考研級數(shù)典型例題完美版講析

(一)概 由數(shù)列u1,u2,,un,構(gòu)成的式unu1u2unnn稱為無窮級數(shù)，簡稱為級數(shù)unsnui稱為級數(shù)的部分和 如果limsns,則稱級數(shù)uns稱為該級數(shù)的和.此時記uns.發(fā)散

（二） 1,若un收斂，則kunkun

2,若unvn收斂，則unvnunvn

3,級數(shù)增減或變化有限項，不變化其斂散性4,若級數(shù)收斂，則任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂5(收斂的必要條件),若un收斂，則limun

注意：若limun0.則un必發(fā)散.而若un發(fā)散,則不一定limun(三)1,

a

q aqn 2,p

1p

p

qn1

p 設(shè)unvn均為正項級數(shù)，且unvn(n1,2,, vn收斂un un發(fā)散vn

如果limnunl(0l,則un

np1,limnn

l(0l,則

則收斂設(shè)unlim

1ρ1n

1n萊布尼茲鑒別法：設(shè)1n1n

0)1,unun1(n

2,limunn則此交錯級數(shù)收斂（一）絕對收斂如果

收斂，則稱un絕對收斂 （二）條件收斂如果un收斂，但un發(fā)散,則稱un條件收斂

（三）1函數(shù)列（函數(shù)項級數(shù)）2 函數(shù)列{fnCauchy確界（最大值辦法）：||fn(xf(x|||fn(xf(x|anDini-1）閉區(qū)間[ab]；2）持續(xù)性；3）有關(guān)n注、Dinin的單調(diào)性，定理中對應(yīng)的條件為“對任意固定x[ab，{fn(xnNn>N時”條件成立刻可，但是，要注Nxn>Nx[ab，fn(xn單調(diào)，nx一致成立。Cauchyxn，使得||fn(xnf(xn||端點發(fā)散性鑒別法：fn(xc點左持續(xù)，fn(c發(fā)散，則fn(x行判斷：端點發(fā)散性鑒別法、和函數(shù)持續(xù)性定理、確界辦法、定義法、Cauchy收斂準則。B、函數(shù)項級數(shù)un(x)Cauchy轉(zhuǎn)化為函數(shù)列（部分和余項辦法：{rn(x幾個鑒別法：W-法，Abel法，Dirichlet法，Dini-1判斷級數(shù)

nn

nn

的斂散性解：(1)

1 3=3

p3 nn1n

n1n n nnnnn

1limun 10故

發(fā)散

n2鑒別級數(shù).(1)(n1)(n3)；(2)

n(n2)的斂散性

解：(1)由 (n2,3),

(n

n2(n

n5n 故由比較鑒別法可知級數(shù)(n1)(n3)收斂

(n1,2,),而 發(fā)散，由比較鑒別法可 級數(shù) n

發(fā)散n

n(n2)(n1)(n2)n2,而n2n n

級數(shù)n(n2)發(fā)散 nn3

lim

01,故

n

(n

n

lim

(n (n

lim1

1

e1故

n發(fā)散nn

nn

n 1

n14鑒別級數(shù)(1)nnn；（2）ln1n2的斂散性

nn1解：(1)由于limnunnn1

lim

10

故由極限鑒別法可知級數(shù)

nnnnn1

1(2)由于limn

limn2ln1

limln1

lne

n2

n2故由極限鑒別法可知級數(shù)ln1n2收斂 5問級數(shù)

ncnn2

nn

與

n

均收斂，從而原級數(shù)收斂cc

c

，而 發(fā)散，故由比較鑒別法可

n

ccn1,用比較鑒別法鑒別下列級數(shù)的斂散性2 2

lnn

sin2(2n

1

n(n

nn

222,用比值鑒別法鑒別下列級數(shù)的斂散性

13(2n

n

25(3n

n33,3

n1(2n3)n

nn

1

1

(2)

n1 2341 1234

3 3 3 3

ln(n[答案：1,(1)收斂(2)收斂(3)收斂(4)2,(1)收斂(2)收斂(3)收斂3,(1)發(fā)散4,(1)條件收斂(2)絕對收斂(3)絕對收斂(4)條件收斂21x22

3

xnnn

limn1

1=

nnn1因此,

Rρ

收斂區(qū)間為x1時,

1

n

x1時,

1

發(fā)散.

