第3講-利用勾股定理解決折疊問題(解析版)

2020-2021學(xué)年人教版八年級(jí)下冊(cè)第17章《勾股定理》同步練習(xí)【第3講：利用勾股定理解決折疊問題】一、選擇題：1．如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)C′上．若AB＝6，BC＝9，則BF的長(zhǎng)為（）A．4 B．3 C．4.5 D．5【答案】A【分析】先求出BC′，再由圖形折疊特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，運(yùn)用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．【詳解】解：∵點(diǎn)C′是AB邊的中點(diǎn)，AB＝6，∴BC′＝3，由圖形折疊特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，∴BF2+9＝（9﹣BF）2，解得，BF＝4，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題及勾股定理的應(yīng)用，綜合能力要求較高．同時(shí)也考查了列方程求解的能力．解題的關(guān)鍵是找出線段的關(guān)系．2．已知，如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為()A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2【答案】A【分析】首先根據(jù)翻折的性質(zhì)得到ED＝BE，用AE表示出ED，BE的長(zhǎng)度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)度，就可以利用面積公式求得△ABE的面積了．【詳解】解：∵將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，∴BE=ED．∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．∴BE=9﹣AE，根據(jù)勾股定理可知：AB2+AE2=BE2．∴32+AE2=(9﹣AE)2．解得：AE=4cm．∴△ABE的面積為：×3×4=6(cm2)．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的翻折變換和學(xué)生的空間想象能力，解題過程中應(yīng)注意折疊后哪些線段是重合的，相等的，如果想象不出哪些線段相等，可以動(dòng)手折疊一下即可．3．如圖，ΔABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分別在AC，BC上，且DE//AB.將ΔABC沿DE折疊，使C點(diǎn)落在斜邊AB上的F點(diǎn)處，則AF的長(zhǎng)是（）A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4【答案】A【解析】【分析】連接CF，根據(jù)勾股定理求得AB長(zhǎng)，由三角形ABC的面積可得CF長(zhǎng)，勾股定理可得AF長(zhǎng).【詳解】解：如圖，連接CF，根據(jù)題意，得CF⊥DE.因?yàn)镈E//AB，所以CF⊥AB.因?yàn)椤螩=90°，AC=6，BC=8，所以AB=10，所以SΔABC=12AC?BC=12AB?CF故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，同時(shí)涉及了折疊的性質(zhì)及三角形的面積，在應(yīng)用勾股定理求線段長(zhǎng)時(shí)，可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形求解.4．如圖，有一張直角三角形紙片，兩條直角邊，，將折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)重合，折痕為，則的長(zhǎng)為（）A．1.8 B．2.5 C．3 D．3.75【答案】D【解析】【分析】設(shè)CD=x，則BD=AD=10-x．在Rt△ACD中運(yùn)用勾股定理列方程，就可以求出CD的長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)CD=x，則BD=AD=10-x．∵在Rt△ACD中，（10-x）2=x2+52，100+x2-20x=x2+25，∴20x=75，解得：x=3.75，∴CD=3.75.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題和勾股定理的綜合運(yùn)用．解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)，用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．5．如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．10cm【答案】B【解析】∵直角邊AC＝6cm、BC＝8cm∴根據(jù)勾股定理可知：BA=√62+82=10∵A,B關(guān)于DE對(duì)稱，∴BE=10÷2=56．如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕現(xiàn)交于點(diǎn)F，已知EF=，則BC的長(zhǎng)是（）A． B．3 C．3 D．3【答案】B【解析】【分析】折疊的性質(zhì)主要有：1.重疊部分全等；2.折痕是對(duì)稱軸,對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分.由折疊的性質(zhì)可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性質(zhì)可知,所以,的長(zhǎng)可求，再利用勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)．【詳解】解：AB＝AC，,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，求出∠AFB=90°是解題的關(guān)鍵．7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處；再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)B′處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F，則線段B′F的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)折疊可得CD=AC=3，BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B/CF，CE⊥AB，然后求得△BCF是等腰直角三角形，進(jìn)而求得∠B/GD=90°，CE-EF=，ED=AE=，從而求得B/D=1，DF=，在Rt△B/DF中，由勾股定理即可求得B/F的長(zhǎng)．