完整的數(shù)學(xué)建模(鉛球投擲)

2023年四川理工學(xué)院第九屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了四川理工學(xué)院大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)那么.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式(包括、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等)與隊(duì)外的任何人(包括指導(dǎo)教師)研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)那么的,如果引用別人的成果或其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料)，必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)那么，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)那么的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是(從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫)：C 我們的參賽報(bào)名號(hào)為(如果設(shè)置報(bào)名號(hào)的話)：所屬學(xué)校(請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?：四川理工學(xué)院黃嶺校區(qū)參賽隊(duì)員(打印并簽名)：1.2.3.日期：2023年05月21日2023年四川理工學(xué)院第九屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專用頁(yè)評(píng)閱編號(hào)(由評(píng)委團(tuán)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào))：評(píng)閱記錄表評(píng)閱人評(píng)分備注鉛球投擲問題摘要本文通過對(duì)投擲鉛球的水平距離的討論，研究了根據(jù)實(shí)際怎樣控制水平距離的因素，才能使得鉛球飛行更遠(yuǎn)．運(yùn)用了力學(xué)知識(shí)，拋物線規(guī)律及數(shù)學(xué)軟件的輔助，建立了各種最正確投擲模型。即運(yùn)發(fā)動(dòng)應(yīng)該根據(jù)自身的的具體身高與其習(xí)慣的出手姿勢(shì)計(jì)算并得出最正確的出手角度，一般而言使出手速度在14m/s左右，對(duì)應(yīng)的出手角度在37.2707°左右時(shí)能使得投擲距離最大，而且可以通過各種方式.增大手與鉛球間的摩擦力，同時(shí)采用旋轉(zhuǎn)投擲法，從腰間發(fā)力，在投擲點(diǎn)采用前后腳交替等方法可到達(dá)增大初速度從而增加投擲距離的作用．關(guān)鍵詞：鉛球投擲投擲距離出手角度出手速度最正確一、問題的提出鉛球的投擲運(yùn)動(dòng)是運(yùn)發(fā)動(dòng)單手托住7.264kg(16磅)重的鉛球在直徑為2.135m的投擲圓內(nèi)將鉛球擲出并且使鉛球落入開角為45o的有效扇形區(qū)域內(nèi)。以鉛球的落地點(diǎn)與投擲圓間的距離度量鉛球投擲的遠(yuǎn)度，并以鉛球投擲遠(yuǎn)度的大小評(píng)定運(yùn)發(fā)動(dòng)的成績(jī)。如圖1：圖1鉛球投擲場(chǎng)地根據(jù)優(yōu)秀運(yùn)發(fā)動(dòng)的投擲數(shù)據(jù)看出他們的投擲角度一般為35°—41°,出手速度一般為13.1m/s—14.1m/s，出手高度一般為1.9m—2.1m……………[1]。需解答一下問題：1.建立數(shù)學(xué)模型，將預(yù)測(cè)的投擲距離表示為出手速度、出手角度，找出最正確出手角度。2.由于出手速度與出手角度相互影響,并同時(shí)影響出手距離,應(yīng)該怎樣對(duì)出手速度與出手角度折中,才能得到最大的出手距離。3.分析影響鉛球投擲距離的因素，根據(jù)結(jié)果分析教練員對(duì)運(yùn)發(fā)動(dòng)訓(xùn)練的目標(biāo)和方向。