高等數(shù)學(xué)課件

無(wú)窮級(jí)數(shù)第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及其基本性質(zhì)第二節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)的斂散性第三節(jié)冪級(jí)數(shù)第四節(jié)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)第五節(jié)傅裏葉級(jí)數(shù)第六節(jié)週期為2的函數(shù)展開(kāi)成傅裏葉級(jí)數(shù)第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及其基本性質(zhì)

無(wú)窮級(jí)數(shù)

和微分、積分一樣，無(wú)窮級(jí)數(shù)是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具.本章包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)兩部分，介紹無(wú)窮級(jí)數(shù)的一些基本內(nèi)容，並著重討論如何將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)以及傅裏葉級(jí)數(shù)的問(wèn)題.一、數(shù)項(xiàng)級(jí)的概念例1

討論等比級(jí)數(shù)（又稱(chēng)幾何級(jí)數(shù)）解解解二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)證解解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第二節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.比較審斂法根據(jù)該定理1，可建立正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一些基本審斂法.解解解2.比值審斂法解二、任意項(xiàng)級(jí)的斂散性1.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法解2.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案*第三節(jié)冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性解解解三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案*第四節(jié)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)確定一個(gè)和函數(shù)，現(xiàn)在討論相反問(wèn)題，即一個(gè)函數(shù)是否能表示成冪級(jí)數(shù).一、泰勒級(jí)數(shù)二、把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1.直接展開(kāi)法解解2.間接展開(kāi)方法

間接展開(kāi)法是指利用一些已知的函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式通過(guò)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),將所給函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法.解解解解三、函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用1.近似計(jì)算解*2.微分方程的冪級(jí)數(shù)解法解3.用冪級(jí)數(shù)表達(dá)函數(shù)思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案*第五節(jié)傅裏葉級(jí)數(shù)一、三角級(jí)數(shù)和三角函數(shù)系的正交性二、週期為2π的函數(shù)的傅裏葉級(jí)數(shù)解三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案*第六節(jié)週期為2的函數(shù)展開(kāi)成傅裏葉級(jí)數(shù)一、週期為2的函數(shù)的傅裏葉級(jí)數(shù)解二、傅裏葉級(jí)數(shù)的複數(shù)形式

上面介紹的傅裏葉級(jí)數(shù)一種三角形的表示，在電子學(xué)及工程技術(shù)上有時(shí)採(cǎi)用指數(shù)形式的傅裏葉級(jí)數(shù)比較方便.解思考題答案答案課堂練習(xí)題答案返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回3.近似計(jì)算、微分方程的冪級(jí)數(shù)解法、用冪級(jí)數(shù)表達(dá)函數(shù).返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念第二節(jié)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則第三節(jié)複合函數(shù)的求導(dǎo)法則第四節(jié)初等函數(shù)的求導(dǎo)法第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)法第六節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第七節(jié)函數(shù)的微分第八節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三用Mathematica求極限和一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.變速運(yùn)動(dòng)的速度第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一、變化率問(wèn)題舉例2.切線(xiàn)問(wèn)題

上面兩個(gè)例子分別屬於不同領(lǐng)域,一為運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，一為幾何問(wèn)題,但都要求計(jì)算函數(shù)值的改變量與引數(shù)的改變量之比,在當(dāng)後者無(wú)限趨於零時(shí)的極限.此外,很多理論或?qū)嶋H問(wèn)題,也要求計(jì)算這種類(lèi)型的極限,這些量的具體意義，抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)係上的共性,便得出函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念.二、導(dǎo)數(shù)的定義解三、求導(dǎo)舉例解解解解四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義圖2-2導(dǎo)數(shù)幾何意義解解五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)係思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第二節(jié)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

第一根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出一些簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)，但對(duì)於比較複雜的函數(shù)，直接安定義來(lái)求它們的導(dǎo)數(shù)往往是很困難的.在本節(jié)和下節(jié)中將介紹求導(dǎo)的幾個(gè)基本法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.

