江西省新余市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題（含解析）

新余市2022—2023學(xué)年度上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)試題卷（文科）命題人：新余四中彭晨艷渝水一中鄔剛安審題人：劉勇剛說明：1.本卷共有三個(gè)大題，23個(gè)小題，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.本卷分為試題卷和答題卷，答案要求寫在答題卷上，在試題卷上作答不給分.一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A. B.2 C. D.5【答案】A【解析】【分析】先由題給條件求得復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)模的定義即可求得的值【詳解】，則故選：A.2.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件及必要條件定義結(jié)合向量平行坐標(biāo)表示判斷即可.【詳解】若，則，所以；若，則，解得，得不出.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.3.已知集合A＝{x∈R|8}，B＝{y|y}，則A∩B＝A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可以求出集合A，B，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】由，得，即.由，得；由，得.A＝{x|﹣1＜x2﹣2x＜3}＝{x|﹣1＜x＜3且x≠1}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝[0，1）∪（1，3）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了描述法、區(qū)間的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一元二次不等式的解法，交集的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式計(jì)算.【詳解】故選：B5.設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（）A.0 B.2 C. D.5【答案】D【解析】【分析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移知當(dāng)時(shí)，有最大值為.故選：D.6.函數(shù)在區(qū)間上圖象為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，然后代入計(jì)算，從而得正確答案.【詳解】，

為奇函數(shù)，排除A；又，排除B；，即，排除C，故選：D7.若雙曲線E：1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x﹣4）2+y2＝16所截得的弦長(zhǎng)為4，則E的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為bx+ay＝0，由圓心到直線的距離公式可得d，再利用勾股定理，半弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離，和半徑的關(guān)系得到弦長(zhǎng)為即可求出.【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為bx+ay＝0，則圓心（4，0）到該直線的距離d，由題意可得弦長(zhǎng)為：，即，得，即離心率∴E的離心率為2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓與雙曲線的綜合，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用及圓的弦長(zhǎng)計(jì)算，屬于一般題.8.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，且外接圓的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為（）A.20 B. C.27 D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形的外接圓周長(zhǎng)求出外接圓半徑，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出，從而得到的長(zhǎng)，結(jié)合及正弦定理得到，從而得到三角形周長(zhǎng).【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，則，解得：，因?yàn)?，由，，可得，，所以，，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?，所以的周長(zhǎng)為.故選：D.9.已知點(diǎn)在直角斜邊上，若，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則可用表示，從而可求其范圍.【詳解】設(shè)，其中，則，從而，故，故選：D.10.已知函數(shù)，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）①函數(shù)在是周期函數(shù)②函數(shù)在上嚴(yán)格增③函數(shù)在取得最大值0，且無最小值④若方程有且僅有兩個(gè)實(shí)根，則A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】做出的圖像,由圖像對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.時(shí),,可由的圖像作關(guān)于軸的對(duì)稱圖像,再向上平移一個(gè)單位得到.當(dāng)時(shí),故是周期為的周期函數(shù),圖像可由時(shí),向右平移一個(gè)單位得到,根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)即可得到圖像.【詳解】的圖像如圖所示:對(duì)于①,因?yàn)?,可得所以函數(shù)在上不是周期函數(shù),故①不正確;對(duì)于②,當(dāng),結(jié)合函數(shù)圖像可知,函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,故②正確;對(duì)于③,通過圖像可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且無最小值，故③正確;對(duì)于④,如圖所示,圖中兩條曲線對(duì)應(yīng)的分別為和,故方程為,有且只有兩個(gè)實(shí)根,則,故④正確.