【詳解】解：根據(jù)首先根據(jù)折疊可得CD=AC=3，B/C=B4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B/CF，CE⊥AB，∴BD=4-3=1，∠DCE+∠B/CF=∠ACE+∠BCF，∴∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF=CE，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B/FC=135°，∴∠B/FD=90°，∵S△ABC=AC×BC=AB×CE，∴AC×BC=AB×CE，∵根據(jù)勾股定理求得AB=5，∴CE=，∴EF=，ED=AE==∴DE=EF-ED=，∴B/F==故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得相等的角是解本題的關(guān)鍵．8．如圖，在三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，在AC上取一E，以BE為折痕，使AB的一部分與BC重合，A與BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D重合，則CE的長(zhǎng)度為（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】試題分析：由Rt△ABC中，BC=3,AB=5,利用勾股定理，可求得AC的長(zhǎng)，由折疊的性質(zhì)，可得CD的長(zhǎng)，然后設(shè)DE=x，由勾股定理，即可列方程求得結(jié)果．∵Rt△ABC中，BC=3,AB=5,∴由折疊的性質(zhì)可得：AB=BD=5，AE=DE，∴CD=BD-BC=2，設(shè)DE=x，則AE=x，∴CE=AC-AE=4-x，∵在Rt△CDE中，DE2=CD2+BCE2，∴x2=22+（4-x）2，解得：，∴．故選B．考點(diǎn)：此題主要考查了圖形的翻折變換，勾股定理點(diǎn)評(píng)：解題過程中應(yīng)注意折疊后哪些線段是重合的，相等的，如果想象不出哪些線段相等，可以動(dòng)手折疊一下即可．二、填空題9．如圖，在中，，，，點(diǎn)在上，將沿折疊，使點(diǎn)落在斜邊上的點(diǎn)處，則的長(zhǎng)為____．【答案】【分析】先利用勾股定理求出BC,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，,設(shè)，最后利用勾股定理列出方程即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解:由勾股定理，得．由折疊可知，，．設(shè)，則，，．在中，，解得，即的長(zhǎng)為故答案為:．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理和折疊問題,掌握利用勾股定理解直角三角形和折疊的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，，，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，得折痕，則的周長(zhǎng)等于____cm．【答案】7【分析】根據(jù)勾股定理，可得BC的長(zhǎng)，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得AE與CE的關(guān)系，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式，可得答案．【詳解】在中，，，，由勾股定理，得，由翻折的性質(zhì)，得，的周長(zhǎng)為7（cm）．【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)、勾股定理，利用翻折的性質(zhì)得出CE與AE的關(guān)系是解題關(guān)鍵．11．如圖，將矩形紙片的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成一個(gè)無縫隙無重疊的四邊形，若，，則邊的長(zhǎng)是_______．【答案】5【解析】【分析】先求出△EFH是直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出FH=5，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】設(shè)斜線上兩個(gè)點(diǎn)分別為P、Q，則P點(diǎn)是A點(diǎn)對(duì)折過去的，∴∠EPH為直角,△AEH≌△PEH，∴∠HEA=∠PEH，同理∠PEF=∠BEF，這四個(gè)角互補(bǔ)，∴∠PEH+∠PEF=90°，∴四邊形EFGH是矩形，∴△DHG≌△BFE，△HEF是直角三角形，∴BF=DH=PF，∵AH=HP，∴AD=HF，∵EH=3cm，EF=4cm，∴FH=5cm，∴FH=AD=5cm，故答案為：5.【點(diǎn)睛】此題考查翻折變換（折疊問題），勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于求出FH=5.12．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF，則ΔABE的面積為________cm2【答案】6【解析】【分析】由折疊的性質(zhì)可知AE與BE間的關(guān)系，根據(jù)勾股定理求出AE長(zhǎng)可得面積.【詳解】解：由題意可知BE=ED.因?yàn)锳D=AE+DE=AE+BE=9cm，所以BE=9-AEcm.在RtΔABE中，根據(jù)勾股定理可知，AB2+AE2=BE2，所以32+A故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，由折疊性質(zhì)得出直角邊與斜邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.13．如圖已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在邊CD上取一點(diǎn)E，將△ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，則CE的長(zhǎng)為___________.【答案】3cm【解析】【分析】要求CE的長(zhǎng)，應(yīng)先設(shè)CE的長(zhǎng)為x，由將△ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F可得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以AF=10cm，EF=DE=8-x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的長(zhǎng)可求出BF的長(zhǎng)，又CF=BC-BF=10-BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即：（8-x）2=x2+（10-BF）2，將求出的BF的值代入該方程求出x的值，即求出了CE的長(zhǎng)．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，