解解解解解解思考題1.牢記函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則;答案答案課堂練習(xí)題答案答案第三節(jié)複合函數(shù)的求導(dǎo)法則

上述定理又稱(chēng)鏈鎖法則.即複合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等於複合函數(shù)對(duì)中間變數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以中間變數(shù)對(duì)引數(shù)的導(dǎo)數(shù).該法則可推廣到有限次複合形成的複合函數(shù)上去.如解解解解解例6

證明導(dǎo)數(shù)公式:證解答案答案答案思考題課堂練習(xí)題答案答案第四節(jié)初等函數(shù)的求導(dǎo)法一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為了求反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，先研究一般反函數(shù)的求導(dǎo)法.解例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解二、初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題1.求導(dǎo)法則2.基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)法一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

有的隱函數(shù)可以顯化，有的則不能，不論隱函數(shù)是否能顯化，可以直接由方程求出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解二、冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解

在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中,僅有和的導(dǎo)數(shù)等於導(dǎo)數(shù)的和最簡(jiǎn)單,利用對(duì)數(shù)可以簡(jiǎn)化乘積和商及乘方的導(dǎo)數(shù).如例3解三、由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)法解解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第六節(jié)高階導(dǎo)數(shù)

二階和二階以上導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)稱(chēng)高階導(dǎo)數(shù)，自然原來(lái)所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)就是一階導(dǎo)數(shù).由導(dǎo)數(shù)的定義，很容易寫(xiě)出二階及二階以上導(dǎo)數(shù)定義.如高階導(dǎo)數(shù)也有許多實(shí)際背景.例如，加速度是速度的變化率，因而加速度是速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，但速度本身是路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，所以加速度是路程對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，並把此說(shuō)成二階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)物理模型.解解解解思考題答案答案課堂練習(xí)題答案答案第七節(jié)函數(shù)的微分一、微分的概念導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)相對(duì)於引數(shù)變化快慢的程度(導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值大,函數(shù)y相對(duì)於引數(shù)x變化的速度快;小則慢,導(dǎo)數(shù)值為零,幾乎無(wú)改變),而不是改變量本身,然而在許多情形下,需要考察和估計(jì)函數(shù)的改變量.

計(jì)算函數(shù)的改變量一般沒(méi)有什麼好竅門(mén),只需兩個(gè)函數(shù)值相減即可.一般來(lái)講,一些複雜函數(shù)這樣運(yùn)算較麻煩,並且又不實(shí)際,因?yàn)槭澜缟辖^對(duì)精確的東西是沒(méi)有的.所以當(dāng)引數(shù)的改變量很小時(shí),要對(duì)函數(shù)的改變量進(jìn)行估計(jì).先看一個(gè)實(shí)例.解二、微分的運(yùn)算

按照定義，一個(gè)函數(shù)的微分就等於它的導(dǎo)數(shù)乘以引數(shù)的微分，所以由導(dǎo)數(shù)便可立刻寫(xiě)出微分公式，解解解解解三、近似計(jì)算解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案*第八節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三

用Mathematica求極限和一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、求一元函數(shù)的極限1.學(xué)習(xí)Mathematica的命令Mathematica的求極限命令調(diào)用格式為2.理解函數(shù)極概念解解解3.求一元函數(shù)的極限例4求下列函數(shù)的極限：解二、求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.學(xué)習(xí)Mathemmatica命令Mathematica的求導(dǎo)數(shù)命令調(diào)用格式為2.導(dǎo)數(shù)概念根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，利用Mathematica的求極限命令可以求出函數(shù)在任何一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).Limit[(f[x+h]-f[x])/h,h->0]解定義函數(shù)3.求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；解解返回返回返回1.證明：返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回常微分方程初步第一節(jié)常微分方程的基本概念第二節(jié)一階微分方程第三節(jié)高階微分方程的幾個(gè)特殊類(lèi)型*第四節(jié)二階線(xiàn)性微分方程第一節(jié)常微分方程的基本概念

圖9-1

物體降落示意圖解思考題答案答案答案4.特徵參點(diǎn)答案課堂練習(xí)題答案答案第二節(jié)一階微分方程在本節(jié)中，著重討論幾個(gè)簡(jiǎn)單形式的一階微分方程的解法.一、可分離變數(shù)的微分方程解解解解解二、齊次微分方程解解三、解四、一階線(xiàn)性微分方程解解五、伯努利方程解思考題答案答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第三節(jié)高階微分方程的幾個(gè)特殊類(lèi)型一、解解二、解解三、解解解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題返回返回*第四節(jié)二階線(xiàn)性微分方程一、解的結(jié)構(gòu)二、常係數(shù)二階性微分方程的解法解解解解解解解解解解解解解思考題答案答案課堂練習(xí)題答案答案返回返回返回４.返回返回2.驗(yàn)證：返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回多元函數(shù)微分學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)空間解析幾何第二節(jié)向量的概念及向量的運(yùn)算第三節(jié)空間的平面、直線(xiàn)及常見(jiàn)二次曲面第四節(jié)多元函數(shù)的概念第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分第六節(jié)複合函數(shù)與隱函數(shù)微分法第七節(jié)多元函數(shù)的極值和條件極值第一節(jié)空間解析幾何圖6-1右手系示意一、空間直角坐標(biāo)系