n1n求冪級 nn1

的和函數(shù)

xnnI1,1S(xS(x)n

,xSx)

xn11,x1.1 0S(x)1xdxln(1x),x0求冪級數(shù)(2n1)xn的收斂域及和函數(shù)

lim2n11Rn2n1

1ρnx1(2n1)

發(fā)散，故收斂域為(2n

=(2n

=

x

31

n1

2x2

4x(1x)2x

4x2x

3x(1 x4x=(1x)2

1x 1x

1

. 1

(1f(x)

1x

展開成的冪級數(shù) n1解：由 (1

1x1f(x)

1x

=

1x

,

(1x1,求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域

nn1n

xn2n

xnn2,求下列冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)

(n

(3)

nn2nn3,x

f(x)ln(1x2

f(x)e

f(x)a

f(x)2[答案：1,(1)R1

R

R

R2,(1)

(2)

2(x

3,

x

1

nxn

x

(4)(2n1)! 1、判斷函數(shù)列fn(x在[0,1

(x)

1n

（2

(x)nx(1x)n解：（1）f(x)lim

(x)

x

xn

n1n|f(x)f(x) x|2

x 1n 故，fn(x在[0,1nf(x)limn

(x)limnx(1x)n0，xn記φ(x|f(xf(x|nx(1x)n，n

||

(x)f(x)||φ(x) n 1)n1 n n 故，fn(x在[0,1nn，f(x)nx(1x)nC[0,1]f(x)0C[0,1]x0x1n f(x)0nx0f(x)nx(1x)nn 為此，將離散變量n持續(xù)化，記a1x(0,1gy)yayg(y)ayyaylnaay[1ylna]y

lna

0gy)0y對應(yīng)得到當n

1x

(x有關(guān)nDini-定理，

(x在[0,1述Dini-定理的證明過程錯在何處？進一步考察Dini-定理的條件與上述證明過條件f,fnC[0,1是擬定的，有限區(qū)間[0,1也適合，剩余的條件只有單調(diào)性了。那么，Dini-定理中對單調(diào)性條件如何規(guī)定的？其敘述為：對任意固定的x，fn(x是n的單調(diào)數(shù)列，注意到收斂性與前有限項沒有關(guān)系，因而fn(xnN時，{fn(xn實際證明了：x0，當n N時，{

(x有關(guān)n單調(diào)，顯然，1 nln1nN 1x

（x0

(xxDini-定 在有限閉區(qū)間[a,b]上，設(shè)fn(x)C[a,b]，n且{fn(x)}點收斂f(xC[ab]，又N0x[ab，{fn(x|nNnfn(x)

f(x注、上述分析表明：要考察函數(shù)列的性質(zhì)時，普通只須考察n充足大，即nNW-定理：W-定 設(shè)N0，使得nN時，|un(x)|an，xI，且an收斂，un(xI定理中的條件|un(x|anx一致成立的，因此，條件不能改為“對任意xN(x)n>N(x)|un(x|an2f(x在(abf(xf(x

(xnf(x1f(x在(an分 從題目形式看，由于懂得極限函數(shù)，只需用定義驗證即可，考|

(x)f(x)||n[f(x1)f(x)]f(x)n |

(x)|，xξx

1，|ξx| |f(x)f(x)|運用微分中值定理，存在ξxξx1n|fn(x)f(x)||f(ξ)f(x)|，n1δ

n|fn(x)f(x)|故fn(x)

f(x3 （1）xn(1

,x

；（2）x2enx

x(0)11nS(x)xk(1x)2=(1-x)(1-xnnk

，xn故S(xlimS(x1n

x[0,1]

n|S(x)S(x)|(1 n對任意的n，記g(x)(1 ，g(x)nxn1(1n1n因而，g（x）

=n

||

S(x)||(1x)xn

(

)n

，n

n+1

(xS(x)xn(1

x[0,1n記u(x)xn(1x)2，則nnu(x)nxn1(1x)22xn(1x)xn1(1x)[n(nn

(x

0

n(x)

(n

)

)n

(

)2W-xn(1

x[0,1n記u(x)x2enxnnu(x)xenx[2nx]n故

(x

2n0

(x)

22

2

4e2 un(n (n) x2enx

x(0)Taylor

1nx

n2L2

Rn

x

0

x2

n2

n2

21nx

LRn x2enx

x(0) n4、設(shè)un(x在[a,b]u(x的部分和函數(shù)列在[a,b]n un(x在[a,b]分析這是一種抽象的函數(shù)項級數(shù)，從所給的條件看，W－定理、AbelDirichlet鑒別法、DiniCauchy收斂準則，為此，必須建立通項函數(shù)un(x與其導函數(shù)的關(guān)系，建立其關(guān)系的辦法有微分法pCauchy片段pp|p