根據(jù)題意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，

∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，

設(shè)CE=xcm,則DE=EF=CD?CE=(8?x)cm，

在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，

即82+BF2=102，

∴BF=6cm，

∴CF=BC?BF=10?6=4(cm)，

在Rt△ECF中,由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，

即(8?x)2=x2+42，

∴64?16x+x2=x2+16，

∴x=3(cm)，

即CE=3cm.

故答案為：3cm.【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換（折疊問題），解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理.14．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)直角邊沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長(zhǎng)為________．【答案】3cm【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng),設(shè)CD＝xcm,則cm,再由圖形翻折變換的性質(zhì)可知AE＝AC＝6cm,DE＝CD＝xcm,進(jìn)而可得出BE的長(zhǎng),在中利用勾股定理即可求出x的值,進(jìn)而得出CD的長(zhǎng).【詳解】是直角三角形,AC＝6cm,BC＝8cm,

cm,

是翻折而成,

,

設(shè)DE＝CD＝xcm,,

,

在中,,

即,

解得x＝3.

故CD的長(zhǎng)為3cm.【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換及勾股定理,解答此類題目時(shí)常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x,然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其它線段的長(zhǎng)度,選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)C′處，則折痕BD的長(zhǎng)為__________．【答案】【詳解】由折疊得BC′=BC=6；DC′=DC，∠BC′D=∠C＝90°∵∠C=90°，AC=8，BC=6∴AB=10∴AC′=AB－BC′=10－6=4設(shè)DC=x則DC′=DC=x，則AD=AC－DC=8－x在Rt△AC′D中，（C′D）2＋（AC′）2=（AD）2∴x2＋42=（8－x）2∴x=3∴DC=3∴BD=，故答案為.16．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，將△ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)B′重合，AE為折痕，則EB′＝_______．【答案】1.5【解析】在Rt△ABC中，，∵將△ABC折疊得△AB′E，∴AB′＝AB，B′E＝BE，∴B′C＝5－3＝2．設(shè)B′E＝BE＝x，則CE＝4－x．在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2，∴（4－x）2＝x2＋22．解之得．17．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是_________．【答案】．【解析】【分析】延長(zhǎng)FP交AB于M，當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最?。\(yùn)用勾股定理求解.【詳解】解:如圖，延長(zhǎng)FP交AB于M，當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最?。逜C=6，CF=2，∴AF=AC-CF=4，∵∠A=60°，∠AMF=90°，∴∠AFM=30°，∴AM=AF=2，∴FM==2，∵FP=FC=2，∴PM=MF-PF=2-2，∴點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是2-2．故答案為:2-2．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直角三角形兩銳角互余、勾股定理等，解題的關(guān)鍵是確定出點(diǎn)P的位置.18．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折疊，使點(diǎn)B落在斜邊AC上，若AB=3，BC=4，BD=．【答案】【解析】如圖，點(diǎn)E是沿AD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接ED，∴∠AED=∠B=90°，AE=AB=3，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，∴．∴EC=AC﹣AE=5﹣3=2．設(shè)BD=ED=x，則CD=BC﹣BD=4﹣x，在Rt△CDE中，CD2=EC2+ED2，即：（4﹣x）2=x2+4，解得：x=．∴BD=三、解答題19．如圖，一張長(zhǎng)8cm，寬6cm的矩形紙片，將它沿某直線折疊使得A、C重合，求折痕EF的長(zhǎng)．