二、根本假設(shè)1.鉛球是個(gè)質(zhì)點(diǎn)。2.忽略空氣阻力。h：出手高度v：出手速度：出手速度與水平面的夾角s：投擲距離g：重力加速度為9.8:鉛球躍過的最高點(diǎn)與投擲點(diǎn)的水平距離t1:鉛球到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間t2：鉛球從最高點(diǎn)到落地的時(shí)間三、建立模型3.1問題一模型的建立3.1.1建立模型由以下圖所示可得：圖2投擲鉛球拋物線圖中的h1就代表h.從而可以得出:當(dāng)投擲距離取得最大值時(shí)可以得以下關(guān)系式:…………［１］由上是化簡(jiǎn)可以得3.1.2問題一的分析,在定義域內(nèi)單增,那么易知:當(dāng)出手高度一定時(shí):最正確出手角度隨出手速度增大而增大.當(dāng)出手速度一定時(shí):最正確出手角度隨出手高度增大而減小.結(jié)論:應(yīng)該根據(jù)出手速度與人的具體身高與其習(xí)慣的出手姿勢(shì)計(jì)算并得出最正確的出手角度,并且最正確出手角度可由方程:得到.3.2問題二模型的建立3.2.1建立模型由于速度與角度相互有關(guān)聯(lián)，并且要找到一種折中方法使拋球的距離最大，那么想到找到速度與角度的函數(shù)，函數(shù)是由數(shù)學(xué)軟件根據(jù)給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合而來所以得到兩個(gè)方程，Ｆ(v,u)(速度v與角度u兩個(gè)變量所組成的方程),X(v,u)(拋球距離x關(guān)于變量v與變量u的函數(shù)),從而由兩個(gè)函數(shù)關(guān)系并且根據(jù)角度與速度的實(shí)際變化范圍求得拋球距離x的最大值．由題中提供的數(shù)據(jù)即:表1運(yùn)發(fā)動(dòng)投擲鉛球數(shù)據(jù)姓名出手速度出手高度出手角度實(shí)測(cè)成績(jī)s(m)李梅素13.751.9037.6020.95李梅素13.522.0038.6920.30斯盧皮亞內(nèi)克13.772.0640.0021.41李梅素19.4013.1640.272.02李梅素20.3013.5138.692.00黃志紅20.7613.5837.752.02隋新梅21.6613.9539.002.04李梅素21.7614.0835.131.95以出手速度作為變量擬合關(guān)于角度的函數(shù),首先作出速度關(guān)于角度的散點(diǎn)圖,然后擬合并在同一圖中顯示擬合的函數(shù)與散點(diǎn)的相符效果,結(jié)果如下:圖3角度關(guān)于速度的散點(diǎn)圖.(這就是擬合到得角度關(guān)于速度的方程)Out[4]=Out[3]=圖3角度關(guān)于速度擬合方程的圖圖4擬合曲線與散點(diǎn)圖在同一坐標(biāo)中的顯示狀況.由第一問的解答有:……………….①擬合方程:………②可得:s=3.2.2問題二的分析上式是出手距離與出手速度及出手高度的函數(shù)關(guān)系式，假設(shè)高度一定時(shí)那么只有速度v一個(gè)變量。因此可以取不同的速度v值而得到不同的出手距離，然后由出手速度與出手角度的關(guān)聯(lián)式，即②式，從而得出對(duì)應(yīng)的出手角度，然后列出一個(gè)表格，由表格中得出的數(shù)據(jù)找出出手角度與出手速度的最正確折中方法。由題所給的所有數(shù)據(jù)得到出手高度的平均值為：h=1.99875，把此值作為定值?？梢缘贸鱿旅娴臄?shù)據(jù)表：出手速度13.113.213.313.413.513.613.713.8出手距離19.406919.608619.797420.035220.320820.629520.93621.222出手角度37.270739.457138.230937.861338.0478.38.49738.921839.0412出手速度13.91414.114.214.314.414.514.6出手距離21.46621.618421.559721.053419.719417.106313.038.32289出手角度38.580437.270734.848931.057325.64418.3628.969632.76989表2投擲遠(yuǎn)度影響因素那么由上表可看出來出手距離先隨速度變大而變大，當(dāng)速度增大到14再往上逐漸增大時(shí)，出手距離逐漸減小，出手角度隨出手速度的增大同樣是先增大后減小，速度從13.1~14.3時(shí)出手角度的變化是37.2707~25.644，運(yùn)發(fā)動(dòng)以這個(gè)出手角度范圍的角度出手都不太難，所以角度的考慮是次要因素，而主要因數(shù)是成績(jī)?cè)u(píng)定標(biāo)準(zhǔn)的出手距離，當(dāng)v在14m/s時(shí)速度到達(dá)最大，所以此時(shí)運(yùn)發(fā)動(dòng)得到的成績(jī)最理想。