第21章-一元二次方程(單元測試)(解析版)

專題05第二十一章一元二次方程測試卷一、單選題1．在下列各式中①；②；③；④，是一元二次方程的共有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【解析】由一元二次方程的定義可知①為一元二次方程，符合題意②不是方程，不符合題意③是分式方程，不符合題意④當(dāng)a=0時(shí)，不是一元二次方程，不符合題意故選B.2．用配方法解方程，變形后的結(jié)果正確的是()A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，所以，故選D.3．下列方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是()A． B．C． D．【答案】B【解析】A.△=(-8)2-4×1×17=-4<0，故方程沒有實(shí)數(shù)根，該選項(xiàng)不符合題意，B.△=(-6)2-4×1×(-10)=76>0，故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，該選項(xiàng)符合題意，C.△=()2-4×1×9=-4<0，故方程沒有實(shí)數(shù)根，該選項(xiàng)不符合題意，D.△=(-4)2-4×1×4=0，故方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，該選項(xiàng)不符合題意，故選B.4．已知關(guān)于方程有一個(gè)根為1，則方程的另一個(gè)根為（）A．2 B． C．4 D．【答案】A【解析】解：設(shè)一元二次方程的另一根為x1，則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：1＋x1＝3，解得：x1＝2．故選：A．5．方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)根是（）A．1﹣ B． C．﹣1+ D．6．用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0時(shí)，首先要確定a、bA．a(chǎn)=3，b=2，c=3B．a(chǎn)=-3，b=2，c=3C．a(chǎn)=3，b=2，c=-3D．a(chǎn)=3，b=-2，c=3【答案】D【解析】3x2-2x+3=0，a=3，b=-2，c=3．故選D．7．一元二次方程2x(x－1)＝3(x－1)的解是（）A．x＝ B．x＝1 C．x1＝或x2＝1 D．x1＝且x2＝1【答案】D【解析】解：移項(xiàng)，得2x(x－1)－3(x－1)＝0，于是(x－1)(2x－3)=0，∴x－1=0或2x－3=0，∴，.故選D.8．已知關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩個(gè)根為x1=3，x2=﹣4，則二次三項(xiàng)式x2﹣px+q可分解為（）A．（x+3）（x﹣4） B．（x﹣3）（x+4） C．（x+3）（x+4） D．（x﹣3）（x﹣4）【答案】A【解析】∵方程x2+px+q=0的兩個(gè)根為x1=3，x2=﹣4，∴二次三項(xiàng)式x2+px+q=（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12，∴p=1，q=﹣12，則x2﹣x﹣12=（x+3）（x﹣4）．故選A9．已知x2﹣5xy﹣6y2=0（y≠0且x≠0），則的值為（）A．6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．﹣1或6【答案】D【解析】x2﹣5xy﹣6y2=0（x﹣6y）（x+y）=0x﹣6y=0，x+y=0x=6y，x=﹣y所以的值為6或﹣1．故選：D．10．已知直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程x2－5x＋6＝0的兩個(gè)根,則此直角三角形斜邊長是（）A． B． C．13 D．5【答案】A【解析】解：x2-5x+6=0，因式分解得（x-3）（x-2）=0，解得x1=3，x2=2，∵3，2為直角邊長，∴斜邊長為；故選：A．11．關(guān)于的一元二次方程（，是常數(shù)，且），（）A．若，則方程可能有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．若，則方程可能沒有實(shí)數(shù)根C．若，則方程可能有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．若，則方程沒有實(shí)數(shù)根【答案】C【解析】∵，∴，∴?=b2+8a，A.∵a>0，∴b2+8a>0，∴方程一定有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故A、B錯(cuò)誤；C.當(dāng)a<0，但b2+8a≥0時(shí)，方程有實(shí)根，故C正確，D錯(cuò)誤.故選C.12．某學(xué)生解方程的步驟如下：解：①②③④→⑤.上述解題過程中，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是()A．第②步 B．第③步 C．第④步 D．第⑤步【答案】B【解析】第③步，應(yīng)在方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．13．某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場采取了降價(jià)措施，假設(shè)在一定范圍內(nèi)，村衫的單價(jià)每降1元，商場平均每天可多售出2件，如果降價(jià)后商場銷售這批襯杉每天盈利1250元，襯杉的單價(jià)降了x元，那么下面所列的方程正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元．根據(jù)題意，得（20+2x）（40-x）=1250，故選：D.14．已知m是方程好x2－2x－1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2m2－4m＋2019的值為()A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【答案】B【解析】∵m是方程x2?2x?1=0的一個(gè)根，∴m2?2m?1=0，∴m2?2m=1，∴2m2?4m+2017=2(m2?2m)+2017=2×1+2019=2021.故選B15．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“*”，使，則方程的根為()A．B．C．D．【答案】D【解析】解：依題意，可將所求方程轉(zhuǎn)化為：（x+2+1）2-5（x+2）=0，