(x)

xu

(t)dt

(x)|

0 |unk(x)|M|xx0||unk(x0)| Cauchy片段任意小，從右端形式和剩余的條件看，右端的第二x是動態(tài)的、證明：對任意的ε0，對[a,b]ax0x1Lxkb

xi:i

,k1}bakun(xNn>Npp

unj(xi)|

p，i=0,1,Lnn假設(shè)

uk(x|Mn>Nx[ab

，使得|xi0i

故p|p

(x)

0x0u

(t)dt

(x)pp

i0 i2M|xi0

|ε(2M1)ε，un(x在[a,b]注、總結(jié)證明過程，環(huán)節(jié)為：1、任給ε0，分割區(qū)間，擬定有限個分點；2、注、類似的結(jié)論能夠推廣到函數(shù)列的情形：設(shè)逐點收斂的函數(shù)列{Sn(x是6、給定函數(shù)列{Sn(x)}n，Sn(x都是[a,b]設(shè){Sn(x在[a,b]S(x)S(xC[ab]，證明{Sn(x在[a,b]上一致S(x)。 解決。核心是如何運用點收斂和極限函數(shù)的持續(xù)性實現(xiàn)對|Sn(x)S(x)|的動態(tài)接插項，產(chǎn)生的項|Sn(xSn(x0|必須借助這個條件將|Sn(xS(x|Sn(x證明：對任意的ε0S(xC[ab]，因而一致持續(xù)，故存在δ0，當xy[ab且|xy|δ|S(x)S(y)|對[abax0x1Lxkb

xi:i

,k1}baδkNn>N|Sn(xi)S(xi)|

i0,1,Lk n>Nx[ab，存在i0x[xi1xi]，運用{Sn |Sn(xS(x||Sn(xiS(x||Sn(xi1S(x|，事實上，當Sn(x) |Sn(x)S(x)|Sn(x)S(x)Sn(xi)S(x)|Sn(xi)S(x)

|Sn(x)S(x)|S(x)Sn(x)S(x)Sn(xi1)|S(x)Sn(xi1)| |Sn(xS(x||Sn(xiS(x||Sn(xi1S( 這樣，有關(guān)Sn(x由動態(tài)的點轉(zhuǎn)化為固定的點，對右端進行插項，進一步將S |Sn(x)S(x)||Sn(xi)S(x)||Sn(xi1)S(x) |Sn(xi)S(xi)||S(xi)S( ＋|Sn(xi1S(xi1||S(xi1S(x|4ε，故，{Sn(x

C(，定義函數(shù)列

nn(x)k

1f(xk，n＝1，2，L 明：{Sn(x在()1分析從函數(shù)列的構(gòu)造能夠計算出和函數(shù)為0f(xt)dt，因此，能夠運用形式1x S limS f t)dt對任意的[ab(fC[a1b1]的ε0，存在δ0xy[a1b1且|xy|δ|f(xfy|εNN1，當nNδ|

nn(x)S(x)||

n

(f(xt)f(x

k))dtnnnk1故，{Sn(x在()x8f0C[0a]fn(xx

fn1(t)dt，證明：fn(x在[0af0C[0a]，故M0，使得|f0x|Mx[0a|f1(x)|Mx |f(x)| tdt x2 |fn(x)

Mxn

fn(x09、在[0,1]4n2 0xnf(x)4n2xn

1x1

1xn解、法一、顯然，

(0)0x(0,1n1xnf(x0n

fn(x)0

(x)0

1|fn(xn)f(xn)

fn(xn)n因此，fn(x在[0,1]上非一致收斂。

(x)0101

f(x)dx

2n4n2xdxn(4n2x4n)dx 0 f f 1故，fn(x在[0,1]10

x(ln(x)

在[0上一致收斂。

時函數(shù)列{fn

f(x)

fn(x)0，x[0,)x(ln|fn(x)f(x)

fn(x) nn

f(x)

，n2||fn(x)f(x)