建立了空間直角坐標(biāo)系後，就可以討論間的與三個(gè)有序數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)係.6-2

三個(gè)座標(biāo)面把空間分成了八部分，每部分叫做一個(gè)卦限（見(jiàn)圖6-3）.這八個(gè)卦限次序規(guī)定如下:圖6-2點(diǎn)P位置下麵將平面上兩點(diǎn)間的距離公式推廣到空間（證明從略）圖6-3八卦限示意圖解1.曲面方程的概念6-4二、曲面及其方程

一般地，把由三元一次方程表示的曲面叫做一次曲面，也和為平面；由三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面.下麵簡(jiǎn)單介紹平面和一些常見(jiàn)的二次曲面方程.圖6-4曲面示意2.平面方程由兩點(diǎn)距離公式知圖6-5例2示意圖解解解3.球面方程圖6-7球面示意圖圖6-6例4示意圖解4.柱面方程圖6-8柱面示意圖解稱(chēng)這樣的柱面為圓柱面（見(jiàn)圖6-9）圖6-9例5示意圖1.空間曲線(xiàn)及其方程三、空間曲線(xiàn)及方程解2.空間曲線(xiàn)在座標(biāo)面上的投影解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案*第二節(jié)向量的概念及向量的運(yùn)算

向量研究數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)及工程技術(shù)問(wèn)題的一個(gè)重要工具.本節(jié)主要介紹向量的概念和向量的基本運(yùn)算.一、向量的概念

通常遇到的量可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)是只有大小的量，如長(zhǎng)度、面積、溫度、時(shí)間及品質(zhì)等，它們叫作數(shù)量或標(biāo)量.另一類(lèi)量，不僅有大小，而且有方向，如力、位移、速度、加速度及電場(chǎng)強(qiáng)度等，它叫作向量或向量.二、向量的加法與減法1.向量的加法

由物理實(shí)驗(yàn)可知，作用於一點(diǎn)的兩個(gè)不平行力的合力可由可由平行四邊形法則來(lái)確定.完全類(lèi)似，可定義向量的加法.容易證明，向量的加法滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)律.2.向量的減法向量的減法是加法的逆運(yùn)算.三、數(shù)與向量的乘法

在實(shí)際應(yīng)用中，常遇到像速度加快了幾倍，力增大了幾倍等問(wèn)題.速度加快了幾倍，實(shí)際上是指速度的大小增大了幾倍，而速度的方向並沒(méi)有改變.在數(shù)學(xué)上，這就是數(shù)與向量相乘的問(wèn)題.四、向量的座標(biāo)表示法1.向量的座標(biāo)解解如圖6-15所示2.向量的模和方向余弦解五、向量的數(shù)量積1.向量的夾解與投影解2.數(shù)量積的概念不難驗(yàn)證，數(shù)量積滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)律：由數(shù)量積的定義還可得出解3.數(shù)量積的座標(biāo)表示式解證六、向量的向量積1.向量積的概念2.向量積的座標(biāo)表示式解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第三節(jié)空間的平面上、直線(xiàn)及常見(jiàn)二次曲面

在第一節(jié)中簡(jiǎn)單介紹了曲面和空間曲線(xiàn)方程的概念.本節(jié)將以向量為工具較系統(tǒng)地介紹平面和空間直線(xiàn)的知識(shí)，並對(duì)常見(jiàn)二次曲面加以介紹.1.平面的點(diǎn)法式方程