化簡得：x2+x-1=0

解得x1=，x2=．

故選：D．16．關(guān)于的一元二次方程，給出下列說法：①若，則方程必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②若，則方程必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④若，則方程一定沒有實(shí)數(shù)根．其中說法正確的序號是()A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④【答案】A【解析】解：①當(dāng)a+c=0，即c=-a，則△=b2-4ac=b2+4a2＞0，方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以①正確；

②當(dāng)a+b+c=0，即c=-（a+b），則△=b2-4ac=b2+4a（a+b）=（2a+b）2≥0，方程必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以②正確；

③當(dāng)b=2a+3c，則△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以③正確；

④當(dāng)b2-5ac＜0，△=b2-4ac=b2-5ac+ac可能大于0，所以不能判斷方程根的情況，所以④錯(cuò)誤．

故選：A．二、填空題17．有一個(gè)一元二次方程，它的一個(gè)根x1＝1，另一個(gè)根－2＜x2＜0．請你寫出一個(gè)符合這樣條件的方程：_________．【答案】（答案不唯一）.【解析】解：∵方程的另一個(gè)根－2＜x2＜0，∴可設(shè)另一個(gè)根為x2=－1，∵一個(gè)根x1＝1，∴兩根之和為0，兩根之積為－1，設(shè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，此時(shí)方程應(yīng)為.18．若把代數(shù)式化為的形式，其中、為常數(shù)，則______．【答案】-7【解析】x?4x?5=x?4x+4?4?5=(x?2)?9，所以m=2，k=?9，所以m+k=2?9=?7.故答案為：-719．“綠水青山就是金山銀山”．為了山更綠、水更清，某縣大力實(shí)施生態(tài)修復(fù)工程，發(fā)展林業(yè)產(chǎn)業(yè)，確保到2021年實(shí)現(xiàn)全縣森林覆蓋率達(dá)到72.75%的目標(biāo)．已知該縣2019年全縣森林覆蓋率為69.05%，設(shè)從2019年起該縣森林覆蓋率年平均增長率為x，則可列方程___．【答案】69.05%（1+x）2＝72.75%【解析】∵設(shè)從2019年起每年的森林覆蓋率年平均增長率為x，∴根據(jù)題意得：2020年覆蓋率為：69.05%(1+x)，2021年為：69.05%(1+x)2=72.75%，故答案為：69.05%(1+x)2=72.75%20．《田畝比類乘除捷法》是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個(gè)數(shù)學(xué)問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何”．意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多多少步？根據(jù)題意得，長比寬多______步．【答案】12【解析】設(shè)長為x步，寬為(60-x)步，x(60-x)=864，解得，x1=36，x2=24(舍去)，∴當(dāng)x=36時(shí)，60-x=24，∴長比寬多：36-24=12(步)，故答案為：12．三、解答題21．選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）（2）（3）【答案】（1）x=?4,x=1；（2）x=x=1；（3）x=?,x=4；【解析】(1)(x+4)=5(x+4)；(x+4)?5(x+4)=0，(x+4)(x+4?5)=0，∴x+4=0，x?1=0，∴x=?4,x=1；(2)(x+1)=4x，整理得,x?2x+1=0，(x?1)=0，∴x=x=1；(3)(x+3)=(1?2x)，x+3=±(1?2x)，∴x+3=1?2x，x+3=?1+2x，∴x=?,x=4；22．已知m，n是實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“*”為：m*n＝mn+n．（1）分別求4*（﹣2）與4*的值；（2）若關(guān)于x的方程x*（a*x）＝﹣有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】（1）；（2）a＝0．【解析】（1）4*（﹣2）＝4×（﹣2）+（﹣2）＝﹣8﹣2＝﹣10；4*＝4×+＝5；（2）a*x＝ax+x，由x*（ax+x）＝﹣得x（ax+x）+ax+x＝﹣，整理得（a+1）x2+（a+1）x+＝0，因?yàn)殛P(guān)于x的方程（a+1）x2+（a+1）x+＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以a+1≠0且△＝（a+1）2﹣4（a+1）×＝0，所以a＝0．23．某農(nóng)場要建一個(gè)飼養(yǎng)場（矩形ABCD）兩面靠現(xiàn)有墻（AD位置的墻最大可用長度為27米，AB位置的墻最大可用長度為15米），另兩邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個(gè)場地及一處通道，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄）。建成后木欄總長45米。設(shè)飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的一邊AB長為x米.