定積分不等式

第三章一元積分學(xué)第三節(jié)定積分值的估計及不等式定積分值的估計及不等式證明是一個較難的問題，方法多樣，用到的知識〔微分學(xué)的知識，積分學(xué)的知識等〕也很多?？偟恼f來：〔1〕主要用積分學(xué)的知識，除了定積分的性質(zhì)、積分中值定理、計算方法外，以下幾個簡單的不等式也是有用的：〔i〕假設(shè)，那么.〔ii〕.〔iii〕假設(shè),那么.(iv)(柯西不等式)(2)主要用微分學(xué)的知識,包括前面己講過的利用微分學(xué)知識證明不等式的一切方法.(3)利用二重積分、級數(shù)等．值得注意的是：題目的解法往往有多種，同一題目其解答過程中往往要用到各種知識和方法．例１．判斷積分的符號分析：這個積分值是求不出來的．如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上有確切的符號，那么積分值的符號很容易判斷．如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上有正、有負，那么應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的正、負情況將積分區(qū)間分成局部區(qū)間，然后利用積分學(xué)等方面的知識比擬在這些局部區(qū)間上的積分值〔實際上是比擬積分值的絕對值〕．此題中被積函數(shù)在積分區(qū)間上有正、有負，先作換元：，把積分變?yōu)楹?，問題更清晰，因而想到至此積分的符號憑直覺已經(jīng)能判斷了．但嚴格說明還需做一些工作，上式右端兩個積分的積分區(qū)間不一樣，為了方便比擬，應(yīng)將兩個積分放在同一積分區(qū)間上進行比擬．有了這些分析和思路后，解答就容易了．解：令，那么＝對上式右端后一積分換元得從而注：此題的解答過程不復(fù)雜，但其過程中有兩個技巧很有用〔１〕將積分區(qū)間分成局部區(qū)間〔尤其是等分區(qū)間，特別是二等分〕〔２〕如要比擬兩個在不同積分區(qū)間上的積分的大小，可通過換元變成相同積分區(qū)間上的積分，然后比擬．例２．設(shè)，證明：分析:：從形式上看很象柯西不等式，但兩個積分的積分區(qū)間不一樣，前面的積分可用教材上介紹的一個等式變?yōu)樯系姆e分，再用柯西不等式便可得結(jié)論。解：例３．設(shè)在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：〔１〕〔２〕分析：〔１〕該不等式實際上給出了左邊積分的一個界。假設(shè)令，那么有，即給出了導(dǎo)數(shù)的界，再加條件，可估計出，進而估計出積分的界。〔２〕不等式兩邊分別有和，而等式可將兩者聯(lián)系起來，這里要根據(jù)具體問題具體選擇，此題中容易想到證明：〔１〕令，由拉氏中值定理知從而所以〔２〕，那么故注：〔１〕中，假設(shè)將條件改為(i)，結(jié)論仍成立，(ii),右端改為,(iii)且,右端改為,另外此題也可利用等式去證:所以(2)中右邊作為左邊積分的一個界有點粗(證明過程中能感覺到這一點),我們可以更精細一點：不做(2)的證明過程中的第二步放大,便可證出上面結(jié)論：,再分部即可．例４．設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，證明：方法一：利用上一節(jié)中的例10中的〔2〕，或練習(xí)題21可證出結(jié)論。方法二：由泰勒公式有兩邊在上積分并注意到得，從而得方法三：令，那么，且，由泰勒公式有：〔1〕〔2〕〔1〕—〔2〕得所以例５．設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)增加，求證：分析：此題有多種證明方法，思路一：這里有兩個參數(shù)，把改成變量，欲證左右兩邊均是函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)這一工具去證明．思路二：變形為被積函數(shù)中因子關(guān)于積分區(qū)間中點具有某種對稱性，而又單調(diào)，因此可想到前面介紹的利用對稱性計算積分的有關(guān)公式去處理．思路三：基于思路二的考慮，將積分區(qū)間二等分，然后用積分中值定理或其它方法去證．思路四：由于故就一目了然．思路五：變形為那么看過例6后就知道怎么做了．證：令，那么且從而取，便得，結(jié)論得證．或：〔或：〕或：注：第一種方法我們稱之為變易常數(shù)法，即把某個常數(shù)〔在積分中一般是積分上限或下限〕換成變量，從而化為一個函數(shù)不等式，再利用微分學(xué)的知識及其它知識去證明，這是一種常用的技巧。