【答案】EF的長(zhǎng)為【分析】聯(lián)結(jié)CF，根據(jù)翻折的圖形全等得到AF=CF，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；【詳解】聯(lián)結(jié)CF，∵翻折的圖形全等，∴AF=CF，設(shè)AF=x，則DF=8-x，，，∵OC=5，∴OF=，可證OE=OF，∴EF=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的折疊問題，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在中，，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，，分別在，上，且，連接．判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】．證明見解析.【分析】將沿著翻折得到，連接,由翻折可知，從而得出：，，，再利用SAS證出，從而得出，，最后利用勾股定理和等量代換即可證出結(jié)論．【詳解】．證明如下：如圖，將沿著翻折得到，連接．由翻折可知，∴，，，∴，，三點(diǎn)共線．∵為邊中點(diǎn)，∴．在△BDE和△CDG中∴，∴，．又∵，∴，∴，即．在中，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理和折疊問題，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)、利用勾股定理解直角三角形和折疊的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．21．如圖所示，已知在中，，折疊使，兩點(diǎn)重合，折痕交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:，,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得,從而得出AE=DE,最后利用勾股定理即可求出AE．【詳解】解:由折疊的性質(zhì)可知:，．又∵，∴．∵，∴△ADE為等腰直角三角形,AE=DE由勾股定理，得，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理和折疊問題,掌握利用勾股定理解直角三角形和折疊的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．22．如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=DC=8，AD=BC=10．求EC的長(zhǎng)．【答案】3.【解析】【分析】設(shè)EC的長(zhǎng)為x，則DE=8-x，再利用勾股定理求出BF的值，得出FC=BC-BF=10-6=4，再根據(jù)勾股定理即可解答.【詳解】設(shè)EC的長(zhǎng)為x，則DE=8-x．∵ΔADE折疊后的圖形是ΔAFE，∴AD=AF，DE=EF．∵AD=BC=10，∴AF=10．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90在RtΔABF中，BF=∴FC=BC-BF=10-6=4．在RtΔEFC中，F(xiàn)∴42+x∴EC的長(zhǎng)為3．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵在于求出FC的值.23．把長(zhǎng)方形ABCD沿AE折疊后，D點(diǎn)恰與BC邊上的F重合，如圖，已知AB=8，BC=10，求EC的長(zhǎng)．【答案】EC的長(zhǎng)度為3．【解析】試題分析：由長(zhǎng)方形ABCD沿AE折疊后，D點(diǎn)恰與BC邊上的F重合，可得AF=AD=10，DE=EF，然后設(shè)EC=x，則DE=EF=CD﹣EC=8﹣x，首先在Rt△ABF中，利用勾股定理求得BF的長(zhǎng)，繼而可求得CF的長(zhǎng)，然后在Rt△CEF中，由勾股定理即可求得方程：x2+42=（8﹣x）2，解此方程即可求得答案．解：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴∠B=∠C=90°，AD=BC=10，CD=AB=8，∵△ADE折疊后得到△AFE，∴AF=AD=10，DE=EF，設(shè)EC=x，則DE=EF=CD﹣EC=8﹣x，∵在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，∴82+BF2=102，∴BF=6，∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4，∵在Rt△EFC中，EC2+CF2=EF2，∴x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，即EC的長(zhǎng)度為3．考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；勾股定理．24．將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=10，OC=8，如圖在OC邊上取一點(diǎn)D，將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C恰好落在OA邊上，記作E點(diǎn)；（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)及折痕DB的長(zhǎng)；（2）在x軸上取兩點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且MN=4.5，求使四邊形BDM