1(lnn)αfn(lnn)lnn 1nlim||f(x)f(x)||0nfn(x在[0)11、設(shè)S(x)rncosnx（|r|1）計算

S(x)dx 解：由于|rncosnx||r|n，故rncosnx在[0,2π]一致收斂，因而 2π0S(x)dx

rcosnxdx0cosnxdx0n1

，故

nn12f(xnn

2，求limf(xn0

3解：考慮n3

在[02]xnx

2)|2n(( 3n3

在[02]nnlimf(x)limnn

2)

n

3

x1n0

1 3 13、計算 n

en

xn分 兩種運算的換序性問題，只需驗證一致收斂性條件x證明：先證{enxxlimen1運用微分中值定理，存在ζ[0,1x1 x1|en1||ene0|

，x

{en在[0,1]1（Dini定理證明另首先，證明{(1x)nx[0,1]，{(1x)n 增收斂于exDini定理，{(1x)n在[0,1]上一致收斂于exn |en

n

1

||1en||

)nex|，n故，

x

1

en n

n

1en1

x

0

en

x 11x11

01 0ex(1ex

e14f(x)

(x1)n在(1,1n11nn解：q(0,1)，考察(x n

在[qq]|(x1)n|(q1)n，x[q,q]， 而(q1)n收斂，故(q1)n在[qqf(xC[qq qf(xC[1,1]15

sinnx在（0，1）nCauchyCauchy片Cauchyn準則證明 的發(fā)散性，能夠構(gòu)想，對應(yīng)的辦法與否能解決本題，由此，需nx(0,1，使得片段中的每一項sinkxn的對應(yīng)因子sinkxnk＝n＋1，，2n有正下界，只需π

π

π

4(n

2，則，對任意的n，取p＝n，xπ， |sin(n1)xnsin2nxn 2n Cauchy

在（0，1）注、還能夠用下述結(jié)論證明其非一致收斂性：給定函數(shù)項級數(shù)un(x) un(xC[ab，若un(x在(a,b)內(nèi)一致收斂，un(a)和un(b都收斂，則

un(x在[a,b]上一致收斂，因而，還成立un(xC[ab Fourier

正是一種在[0,1]Fourier級數(shù)，且其和函數(shù)在[0,1]上也不持續(xù)，因而，根據(jù)上述結(jié)論，

在（0，1）16

n1

xn1與

axnnn1|a lim lim(|a|n

(n

(n lim|an|n

1lim|an|n

(n

1 |a|n lim|

|nlim (n1)n

(n |a |a|nlim lim(n1)nlim ，

1(n

(n

設(shè)an

的收斂半徑為R，要證 nn

R，只要證|x0|

n時， n

收斂，|x0|R時， nn

0對0

：|

|Raxn0n0anxn1axnx00n0n1 n0n

n由Abel法， n

n對任意的x0：|x0|R時，若 n

y0使得|x0||y0|R

n為 n

收斂，因而{n1

|ayn||anxn1(y0)n(n1)1|

(n1)rnn n1 |x r|

|1。由于(n

nann

n收斂，這與ann

n徑為R矛盾，故， n

ff(xaxn17、 n

R0

f(xCRRa0

f(0)，an

f(n)ofCRR且f(0)a0，f(x)naxn1，f(0)a f(x)n(n1)axn2，f(0)2!a n歸納能夠證明：f(n)(0) nM-級數(shù)18f(xC且|f(kx|Mkxf(10n12,nf(x)0分 運用冪級數(shù)展開論證，證明f(n)(0)證明：由于|f(kx|M|Rn(x)

(n

|x|n10，x(,)f(x在(M-f(x)

f(n)

xn下證f(n0)0。顯然f(0)limf10，f(0)

f(1)f(0)1n

0

Roller-

η(1)

η(1)

n)n

f(0)lim 0，

nf(n0)0f(x)019lnn n1 n1、n

x 2、

)x]n3、

4、

xnn=1 解：記其為解：記其為axnn

liman1limln(n1)