結(jié)論：速度與角度的最正確折中方法是：使出手速度在14m/s左右，從而對(duì)應(yīng)的出手角度在37.2707°左右。3.3問題三模型的建立及求解3.3.1建立模型經(jīng)過上述分析，投擲鉛球的遠(yuǎn)近是一個(gè)關(guān)于出手高度、出手速度、出手角度相關(guān)的復(fù)雜變量。其中出手速度的影響最為重要。由此，教練員應(yīng)該著力提高運(yùn)發(fā)動(dòng)施力于鉛球上的力而提高成績(jī)。假設(shè)：滑步階段為水平運(yùn)動(dòng)，鉛球隨人體產(chǎn)生一個(gè)水平初速度；用力階段，運(yùn)發(fā)動(dòng)從開始用力推鉛球到鉛球出手有一段時(shí)間；作用時(shí)間內(nèi)的推力大小不變離得方向與鉛球出手方向相同?！璠3]符號(hào)約定：X:水平位置Y:豎直位置：初速度：作用時(shí)間：推力大?。恒U球質(zhì)量水平位置有：豎直方向有：所以在區(qū)間的積分可得：因?yàn)橛兴缘玫?.3.2問題三的分析由可得增大作用與鉛球上的力和時(shí)間以及增大初速度均可提高鉛球的出手速度。從而提高投擲距離。因此教練員可從以下方面來訓(xùn)練運(yùn)發(fā)動(dòng)。1.增大手與鉛球間的摩擦力以增大作用時(shí)間。2.采用旋轉(zhuǎn)投擲法，從腰間發(fā)力，旋轉(zhuǎn)將力施加到鉛球上以增大作用力。3.在投擲點(diǎn)采用前后腳交替以增大初速度。四、模型求解用mathematica7.0軟件進(jìn)行的求解過程如下:4.1第一問求解Solve[h1+h==g*(t2)^2/2,t2]得顯然負(fù)值舍去筆算可得：然后根據(jù)參考文獻(xiàn)可得：4.2第二問求解建立二維數(shù)據(jù)表,畫散點(diǎn)圖,擬合方程及散點(diǎn)圖與擬合方程在同一圖中的顯示操作如下:x={13.75,13.52,13.77,13.16,13.51,13.58,13.95,14.08};y={37.60,38.69,40.00,40.27,38.69,37.75,39.00,35.13};data=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,8}];=ListPlot[data,PlotStylePointSize[0.02]];f=Fit[data,{1,v,v^2,Log[v]},v];w=Plot[f,{v,13.00,15.00}];Show[w,shu]擬合圖與問題一的方程求解如下:得出s關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)h值一定,以v緩慢增大的過程對(duì)v及定值g,h的復(fù)值如下：s/.{h1.99875,va,g9.8}(其中a為v緩慢增大的任意取值，從而可以得出s關(guān)于v的多組數(shù)據(jù))．根據(jù)v的值求對(duì)應(yīng)出手角度的計(jì)算如下：(a同上為v緩慢增大的任意取值)．五、模型評(píng)價(jià)本模型建立了投擲鉛球所需的最正確角度范圍，研究了速度，夾角以及投擲高度對(duì)投擲距離的影響，通過定量和定性分析，得出了投擲的最正確角度，最正確速度，以及應(yīng)保持怎樣的方式投擲．給教練員在訓(xùn)練運(yùn)發(fā)動(dòng)時(shí)提供了有效的參考。但是由于某些假設(shè)過于理想，如速度與角度的相互影響，滑步過程的假設(shè)，在實(shí)際運(yùn)用中并不能很好的應(yīng)用。因此在不同的環(huán)境，對(duì)于不同的人訓(xùn)練時(shí)，運(yùn)發(fā)動(dòng)應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)?/p>