通過(guò)第一節(jié)的學(xué)習(xí)知道平面是曲面的一種特殊情形，並得到了平面的一般方程和截距式方程.下麵討論平面的點(diǎn)法式方程.6-236-23一、平面方程及兩平面間的夾角稱(chēng)上式為平面的點(diǎn)法式方程.6-24解6-24解這就是平面的一般方程.2.兩平面的夾角兩平面的法向量的夾角叫作這兩個(gè)平面的夾角.解1.空間直線(xiàn)的一般式方程

由第一節(jié)可知空間曲線(xiàn)可以看成是兩個(gè)曲面的交線(xiàn)，因此，空間直線(xiàn)可看成是兩個(gè)平面的交線(xiàn).二、空間直線(xiàn)的方程及其夾角2.空間直線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程解圖6-26例4示意圖解3.空間直線(xiàn)方程一般式與標(biāo)準(zhǔn)式的互換解4.空間兩條直線(xiàn)的夾角兩直線(xiàn)的方向向量之間的夾角叫作兩直線(xiàn)的夾角.在第一節(jié)仲介紹了球面和柱面，下麵再介紹幾種二次曲面.1.旋轉(zhuǎn)曲面

一條兩面曲線(xiàn)繞其平面上的一條定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)曲面.其中定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸.在這裏，只討論旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面.三、常用二次曲線(xiàn)及方程下麵，建立該曲面方程.解圖6-28圓錐面2.橢球面橢球面的圖形是什麼形狀呢？下麵用截痕法討論橢球面的具體形狀

因此，球面、旋轉(zhuǎn)橢球是橢球面的特例.3.雙曲面圖6-30單葉雙曲面4.拋物面圖6-32橢圓拋物面圖6-33雙曲拋物面思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第四節(jié)多元函數(shù)的概念

在第十四章中，討論了含有一個(gè)自變時(shí)的函數(shù)，即一元函數(shù)，但在實(shí)際問(wèn)題中，還會(huì)遇到含有兩個(gè)或兩個(gè)以上引數(shù)的函數(shù)，這就是本節(jié)所要討論的多元函數(shù).在這裏重點(diǎn)介紹二元函數(shù).一、二元函數(shù)的定義先看下麵的例子.圖6-34例2示意圖一般地，二元函數(shù)的定義如下.解

對(duì)於一元函數(shù)，一般假定在某個(gè)區(qū)間上有定義進(jìn)行討論.對(duì)於二元函數(shù)，類(lèi)似地假定它在某平面區(qū)域內(nèi)有定義進(jìn)行討論.

所謂區(qū)域（平面的）是指一條或幾條曲線(xiàn)圍成具有連通性的平面一部分（見(jiàn)圖6-35），所謂的連通性是指如果一塊部分平面內(nèi)任意兩點(diǎn)可用完全屬於此部分平面的折線(xiàn)連結(jié)起來(lái).圖6-35區(qū)域示意

若區(qū)域能延伸到無(wú)限遠(yuǎn)處，就稱(chēng)這區(qū)域是無(wú)界的，如圖6-35(c)所示，否則，它總可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)O為中心，而半徑適當(dāng)大的圓內(nèi)，這樣的區(qū)域稱(chēng)為有界的，如圖6-30(a)、(b)所示，圍成區(qū)域的曲線(xiàn)叫區(qū)域的邊界.閉區(qū)域：連同邊界在內(nèi)的區(qū)域的曲線(xiàn)叫區(qū)域的邊界.開(kāi)區(qū)域：不包括邊界內(nèi)的區(qū)域叫開(kāi)區(qū)域.

為方便使用，將開(kāi)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)稱(chēng)為內(nèi)點(diǎn)，將區(qū)域邊界上的點(diǎn)稱(chēng)為邊界點(diǎn).解二、二元函數(shù)的幾何意義圖6-38例6示意圖三、二元函數(shù)的極限和連續(xù)性1.二元函數(shù)的極限

函數(shù)的極限是研究當(dāng)引數(shù)變化時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)，但是二元函數(shù)的引數(shù)有兩個(gè)，所以引數(shù)的變化過(guò)程比一元函數(shù)要複雜得多.

二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的推廣，有關(guān)一元函數(shù)極限的運(yùn)算法則和定理,都可以推廣二元函數(shù)的極限，下麵舉例說(shuō)明.