1n

n 故，R＝1x1lnnx1lnn(1)n1L-n1 n1故其收斂域為[R,R) liman )nen R1e1

n1n1

1n1當xe時，考慮 ]，記bn ]， (11

nlg ；e1limlg(1x)x1

lg(1x)x

limlg(1x)xlim1

1

n lnbn

，bn

20，因而

]n n1n1 1同樣，當xe時， ](1)發(fā)散，故其收斂域為(,) e|x|n2 ]n

|x， n故，當|x|1時，級數(shù)收斂，當|x|1R＝1然，x＝1x＝－1時，級數(shù)都收斂，因而，收斂域為[1,1 1 liman 4n

nnR14x14[3(1)n]n12n1， n2k1n

n2k,x1時，級數(shù)也發(fā)散，故冪級數(shù)的收斂域為(11, 4 nn20、設(shè)axnRbxn的收斂半徑為Qnn

、(ab)xn；2、abxn

n解、1RQRQ，則當|x|R(ab)xn Q|x|R (ab)xna

bxn

而axnbxn

b)xnn

Q|x|時，運用冪級數(shù)收斂的性質(zhì)，(ab)xn必發(fā)散，否則，當 Q|x|R(ab)xn(a

b)xn的收斂半徑為min{RQ

R＝Q時，(ab)xn的收斂半徑有可能嚴格不小于R ab1R＝Q＝1，而

b)xn＝0，其收斂半徑為

lim|anbn|nlim|an|n|bn|nlim|an|nlim|bn|n

(ab)xnRRQ RRQ

0,n

，

n，

n2k

n2kR＝Q＝1R21

an的收斂于

A，bn的收斂于

B，如果Cauchy乘積cn(a0bna1bn1

anb0ABnnnaxnbxncxnx1nnn故由冪級數(shù)性質(zhì)：在|x|1nnnf(x)axn，g(x)bxn，h(x)axn，|x|nnnf(xC(1,1g(xC(1,1h(xC(1,1 (axn)(bxn)(cxn|x|1f(x)g(x)h(x|x x1f(1)g(1h(1

a

例5f(xaxn|x|r

anxn1rf(x)dx

an

n nx:|x|r

f(t)dt atndtxxx

xatndt

an

0

ng(x)anxng(xC(rr，故limg(x)g(r)

annx

nrg(x)

f(t)dt|x|r，因而

f(t)dt也存在且等于

f 故

f(x)dx

f(t)dtlimg(x)g(r)□rf(r取值如何，上述條件確保6、運用上題證明1ln(1t)dt

f(x)dx 解：由于ln(1t)[t

L]，|t|n故ln(1t

tn1L]，0 |t|t|若定義ln(1t)

limln(1t)1，則上式對|t|10x1txln(1

tx

t t

dt0

dtnnnnx117，

1ln(1t)dtn1

n1□7f(x

sin(2nx)

MaclaurmMaclaurm解：由于k (2n(2n1

事實上，由于

0

nn(n1)!(2 n(n n

(2n)ksin(2nx)

(2n)kcos(2n，

都一致收斂(R1f(xfCR1 (k

(2n)ksin(2nx(k

sin(2 2 (x)

(2k

(0)0，

(2k

(0)(1)k

(2n)2kf(xx0Maclaurmf(k)(0)

f(2k1)

2k

x2k

(2n)2k

x

(2k

(2k

2k (2k1) 2k )) k0(2k k0(2k 2k下面證明此級數(shù)對x0都發(fā)散，為此，考慮其絕對級 |x| e2(2k1)，k0(2klimuk1

|x|2k

e2(2k

(2kk

k(2k

e2(2k

|x|2k

|x

e2(2k3)2(2k1)|x|2

k(2k2)(2k

k(2k2)(2kk

2k故由比值鑒別法 |x| e2(2k1)發(fā)散，故其通項不收斂于零，因k0(2k 2k (1)ke22k1)Maclaurmf(xk0(2k8、證明（1）

y(4)

（2）

滿足xyyynn0 n 解：（1）y(x(4n)!R，故其導級數(shù)為(4n1意區(qū)間[aay(x)

(4n

yC[ay(4)y（2）y(x)

nn

R

y(x)nxn1y(x)

n0n(n

n1xyyn(n1)xn2nxn1n2xn1

xnyy

n1

n09exe 2

1cos2exe

1(1)n 解2

（2）1cos2x1 (1)k (2k

|x| ex 例10、展

x的冪級數(shù)并證1(nex

解

x ex

(

)

(n

x又dex1xexex1xexex1)

令x1，1 n1(nxsin

x2k例11、 dt0

(2k

dt

(2k1)(2k12（1）

（2）

n(n（3）n2xn1

（4）

(2n解：（1）f(x

f(x)

=

x=1fx

n0f(xf(x1exf(x)]f(0)0exf(x(ex1

f(x)ex□（2）f(x)

n(n

|x|1f(x

nn1n1nf(x)

(1)n1xn1

(1)nxn1 f(xxf(t)dtx1dtln(1 01 f(x)xf(t)dtxln(1t)dt(1x)ln(1x)

|x|

x1時，也收斂，即(1xln(1xx

n(n

2

f(xn

|x|1，則

f(t)dt

x

g(x)

，則0g(t)dtxx

1

g(x)

(1

0f(t)dt

(1

f(x)

