還考查了余弦定理的應用.6、B【解析】

設，利用兩點間的距離公式求出的表達式，結合基本不等式的性質求出的最大值時的點坐標，結合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設，因為是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，所以，則，當時，，當時，，當且僅當時取等號，此時，，點在以為焦點的橢圓上，，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．7、C【解析】

先將4名醫(yī)生分成3組，其中1組有2人，共有種選法，然后將這3組醫(yī)生分配到3個不同的住戶中去，有種方法，由分步原理可知共有種.【詳解】不同分配方法總數(shù)為種.故選：C【點睛】此題考查的是排列組合知識，解此類題時一般先組合再排列，屬于基礎題.8、B【解析】

根據(jù)偶函數(shù)性質，可判斷關系；由時，，求得導函數(shù)，并構造函數(shù)，由進而判斷函數(shù)在時的單調性，即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，所以所以;當時，，則，令則，當時，，則在時單調遞增，因為，所以，即，則在時單調遞增，而，所以，綜上可知，即，故選：B.【點睛】本題考查了偶函數(shù)的性質應用，由導函數(shù)性質判斷函數(shù)單調性的應用，根據(jù)單調性比較大小，屬于中檔題.9、B【解析】

利用換元法設，則等價為有且只有一個實數(shù)根，分三種情況進行討論，結合函數(shù)的圖象，求出的取值范圍.【詳解】解：設，則有且只有一個實數(shù)根.當時，當時，，由即，解得，結合圖象可知，此時當時，得，則是唯一解，滿足題意；當時，此時當時，，此時函數(shù)有無數(shù)個零點，不符合題意；當時，當時，，此時最小值為，結合圖象可知，要使得關于的方程有且只有一個實數(shù)根，此時.綜上所述：或.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)方程根的個數(shù)的應用.利用換元法，數(shù)形結合是解決本題的關鍵.10、C【解析】

化簡得到，，再計算復數(shù)模得到答案.【詳解】，故，故，.故選：.【點睛】本題考查了復數(shù)的化簡，共軛復數(shù)，復數(shù)模，意在考查學生的計算能力.11、C【解析】

由題設條件，可得函數(shù)的周期是，再結合函數(shù)是奇函數(shù)的性質將轉化為函數(shù)值，即可得到結論.【詳解】由題意，，則函數(shù)的周期是，所以，，又函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當時，，所以，.故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的周期性，由題設得函數(shù)的周期是解答本題的關鍵，屬于基礎題.12、B【解析】

可設，將化簡，得到，由復數(shù)為實數(shù)，可得，解方程即可求解【詳解】設，則.由題意有，所以.故選：B【點睛】本題考查復數(shù)的模長、除法運算，由復數(shù)的類型求解對應參數(shù)，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7201【解析】

利用二項展開式的通式可求出；令中的，得兩個式子，代入可得結果.【詳解】利用二項式系數(shù)公式，，故，，故（=，故答案為：720；1.【點睛】本題考查二項展開式的通項公式的應用，考查賦值法，是基礎題.14、【解析】

設點為，由拋物線定義知，，求出點P坐標代入雙曲線方程得到的關系式，求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2，0)，因為點P在拋物線y2=8x上，|FP|=5，設點為，由拋物線定義知，，解得，不妨取P(3，2)，代入雙曲線-=1，得-=1，又因為a2+b2=4，解得a=1，b=，因為雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線為y=±x，由點到直線的距離公式可得，點F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質；考查運算求解能力和知識遷移能力；靈活運用雙曲線和拋物線的性質是求解本題的關鍵；屬于中檔題、常考題型.15、1【解析】

令，結合函數(shù)的奇偶性，求得，即可求解的值，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，令，可得，所以.故答案為：1.【點睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性，合理賦值求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.16、【解析】

直接利用復數(shù)的乘法運算化簡，從而得到復數(shù)的共軛復數(shù)和的模．【詳解】，則復數(shù)的共軛復數(shù)為，且.故答案為：；.【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎的計算題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）.【解析】

（1）與平面垂直，過點作與平面平行的平面即可（2）建立空間直角坐標系求線面角正弦值【詳解】解：（1）截面如下圖所示：其中，，，，分別為邊，，，，的中點，則垂直于平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.設平面的一個法向量為，則.不妨取，則，所以與該平面所成角的正弦值為.（若將作為該平面法向量，需證明與該平面垂直）【點睛】考查確定平面的方法以及線面角的求法，中檔題.18、（1）；（2）詳見解析.【解析】

（1）由橢圓離心率、系數(shù)關系和已知點坐標構建方程組，求得，代入標準方程中即可；（2）依題意，直線的斜率存在，且不為0，設其為，則直線的方程為，設，，通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程化簡整理和中點的坐標表示用含k的表達式表示，，進而表示；由韋達定理表示根與系數(shù)的關系進而表示用含k的表達式表示，最后做比即得證.【詳解】（1）設橢圓的焦距為，則，即，所以.依題意，，即，解得，所以，.所以橢圓的標準方程為.（2）證明：依題意，直線的斜率存在，且不為0，設其為，則直線的方程為，設，.與橢圓聯(lián)立整理得，故所以，，所以.又，所以為定值，得證.【點睛】本題考查由離心率求橢圓的標準方程，還考查了橢圓中的定值問題，屬于較難題.19、（1）（2）【解析】

（1）由，分別求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．【詳解】(1)因為角為鈍角，，所以，又，所以，且，所以.(2)因為，且，所以，又，則，所以.20、（1）10；（2）.【解析】

（1）由題意可得cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD2﹣52+9+BD2﹣16＝0，進而解得BC的值．（2）由（1）可知△ADC為直角三角形，可求S△ADC6，S△ABC＝2S△ADC＝12，利用角平分線的性質可得，根據(jù)S△ABC＝S△BCE+S△ACE可求S△BCE的值．【詳解】（1）因為在邊上，所以，在和中由余弦定理，得，因為，，，，所以，所以，.所以邊的長為10.（2）由（1）知為直角三角形，所以，.因為是的角平分線，所以.所以，所以.即的面積為.【點睛】本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，角平分線的性質在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題．21、（1）2；（2）；（3）證明見解析【解析】

（1）先求出函數(shù)的定義域和導數(shù)，由已知函數(shù)在處取得極值，得到，即可求解的值；（2）由（1）得，定義域為，分，和三種情況討論，分別求得函數(shù)的最小值，即可得到結論；（3）由，得到，把，只需證，構造新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最值，即可求解.【詳解】（1）由，定義域為，則，因為函數(shù)在處取得極值，所以，即，解得，經檢驗，滿足題意，所以.(2)由（1）得，定義域為，當時，有，在區(qū)間上單調遞增，最小值為，當時，由得，且，當時，，單調遞減；當時，，單調遞