解方法一

方法二

這說(shuō)明，二元函數(shù)的極限問(wèn)題有時(shí)可以先轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問(wèn)題，再求解.解2.二元函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的間斷點(diǎn).思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案答案第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及求法解解證解二、高階偏導(dǎo)數(shù)解三、全微分1.全微分的定義解解解2.全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第六節(jié)複合函數(shù)與隱函數(shù)微分法一、複合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.複合函數(shù)的中間變數(shù)均是二元函數(shù)的情形解2.複合函數(shù)的中間變數(shù)均為一元函數(shù)的情形解解3.複合函數(shù)的中間變數(shù)既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形解4.複合函數(shù)是抽象函數(shù)的情形解解二、全微分形式不變性解三、隱函數(shù)的求導(dǎo)法解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第七節(jié)多元函數(shù)的極值和條件極值一、多元函數(shù)極值1.極值的定義及求法解2.最大值和最小值解圖6-39例4示意圖二、條件極值解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回多元函數(shù)積分學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)二重積分的計(jì)算第三節(jié)二重積分的應(yīng)用第四節(jié)三重積分第五節(jié)曲線(xiàn)積分第六節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五用Mathematica求偏導(dǎo)和計(jì)算二重積分第七章多元函數(shù)積分學(xué)基礎(chǔ)

在本章中，將把一元函數(shù)定積分的概念及其性質(zhì)推廣到多元函數(shù)的情形，這就是二重積分、三重積分和曲線(xiàn)積分，積分的範(fàn)圍不再是定積分中x軸上的一個(gè)區(qū)間，而分別是一個(gè)平面區(qū)域、一個(gè)空間區(qū)域與一條曲線(xiàn).下麵首先學(xué)習(xí)有關(guān)二重積分知識(shí).二重積分是本章基礎(chǔ)部分，同是也是本章的重點(diǎn)內(nèi)容.第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)一、實(shí)例1.曲頂柱體的體積圖7-1曲頂柱體圖7-2曲頂柱體劃分2.非均勻薄片的品質(zhì)二、二重積分的定義三、二重積分的性質(zhì)解圖7-3例1示意圖解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第二節(jié)二重積分的計(jì)算

在實(shí)際應(yīng)用時(shí),用二重積分的定義和性質(zhì)去計(jì)算二重積分是十分複雜和困難的.本節(jié)將介紹一種實(shí)用的計(jì)算方法,此種方法主要是把二重積分的計(jì)算化成連續(xù)計(jì)算的兩次定積分,即二次積分.一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖7-4積分區(qū)域圖7-6積分區(qū)域圖7-7積分區(qū)域分割解圖7-8例1示意圖解圖7-9例2示意解方法一解圖7-11例4示意圖a方法二圖7-2例4示意圖b

二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖7-14極點(diǎn)在D之外圖7-15極點(diǎn)在邊界上圖7-16極點(diǎn)在D內(nèi)解解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第三節(jié)二重積分的應(yīng)用一、體積解圖7-27例1示意圖解圖7-18例2示意圖解圖7-19例3示意圖二、平面薄片的品質(zhì)解三、平面薄片的重心解圖7-20例5示意圖解圖7-21例6示意圖思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案*第四節(jié)三重積分*第五節(jié)曲線(xiàn)積分一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分1.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念和性質(zhì)圖7-30例1示意圖2.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法解解圖7-31例3示意圖解二、對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的概念和性質(zhì)1.對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的概念和性質(zhì)例5變力沿曲線(xiàn)所做的功圖7-32例5示意圖2.對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法(7-25)解圖7-33例6示意圖解圖7-34例7示意圖解圖7-35例8示意圖解解三、格林公式圖7-36複連通區(qū)域圖7-37格林公式示決圖合併以上兩式即得式（7-21）解解圖7-38例12示意圖四、平面上的曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件證證解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第六節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五