（1）飼養(yǎng)場另一邊BC=米（用含x的代數(shù)式表示）.（2）若飼養(yǎng)場的面積為180平方米，求x的值.【答案】（1）（48-3x）；（2）10.【解析】解：（1）設(shè)飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的一邊（AB）長為x米，得出EH、FG所用圍欄長均為（x-1）米，CD=x米，BC=45-（x+x-1+x-1）+1=48-3x（米），24．已知關(guān)于x的方程（m為常數(shù)）（1）求證：不論m為何值，該方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若該方程有一個(gè)根是，求m的值?！敬鸢浮浚?）見解析；（2）【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，原方程化為，解得，此時(shí)該方程有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，此時(shí)該方程有實(shí)數(shù)根；綜上所述，不論m為何值，該方程總有實(shí)數(shù)根.（2）解法1：把代入原方程，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，的值為.解法2：,該方程是一元二次方程.設(shè)該方程的另一個(gè)根為.，解得.把代入原方程，得，解得.25．某商店2月購進(jìn)了甲乙兩種貨物共300千克，已知甲進(jìn)價(jià)每千克20元，售價(jià)每千克40元，乙進(jìn)價(jià)每千克5元，售價(jià)每千克10元．（1）若這批貨物全部銷售完獲利不低于4500元，則甲至少購進(jìn)多少千克？（2）第一批貨物很快售完，于是商家決定購進(jìn)第二批甲和乙兩種貨物，甲和乙的進(jìn)價(jià)不變，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)甲售價(jià)每上漲2元，銷量比（1）中獲得最低利潤時(shí)的銷量下降5千克：乙每千克售價(jià)比第一批上漲1.2元，銷量與（1）中獲得最低利潤的銷量保持不變，結(jié)果第二批中已經(jīng)賣掉的甲和乙的銷售總額比（1）中第一批甲和乙售完后對應(yīng)的最低銷售總額增加了480元，求第二批貨物中甲的售價(jià)．【答案】（1）甲至少購進(jìn)200千克；（2）第二批貨物中甲的售價(jià)為44或76．【解析】（1）設(shè)購進(jìn)甲x千克，則購進(jìn)乙（300﹣x）千克，根據(jù)題意得：（40﹣20）x+（10﹣5）（300﹣x）≥4500，解得：x≥200．答：甲至少購進(jìn)200千克；（2）設(shè)第二批貨物中甲的售價(jià)為a，根據(jù)題意得：a×[200﹣5（a﹣40）÷2]+（10+1.2）（300﹣200）＝40×200+10×（300﹣200）+480，整理得：a2﹣120a+3344＝0，解得：a1＝44，a2＝76，答：第二批貨物中甲的售價(jià)為44或76．26．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（6，4），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AC運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段BO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q到達(dá)O點(diǎn)時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t秒（t＞0）．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)間t＝秒時(shí)，四邊形APQO是矩形；（2）如圖2，在P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)PQ＝5時(shí)，時(shí)間t等于秒；（3）如圖3，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)到圖中位置時(shí)，將矩形沿PQ折疊，點(diǎn)A，O的對應(yīng)點(diǎn)分別是D，E，連接OP，OE，此時(shí)∠POE＝45°，連接PE，求直線OE的函數(shù)表達(dá)式．【答案】（1）t＝2；（2）1或3；（3）y＝x．【解析】∵矩形AOBC中，C（6，4）∴OB＝AC＝6，BC＝OA＝4依題意得：AP＝t，BQ＝2t（0＜t≤3）∴PC＝AC﹣AP＝6﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝6﹣2t（1）∵四邊形APQO是矩形∴AP＝OQ∴t＝6﹣2t解得：t＝2故答案為：2．（2）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H∴四邊形APHO是矩形∴PH＝OA＝4，OH＝AP＝t，∠PHQ＝90°∵PQ＝5∴HQ＝①如圖1，若點(diǎn)H在點(diǎn)Q左側(cè)，則HQ＝OQ﹣OH＝6﹣3t∴6﹣3t＝3解得：t＝1②如圖2，若點(diǎn)H在點(diǎn)Q右側(cè)，則HQ＝OH﹣OQ＝3t﹣6∴3t﹣6＝3解得：t＝3故答案為：1或3．（3）過點(diǎn)E作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M∴四邊形AMNO是矩形∴MN＝OA＝4，ON＝AM∵矩形沿PQ折疊，點(diǎn)A，O的對應(yīng)點(diǎn)分別是D，E∴PQ垂直平分OE∴EQ＝