1x(1

f(x)222222

(2n

xx0f(t)dtx

f(x)

2x2ex 1axn3nax1n1n

2、冪級數(shù)(2n1)xn的收斂域 nn23、冪級數(shù)3n2n

的收斂半徑R 4、冪級數(shù)

的收斂域 n5、級數(shù)

(x2

的收斂域 6、級數(shù)

的和 1127、 2

0(acosnxbsinnx)，則其系數(shù)b的值 2 29fx

2

1x斂

0x 10、級數(shù)n(n1)(n2)的 11、級數(shù)33

(x2n

的收斂域 參考答案：1、2,4

2、1,1

3R

5、0,46 2ln

7、

82π3

92

104

11、0,41、設(shè)常數(shù)λ0，而級數(shù)

a收斂，則級數(shù)a收斂，則級數(shù)1n

是 n2an （B）條件收 （n2an2pn

，qn

，nanan

，則下列命題中對的的是 a條件收斂，則與nn a絕對收斂，則與nn a條件收斂，則與nn a絕對收斂，則與nn

qn（B）（C）

qnqn

qn3

0,n

發(fā)散，發(fā)散，(1 n

收斂，則下列結(jié)論對的的是 （A）a2n1收斂，a2n發(fā)散 （B）a2n收斂，a2n1發(fā)散N

（C）(a2n1a2n)收斂 （D）(a2n1a2n)收斂

n)是 n （B）條件收斂 （C）發(fā)散 5、級數(shù)1n1cosα（常數(shù)

0）是 （B）條件收斂 （C）絕對收斂 6、設(shè)

n n（A）un與u都收斂 （B）u與u都發(fā)散 n n nnnn

（C）un收斂而u發(fā)散 （D）u發(fā)散而u收斂 n n nnnn

7、已知級數(shù)1n1a2,a5，則級數(shù)

等于

2n

8f(xx20x1，而

x 其中b )等于 1

2 （B）

（C） （D）2 9fx

0x2

aS(x) 0acos a2

1x121

22

20f(x)cos

(n

則S( )等于 5251（A） （B）1

（C）3 （D）3 n （A）(1)n （B）un （C）(u2n1u2n) （D）(unun1)

11、已知級數(shù)1n1

2，

，則級數(shù)

等于

2n1

12、若級數(shù)an收斂，則級數(shù) n

anan

收斂.（B）(1)an收斂.（C）anan1收斂.（D）

收斂

n13、若a(x1)n在x1處收斂，則此級數(shù)在x2處 n條件收斂 （B）絕對收斂 （C）發(fā)散

5n14、設(shè)冪級數(shù)axn與bxn的收斂半徑分別 與，則冪級數(shù)nxn的收斂5nbnb徑為

5 5

n1

123456789CBDCCCBCDCDBA1、設(shè)fxx0的某一鄰域內(nèi)含有二階持續(xù)導數(shù)，且limfx)0 nf n【分析一】limfx)0x0fxxfx 1

f n

ppn這就證明了

)n f(x 【證明一由 0及f(x)的持續(xù)

f00,f00fxx limf(x)limf(x)limf(x)1f(012 12f(f(x

f(0)由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

f(f(1n

f(012 12因n2收斂f(n)收斂，即f(n

2

單調(diào)減小，且1

發(fā)散，試問級數(shù)( )n與否收斂？

an 【分析與求解】因a單調(diào)下降有下界0limaa0a0 法則，并錯級數(shù)法則，并錯級數(shù)1n a0n現(xiàn)在對正項級數(shù)( )n可用根值鑒別法：由于

an

n1n1an

nan

3、求冪級數(shù)3n2

nn13nn13n(2)nn

11

3(1(3

1 )nR3，收斂區(qū)間為3,3x3

1nn13n(2nn 11n，而n

13n(2)n

n1 3n(2

x3nx3 1(1)n(3n(2)n(2)n3n(2)n

(1)nn

3n(2 3n(2)n 23n(2)n 2

n 0,(

nnn

n

(2

n1

1

1n收斂

1x3n13n(2)n

n13n(2)n (x)滿足微分方 yyyex （2）運用（1）的成果求冪級數(shù)3n)!首先驗證該冪級數(shù)的收斂區(qū)間是,這是缺項冪級數(shù)，令tx3原級數(shù)

t

(3n

n(3n3)(3n2)(3n1t,x,y(x)

