高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第六節(jié) 空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算習(xí)題 理試題

第六節(jié)空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點(diǎn),則DE與D1F的位置關(guān)系是 ()A.平行 B.相交且垂直C.異面且垂直 D.既不平行也不垂直1.C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系后,求得=0,所以,即DE與D1F垂直且DE與D1F是異面直線(xiàn).2.兩個(gè)非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則是a∥b的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.A【解析】a∥b且一個(gè)坐標(biāo)為0是不能得到,所以必要性不滿(mǎn)足,即是a∥b的充分不必要條件.3.已知空間四邊形OABC中,點(diǎn)M在線(xiàn)段OA上,且OM=2MA,點(diǎn)N是BC的中點(diǎn),=a,=b,=c,則= ()A.a+b-c B.-a+b+cC.a-b+c D.a+b-c3.B【解析】∵點(diǎn)M在線(xiàn)段OA上,且OM=2MA,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),+()++()+)=-,∵=a,=b,=c,∴=-a+b+c.4.已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1,下列向量的數(shù)量積一定不為0的是 ()A.B.C.D.4.D【解析】選項(xiàng)A,當(dāng)四邊形ADD1A1為正方形時(shí),可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,可得AD1⊥B1C,此時(shí)有=0;選項(xiàng)B,當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí),可得AC⊥BD,可得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1,此時(shí)有=0;選項(xiàng)C,由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得AB⊥平面ADD1A1,可得AB⊥AD1,此時(shí)必有=0;選項(xiàng)D,由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得BC⊥平面CDD1C1,可得BC⊥CD1,△BCD1為直角三角形,∠BCD1為直角,故BC與BD1不可能垂直,即≠0.5.在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是D1D,BD的中點(diǎn),點(diǎn)G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中點(diǎn),則||為 ()A. B. C. D.5.D【解析】如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則F,C1(0,1,1),G.因?yàn)镠是C1G的中點(diǎn),所以H,所以=-,則||=.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知向量a=(-4,2,4),b=(-6,3,-2),則a·b=;|a|=.

6.226【解析】a·b=(-4)×(-6)+2×3+4×(-2)=22,|a|==6.7.已知空間四點(diǎn)A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10),D(8,4,a),如果四邊形ABCD為梯形,則實(shí)數(shù)a的值為.

7.9【解析】因?yàn)?(4,-8,2),=(8,5,7),=(2,-4,10-a),=(10,1,a-1),四邊形ABCD為梯形,則,解得a=9,此時(shí)不平行.8.正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為A1B1上任意一點(diǎn),則DP與BC1始終.

8.垂直【解析】因?yàn)?()·=()·=0,所以,即DP與BC1始終垂直.三、解答題(共20分)9.(10分)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1D1的中點(diǎn),H為平面EDB內(nèi)一點(diǎn),=(2m,-2m,-m)(m<0),證明:HC1⊥平面EDB.9.【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則=(a,a,0),所以=(2m,-2m,-m)·=0,=(2m,-2m,-m)·(a,a,0)=0,所以,又DE∩DB=D,所以HC1⊥平面EDB.10.(10分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),若ABCD是平行四邊形.求證:MN∥平面PAD.10.【解析】取DP的中點(diǎn)E,連接AE,EN,則,所以,所以共面,且MN不在平面PAD上,所以MN∥平面PAD.[高考沖關(guān)]1.(5分)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),該四面體的體積為()A. B. C.1 D.21.A【解析】在空間直角坐標(biāo)系中作出四面體的四個(gè)頂點(diǎn),可知該四面體是棱長(zhǎng)為的正四面體,所以體積為.2.(5分)設(shè)P(2,3,4)在三個(gè)坐標(biāo)平面上的射影分別為P1,P2,P3,則向量:①(6,-3,-4);②(4,-3,-4);③(0,-3,4);④(2,-6,4).其中與平面P1P2P3平行的向量有 ().A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.C【解析】由題意可知,P1,P2,P3的坐標(biāo)分別為(2,3,0),(2,0,4),(0,3,4),可以求得平面P1P2P3的一個(gè)法向量為(6,4,3),①不與該法向量垂直,所以不與平面P1P2P3平行,②③④與該法向量垂直,所以與平面P1P2P3平行.3.(5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=a,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是 ()A.在平面上 B.相交C.平行 D.以上都不正確3.C【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)Ma,,N,所以=-,0,-與平面BB1C1C的法向量=(0,a,0)垂直,且MN不在平面BB1C1C上,所以MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是平行.4.(5分)已知空間四邊形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,對(duì)角線(xiàn)AC,BD的中點(diǎn)分別為E,F,則=.

4.3a+3b-5c【解析】=3a+3b-5c.5.(5分)已知空間圖形A-BCD,E,F,G,H,M,N分別是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中點(diǎn),求證:EG,FH,MN交于一點(diǎn)且互相平分.5.【解析】設(shè)P1,P2,P3分別為EG,FH,MN的中點(diǎn),又設(shè)=a,=b,=c,則)=)=(a+b+c).同理可證(a+b+c),(a+b+c),∴P1,P2,P3三點(diǎn)重合.從而原命題得證.6.(10分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,M是棱AA1的中點(diǎn),點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)BD1的中點(diǎn).(1)求證:BD1⊥AC;(2)求證:OM是異面直線(xiàn)AA1與BD1的公垂線(xiàn).6.【解析】(1)以D為原點(diǎn),DC,DA,DD1所在的直線(xiàn)分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),C(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),M,O.∴=(-1,-1,1),=(1,-1,0),∴=(-1)×1+(-1)×(-1)+1×0=0,∴,即BD1⊥AC.(2)=(0,0,1),=(-1,-1,1),∵=0,=0,∴OM⊥AA1,OM⊥BD1,即OM是異面直線(xiàn)AA1與BD1的公垂線(xiàn).7.(10分)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面邊長(zhǎng)為1,M是BC的中點(diǎn).在直線(xiàn)CC1