用Mathemtica求偏導(dǎo)和計(jì)算二重積分一、學(xué)習(xí)Mathematica命令Mathematica的求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)命令與前面學(xué)習(xí)的求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)命令一樣，調(diào)用格式為二、偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算解解三、計(jì)算二重積分解解返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第一節(jié)拉格朗日中值定理與函數(shù)單調(diào)性判定法第二節(jié)函數(shù)的極值及判定第三節(jié)函數(shù)的最大值和最小值第四節(jié)曲線(xiàn)的凸凹性與拐點(diǎn)第五節(jié)函數(shù)圖形的描繪第六節(jié)洛必達(dá)法則第七節(jié)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用第一節(jié)拉格朗日中值定理與函數(shù)單調(diào)性判定法一、拉格朗日值定理上式有幾種不同的寫(xiě)法.驗(yàn)證證二、函數(shù)單調(diào)性的判定性證解解解思考題1.羅爾定理的三個(gè)條件是充要條件嗎？能否去掉某個(gè)條件？答案2.拉格朗日定理的結(jié)論有哪些形式？(舉例至少寫(xiě)三種形式)答案3.請(qǐng)思考並寫(xiě)出羅爾定理與拉格朗日定理有何關(guān)係？答案課堂練習(xí)題答案答案第二節(jié)函數(shù)的極值及判定定義極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)的關(guān)係如何？由圖3-6可知：圖3-6極大值與極小值示意證解解解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第三節(jié)函數(shù)的最大值和最小值

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常要遇到在一定條件下，怎樣用料最省、效率最高或性能最好等問(wèn)題，這些問(wèn)題歸納到數(shù)學(xué)上，即為函數(shù)最大值或最小值問(wèn)題.解解解解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第四節(jié)曲線(xiàn)的凸凹性與拐點(diǎn)

解解拐點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)關(guān)係如何?解解思考題答案答案課堂練習(xí)題答案第五節(jié)函數(shù)圖形的描繪

借助一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào),可以確定函數(shù)的單調(diào)性與極值,借助二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以確定曲線(xiàn)的凸凹性與拐點(diǎn),知道了這些條件後,可以較準(zhǔn)確地做出函數(shù)的圖形.描繪圖形的一般步驟如下.解解思考題答案課堂練習(xí)題答案第六節(jié)洛必達(dá)法則解解解解解解解解解

洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種有效方法，但最好能與其他求極限的方法結(jié)合使用.例如能化簡(jiǎn)，可以應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小代替或重要極限時(shí)盡可能應(yīng)用，這樣可以使計(jì)算簡(jiǎn)捷.解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第七節(jié)導(dǎo)數(shù)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用一、邊際分析1.邊際的概念—邊際函數(shù)2.邊際成本

總成本：某產(chǎn)品的總成本是指生產(chǎn)一定產(chǎn)量所需全部經(jīng)濟(jì)資源投入費(fèi)用的總額，它由固定成本和可變成本組成.

平均成本：是指生產(chǎn)一定產(chǎn)量的產(chǎn)品時(shí)，平均每個(gè)單位產(chǎn)品的成本.

邊際成本：是總成本的變化率.（總成本與邊際成本的關(guān)係）解3.邊際收益總收益：是生產(chǎn)者出售一定量的產(chǎn)品而得到的全部收入.

平均收益：是生間者出售一定量的產(chǎn)品，平均每出售單位產(chǎn)品所得到的收入，即單位商品的售價(jià).邊際收益：是總收益的變化率.總收益、平均收益、邊際收益均為產(chǎn)量的函數(shù).解4.最大利潤(rùn)解二、彈性分析1.函數(shù)的相對(duì)變化率與彈性函數(shù)甲產(chǎn)品單位價(jià)格10元,提價(jià)1元;乙產(chǎn)品單位價(jià)格200元,提價(jià)1元;兩種產(chǎn)品絕對(duì)改變量都是1元,但各與其原價(jià)相比,兩者漲價(jià)的幅度差異很大,甲提價(jià)10%,乙提價(jià)0.5%,因此,非常有必要研究函數(shù)的相對(duì)改變量與相對(duì)變化率.解解2.彈性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用下麵介紹需求、供給對(duì)價(jià)格的彈性.解解下麵研究一下需求彈性與總收益.

如果某商品為了適應(yīng)市場(chǎng)需要機(jī)時(shí)降價(jià)時(shí)，會(huì)不會(huì)降低總收益呢？由常識(shí)可知，降價(jià)必會(huì)使單位商品收益減少，但降價(jià)又會(huì)促進(jìn)銷(xiāo)量增大，反而可能會(huì)使收益增加，於價(jià)格的調(diào)整是有科學(xué)性的.怎樣會(huì)受益呢？下麵將作深一步的研究.下麵進(jìn)一步說(shuō)明這三類(lèi)商品的經(jīng)濟(jì)意義解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案返回返回返回1.證明：返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)不定積分法第三節(jié)定積分的概念與性質(zhì)第四節(jié)牛頓-萊布尼茲公式第五節(jié)定積分的換元法與分部積分法第六節(jié)廣義積分第七節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)四用Mathematica計(jì)算積分第四章一元函數(shù)積分學(xué)