，x(,于 y(x)y(x)y(x

1((3n

)2)! 3n1)! (3n)!xx xxn1(x n

)(

x5

)4 4 64

n0 x（收斂級數(shù)與它任意添加括號后的級數(shù)有相似的和 由于冪級數(shù)3n)!yxyyyex 又 y(0)1,y(0) yx

33特性根為1,22233

y

12

(c1

xc2sin

xyAexyyy3Aexex A13

y

2(

x

33

x)

1ex3 3x0，由初始條件②y(0)c1

c2,c y(0)

2

2

3y(x)

2e2

x1

(x3 3

25、求冪級數(shù)(1 (1n(2n1)

fxn【分析與求解】這是缺項冪級數(shù)，令tx2考察atnnna(1)n1(1n

n2nn2n

n 1n

natn11，收斂區(qū)間為1,1n

n12

n12(n1

n2 f1(x)(1

x(1 2

x(1)

1f2(x)(1

x2 f2(x)

2nf(x)(1)n1x2(n1)

(x12

1f200f200f(x)xf(t)dt

x1dt2arctanx

01t f(x) f(t)dt

2xarctanx

x

20arctan

01t2xarctanx1n(1x2 (x1fx

f1(x)f2(x)1x22xarctanx1n(1x n 6、求級數(shù)1

2n(

n1A(1)n1(n2n1)(1)n1n(n1)(1)n

(1)n 2.

1(1 2(1)nxn

(x1

1 S(x)(1)nn(n1)xn2(1)nxn(1)

1

(1x (1)n1n(n1)1S(1) 4.

4(11 2

A 17、求級數(shù)2nn21【分析與求解 先用分解法將原級數(shù)分解 A2n1(n

)

記A1A2

n

n2 (n1

n2 (n1要熟記五個簡樸函數(shù)的冪級數(shù)展開式，與此級數(shù)和有關(guān)的是1n1x

n

(1x1 于 A12n1(n1)2n21

(1 1(1 1 ) ) 4

A

12

2n1(n1 n32n

1

1 1

( )( ) ( 1n(11)1( )( ) ( 因 AAA5

8fxarctan1xx1fx

(1x)(1x)(1) 1(1x1

(1x

(1x)2(1x 1由11tt2

(1)ntn

(1)ntn

(t1 1

n2f(x) 1

(1)

(x1 xf(t)dt(1)nxt2ndt

f(x)

f(0)2n1

4(2n1 x1fxarctan1xx1x11 (1

arctan1x42n1

1 9、將函數(shù)f(x) arctanx

1 fx11n1x11n1x1arctanxxfx f(x) 41

41

21 1 11 1

x4n1

x4

(x121

21

1

f(x)

f(0)f(x)dxt4ndt

x4

(x1 n1

xxxx110、設(shè)

f(x)

arctanx,xx

試將fx展開成x的冪級數(shù)，并求級數(shù)(114n2 核心是將arctanx展成冪級數(shù)，然后約去因子x，再乘上1x2并化簡即可。直接將arctanx展開辦不到，且(arctanx)易展開，即 1

n2(arctanx) 1

(1)

,x x

(1arctanx

(arctant)dt(1

0t2ndtxn02nx

x2

x 由于右端級數(shù)在x1時均收斂，又arctanxx1持續(xù)，因此展開式在收斂區(qū)間端點x1成立。1現(xiàn)將②式兩邊同 x1

(1)n

(1

(1)nx2arctanx(1x

2n1

xx

2n

(1)n1n02n

2n1(1)n[ 1 ]x2n

2n 2n(1(1)2x,x[1,1],xx01(1)n2f(x)114n2

,x[(1 πx11

[f(1)1] [2 1] 11fx2x1x1展成覺得2周期的傅里葉級數(shù)，并由此求級數(shù)n1【分析與求解 按傅氏系數(shù)公式，先求f(x)的傅氏系數(shù)an與bnfx偶函數(shù)bn0n1,2,3L1na2lf(x)cos l12(2x)cos1nl 1 1, , [(1)n1](2k1

n2k

(n1,2,L

n2k1a020(2x)dx1f(x在[1,1]f1

f1f(x)2x5

為了求1x0n1即254 即

. π2n1(2n1 n1(2n1

1現(xiàn)