此題假設(shè)把條件“連續(xù)且單調(diào)增加〞改為“單調(diào)且有界〞，結(jié)論仍成立。但變易常數(shù)法不能用〔為什么？〕。例6．設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)增加，求證：分析：右端出現(xiàn)了兩個積分，假設(shè)將兩個積分的積分變量換成不同符號那么可化為二重積分：而左邊亦可化為二重積分：這樣就化為二重積分的比擬了。證：令那么同樣可得兩式相加得故結(jié)論得證。注：此題是通過化為二重積分來證明，這也是有用的方法。仔細體會這個證明過程并用此方法去證一下柯西不等式。凹凸性及平均值等式例7．設(shè)在上連續(xù)，且為凹函數(shù)即對，及有證明：證明：從而得左過得不等式，下證右過不等式，有從而兩邊積分得于是得右過不等式．注：能看出該不等式的幾何意義嗎？個正數(shù)的算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均有如下關(guān)系：我們把以上關(guān)系推廣到積分形式：設(shè)正值連續(xù)，那么〔１〕上面不等式中的第一項稱為在上的調(diào)和平均，第二項稱為在上的幾何平均，第三項稱為在上的算術(shù)平均．還可推廣到加權(quán)平均的形式：，其中為正值連續(xù)函數(shù)〔２〕下面證一下〔２〕對于任意，有取，那么，從而兩邊在上積分，并注意到不等式右邊最后一項的積分為零，得即下證左過不等式：左過不等式等價于把右邊不等式的換成，便得上式．分析上面證明過程，可以發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵用到了：的二階導(dǎo)大于零及．因此有下面更一般的結(jié)論：設(shè)在上連續(xù)，且，在上有二階導(dǎo)數(shù)，且，那么〔３〕注：，那么上面不等式變號．同學(xué)可仿〔2〕的證明去證一下〔3〕練習(xí)題:證明:(,而)證明:〔左－右＝，然后用利用對稱性計算積分的有關(guān)公式〕證明:〔通過換元將左、右積分分別比為和，然后比擬被積函數(shù)的大小便可得結(jié)論〕設(shè)表示橢圓的周長，證明：〔由弧長公式可得，由可得左邊不等式，再用積分的柯西不等式可得右邊不等式〕設(shè)在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：〔假設(shè)在上不變號，不等式成立；假設(shè)變號那么存在，使得，由，可得結(jié)論．〕設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，證明對，有〔由積分中值定理知，再由可得結(jié)論〕設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，且，證：〔利用〕設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，且，證：〔,再用柯西不等式)設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，且，，證：〔令，利用導(dǎo)數(shù)證明〕１０．〔１〕設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：〔２〕設(shè)在上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，，證明：〔〔1〕利用上一節(jié)中例10的〔1〕，〔2〕是〔1〕的推廣，先證明：，其中〕１１．設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明：對有〔左〕１２．設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：〔，利用上題有而當時總有〕１３．設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，且，證明：〔左而〕14．設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)增加，且連續(xù)，求證：15．設(shè)在上連續(xù)，且，證明：〔左邊不等式可用二重積分或柯西不等式去證，左邊不等式與條件“〞無關(guān)，但需“〞。右邊不等式的證明有一定難度：〕１６．設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)減少，證明：〔用二重積分證明〕１７．證明：〔，，其中，