微分和積分是高等數(shù)學(xué)中的兩大基本運(yùn)算.微分的基本問(wèn)題是:已知一個(gè)函數(shù),求它的導(dǎo)數(shù).但是,在許多實(shí)際問(wèn)題中往往會(huì)遇到反問(wèn)題:已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求原來(lái)的函數(shù).由此產(chǎn)生了積分學(xué).積分學(xué)包括不定積分和定積分兩大部分.第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)證二、不定積分證由導(dǎo)數(shù)與不定積分定義，很容易得到如下規(guī)律：（微分運(yùn)算與不定積分的運(yùn)算是互逆的?。┤?、不定積分的幾何意義由於不定積分是微分的逆運(yùn)算，所以根據(jù)微分基本公式就得對(duì)應(yīng)的積公式：四、基本的積分公式

以上13個(gè)公式是積分法的基礎(chǔ)，必須熟記，不僅要記住等式右端的結(jié)果，還要熟悉左端被積函數(shù)的形式！

由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和不定積分的定義，可以得到以下不定積分的運(yùn)算法則.法則1對(duì)於有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和也是成立的!五、積分的基本運(yùn)算法則解解解解解解解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第二節(jié)不定積分

利用直接積分法能計(jì)算的不定積分是非常有限的，因此有必要探索計(jì)算不定積分的新方法.本節(jié)介紹換元積分法與分部積法、換元積分法可分為第一類(lèi)換元法和第二類(lèi)換元法.

第一類(lèi)換元積分法（又稱(chēng)湊微分法）是與微分分學(xué)中的複合函數(shù)微分法則相應(yīng)的積分法.一、第一類(lèi)換元積分法注：換元過(guò)程可以省略.一般地，若不定積分被積運(yùn)算式能寫(xiě)成下麵舉例說(shuō)明解解解解

以上幾例都是直接用湊微分求積分的，下在介紹幾個(gè)常用的湊微分的等式供參考解解解解解解法二解法一二、第二類(lèi)換元積分法解解解圖4-3輔助直角三角形解圖4-4輔助直角三角形解圖4-5輔助直角三角形圖4-3輔助直角三角形圖4-4輔助直角三角形圖4-5輔助直角三角形

第二類(lèi)換元法常用於被積函數(shù)中含有根式的情況，常用的變數(shù)替換可總結(jié)如下.

在做三角替換時(shí)，可以利用直角三角形的邊角關(guān)係確定有關(guān)三角函數(shù)的關(guān)係，按圖做代換及還原.

本節(jié)一些例題的結(jié)果，可當(dāng)作公式使用，為便於讀者使用，將這些常用的積分公式列舉如下.

兩類(lèi)換元法就介紹這裏，歸納起來(lái)看，它們的實(shí)質(zhì)就是變數(shù)代換，變數(shù)代換是求不定積分的最基本的方法之一。因此，善於恰當(dāng)?shù)乩米償?shù)代換是掌握積技巧的關(guān)鍵.想要做到恰當(dāng),第一要熟悉基本積分公式,因?yàn)樽償?shù)代換最終要化為積分公式中已有的形式;第二要熟悉微分表,因?yàn)樽償?shù)代換(或湊微分)時(shí)經(jīng)常用到它,同時(shí)要熟具體函數(shù)及其微分特徵,這樣才較好地掌握換元積分法.三、分部積分法解解解在此例中,兩次用了分部積分法.解解解解法二解法一解法三

由例22可以看出,求不定積分,常有多種方法,比較靈活,各種解法都有其特點(diǎn),學(xué)習(xí)中要注意不斷積累經(jīng)驗(yàn).思考題答案答案課堂練習(xí)題答案答案答案第三節(jié)定積分的概念與性質(zhì)1.曲邊梯形的面積