(2n1)2(2n)2(2n1)24n2

n1

3

1 ,

1 .4n1

n1 12fxx10x2)4fx4fxbn0(n1,2,3La2lf(x)cosnπxdxl22(x1)cos l

2 22(x1)dsinnπ22sin

2 2

0((1)n10

n2k=(2k1

n2k

k2 a0

2

f(x)dx

(x1)dx

(x12

0由于（延拓后）fx在2,2f1

f1fxf(x)8 π2n1(2n1 13、求冪級數(shù) xn的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端關(guān)處的收斂性。3(2)n解：設(shè)

n1,2,L2lim

lim

1( x

x31(2 3R 收斂區(qū)間3,3 x3an3n2nn

1(3

)n 而1發(fā)散x3n1

2 x3an3n2nn 2

3n( n3(2)n 記 1,2,L Vn1

3n(2

1(2,n N 3n1(2 N

31(3

nn n

1收斂，又

n13n(2)n

x3處收斂收斂域內(nèi)3,314fx

2x

分 先將f(x)分解成部分分式，再運用等比級數(shù)間接展開1 1解：f(x) (2x)(x1 32

31x3

x1x),1

1xn,2x12

n01(1)nxn,1x1

f(x)11xn(1)nxn1

1(1)nxn,1x

1 (115、將函數(shù)f(x)arctan12x展開成x的冪級數(shù)，并求級數(shù)2n1的和。 直接展開較困難，先將f(x)展開，再遞項積分得出f(x)的展開式

1(12x1

2(12x)2(12x)(12x

14

f(x)f(0)f(t)dtπ(1)n4nt2 0 (1

422n14 當x 時

(1)n4n11

收 （萊布尼茲鑒別法 n02n 2n02n 當n 時

(1)n4n(1)2n11

n02n 2n02nf(x)π

(1)n 114 ,x4 ,x

22 (1f(242n1arctan0.(1 .n02n 16、求冪級數(shù)

(1)n1x2

sx解：求收斂域，由于該冪級數(shù)缺項冪級數(shù)，則直接用比值鑒別法求之，設(shè)(1)n1x2un(x)

,nx2x2lim

xun(x

x(n1)(2n1

x2x21x1x21,x11，收斂區(qū)間是1,1 x1n2n1絕對收斂(Qn2n1n2 x1n2n1絕對收斂，因此，該級數(shù)的收斂域為1,1S(x)

(1)n1x2n(2n1)

217、求冪級數(shù)(1 (1n(2n1)

1fx)

n1n(2n1)1令un(x)(1 (1n(2n1)

x,n1,2L

x2unun1(xun(x

n(n1)(2n1

x21x1時，級數(shù)1x21x1時，級數(shù)1級數(shù)1的收斂區(qū)間為1,1

n12

(1 (1n(2n1)

(1

2n(2n1)x xn12gx1

1

x(1,1 S(x)2n(2n1) xarctamx2lin(1x f(x)g(x)2S(x) 2arctanxlin(11

),x(1,1(n1 18（1）

（2）an和bn

數(shù)anbn

（1）

Qn1 (nn n

1)n

（2）

a2與b2都收斂2ab收斂abn

n

nx即α即nn19xnnx10，其中nxn當α當α1時，級數(shù)xn2n分 （1）存在性用根的存在定理，唯一的性用函數(shù)的嚴格可調(diào)（2（2）用比較鑒別法證明xαn 證（1）fxxnnx10fx在0,1 fn010f1n0nn0,1fxn0fxnxn1n0x0,fx在0,上嚴格遞增 nxnnx10x0,1n 由xn

10xn0,1，有1 0x 0xn

又nα收斂nn 0π020an4tannn（1）anan2n（2）試證：對任意常數(shù)λ0，級數(shù)

ann1 直接求anan2的體現(xiàn) o anan24tannxdx4tann2xdx4tannx(1tan2xo 4tannxsec2xdx 4tannxd(tanx π

tann1

4 1(a

) n1

S

(11)n

k(k1

k11(

n

n1

證

π0an4tann

令ttann,narctan01 t01

1 于是0

01t2dt0tdtn1n 1由于1λ1因此ann121、求級數(shù)

(x31

a

n1,2),

lim

x

x(n1因此當1x31，即2x4x2時，得交錯級數(shù)1n1x4時，得正項級數(shù)

原級數(shù)的收斂域為

n1x,若0x22fx2x,若1x

(1)s0

2f(x0

(2)s1

4f(x22(3)s0

2n2f(x2n

(n2,3)；

(4)s

1xexdx2(2x)exdx1xexdx2xexdx

22 22xe

1exdxxe

2exdx

121(11)21(e1)2101

2(2)sx2 f(t)et2dt

2f(t)etdtse2s0

2(3)sx2n f(t)