在初等數(shù)學(xué)中，已經(jīng)解決了圓、三角形、矩形及多邊形等圖形的面積問(wèn)題，而對(duì)由任意曲線(xiàn)所圍成的一般平面圖形的面積計(jì)算問(wèn)題還未解決，其原因是用初等數(shù)學(xué)方法是非常困難的.這裏介紹計(jì)算曲邊梯形的面積的方法，有了這種方法就可以解決一般封閉圖形的面積問(wèn)題.一、兩個(gè)實(shí)例圖4-7求曲邊梯形面積(見(jiàn)圖4—7)2.變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程

以上的兩個(gè)實(shí)例具有不同的實(shí)際意義,但計(jì)算這些量時(shí)使用的方法是相同的.拋開(kāi)這些問(wèn)題的具體意義,由運(yùn)算式在數(shù)量關(guān)係上的共同特性,抽象出定積分的概念.二、定積分的定義關(guān)於定積分的定義做以下三點(diǎn)說(shuō)明.三、定積分的幾何意義例1用定積分表示圖4-9中四個(gè)圖形陰影部分的面積解4-9(a)4-9(b)4-9(c)4-9(c)(a)(b)(c)(d)解圖4-10例2圖形

由定積分的定義，可以直接推證定積分具有下述性質(zhì)，其中所涉及的函數(shù)在討論的區(qū)間都是可積的.性質(zhì)1被積運(yùn)算式中的常數(shù)因數(shù)可以提到積分號(hào)前，即性質(zhì)2兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分等於各函數(shù)積分的代數(shù)和，即（這一結(jié)論可以推廣到任意有限個(gè)多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情況?。┧?、定積分的性質(zhì)性質(zhì)3對(duì)任意點(diǎn)c，有性質(zhì)4性質(zhì)5性質(zhì)6性質(zhì)7證圖4-11積分中值定理解例4比較下列各對(duì)積分值的大小解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第四節(jié)牛頓-萊布尼茲公式

定積分作為一種特定和式的極限，如果按定義計(jì)算定積分是很複雜、很困難的，所以本節(jié)將通過(guò)對(duì)定積分與原函數(shù)的討論，尋找一種計(jì)算定積分簡(jiǎn)便而效的方法.一、積分上限函數(shù)圖4-12積分上限函數(shù)幾何意義證

這個(gè)定理一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，另一方面提供了在定積分與原函數(shù)之間建立聯(lián)繫的可能性！解解證二、牛頓—萊布尼茲公式解解解解解解解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案答案第五節(jié)定積分的換元法與分部積分法

前面學(xué)習(xí)了使用換元積分法求已知函數(shù)的原函數(shù)，在某些條件下?lián)Q元積分法也可以用計(jì)算定積分.式（4-9）稱(chēng)為定積分的換元公式一、定積分的換元法在應(yīng)用定積分的換元公式（4-9）時(shí)，應(yīng)注意解

這一解法沒(méi)有引入新的積分變數(shù).計(jì)算時(shí)，原積分的上、下限不要改變.解解先把被積函數(shù)化簡(jiǎn)證

在計(jì)算對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的定積分時(shí)，如果能判定被積函數(shù)的奇偶性，利用這一結(jié)果可使計(jì)算簡(jiǎn)化.解解解圖4-14例7幾何意義

式（4-10）稱(chēng)為定積分的分部積分法，其方法與不定積分相類(lèi)似，但其結(jié)果不相同.(定積分是一個(gè)數(shù)值，面不定積分是一類(lèi)函數(shù)！)二、定積分的分部積分法解解解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第六節(jié)、廣義積分

前面曾提到，若被積函數(shù)在積分區(qū)間上有無(wú)窮不連續(xù)點(diǎn)時(shí)，不能應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算.這是因?yàn)榕ｎD-萊布尼茲公式的使用受到以下兩個(gè)條件的限制.

為了使定積分的應(yīng)用更加廣泛，將上述兩個(gè)條件放寬，使得公式對(duì)積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間，或被積函數(shù)在有限的積分區(qū)間上為無(wú)界函數(shù)的積分也能使用.這兩種積分稱(chēng)為廣義積分，相應(yīng)地，前面討論的積分稱(chēng)為常義積.本書(shū)僅討論積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間的廣義積分.

一般地，對(duì)於積分區(qū)間無(wú)限的情形，給出下麵的定義.

計(jì)算廣義積分時(shí)，為了書(shū)寫(xiě)方便，實(shí)際計(jì)算中常常略去極限符號(hào)，形式上直接利用牛頓-萊布尼茲公式的計(jì)算式（注意