故選:C.11.2022年卡塔爾世界杯稱之為史上最豪的一屆的世界杯，其足球場(chǎng)建設(shè)地美輪美奐，下圖是2022年卡塔爾世界杯第六座完建球場(chǎng)阿圖瑪瑪球場(chǎng)，其形狀可近似看成底面直徑240米，高50米的圓柱體內(nèi)切出一個(gè)底面棱長(zhǎng)為120米的正四棱臺(tái)，其俯視圖如圖所示，則圓柱除去四棱臺(tái)后剩余部分的體積約為多少立方米（）參考數(shù)據(jù)：，，棱臺(tái)體積公式：A.602400 B.1204800 C.1807200 D.301200【答案】B【解析】【分析】依題意得到正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)，再根據(jù)圓柱、棱臺(tái)的體積公式計(jì)算可得.【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑米，高米，正四棱臺(tái)下底面為邊長(zhǎng)為米的正方形，上底面為邊長(zhǎng)為米的正方形，高米，所以圓柱的體積立方米，正四棱臺(tái)的體積立方米，所以剩余部分的體積立方米.故選：B12.已知函數(shù)，，若與圖像的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為，且這些公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，，…，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】B【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，兩函數(shù)作差構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得答案；對(duì)于B，由題意，作圖，可得函數(shù)在處相切，可得方程，結(jié)合三角恒等式，可得答案；對(duì)于C，由題意，作圖，根據(jù)對(duì)稱性以及公共點(diǎn)所在區(qū)間，可得答案；對(duì)于D，利用三角函數(shù)的值域與周期性，可得答案.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，令，則，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)為，同理易知函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)為，即與也恰有一個(gè)公共點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，如下圖：易知在，且，與圖象相切，由當(dāng)時(shí)，，則，，故，從而，所以，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，如下圖：則，，所以，又圖象關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合圖象有，即有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，由，與的圖象在軸右側(cè)的前個(gè)周期中，每個(gè)周期均有個(gè)公共點(diǎn)，共有個(gè)公共點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：B.二、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分.請(qǐng)將正確答案填在答題卷相應(yīng)位置.）13.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是_________________.【答案】2【解析】【詳解】焦點(diǎn)（1，0），準(zhǔn)線方程，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2.14.已知正數(shù)滿足，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】通過等式變換，在將構(gòu)造基本不等式的形式，利用基本不等式求解即可【詳解】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，則由，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為．故答案為：．15.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的最大值為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換和三角恒等變換公式結(jié)合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求解.【詳解】由題可知，，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．故答案為：.16.在新冠疫情政策改變后，某社區(qū)統(tǒng)計(jì)了核酸檢測(cè)為陽性人數(shù)，用表示天數(shù)，表示每天核酸檢測(cè)為陽性的人數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：1234567611213466101196根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，核酸檢測(cè)為陽性的人數(shù)關(guān)于天數(shù)的回歸方程適合用來表示，則其回歸方程為______.參考數(shù)據(jù)：設(shè)，，，參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，….其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，【答案】【解析】【分析】由題可得，然后根據(jù)最小二乘法即得.【詳解】由，可得，設(shè)，則，因?yàn)?，，，所以，，所以，所?故答案為：.三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足的前項(xiàng)和為，求證:．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的定義求解即可；（2）利用裂項(xiàng)相消求和即可.【小問1詳解】設(shè)的首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)，，成等比數(shù)列，可得，又，可得方程組，即，又，解得，故．【小問2詳解】，所以因?yàn)椋裕裕?8.自《“健康中國2030”規(guī)劃綱要》頒布實(shí)施以來，越來越多的市民加入到綠色運(yùn)動(dòng)“健步走”行列以提高自身的健康水平與身體素質(zhì)．某調(diào)查小組為了解本市不同年齡段的市民在一周內(nèi)健步走的情況，在市民中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，部分結(jié)果如下表所示，其中一周內(nèi)健步走少于5萬步的人數(shù)占樣本總數(shù)的歲以上（含45歲）的人數(shù)占樣本總數(shù)的．一周內(nèi)健步走萬步一周內(nèi)健步走萬總計(jì)45歲以上（含45歲）9045歲以下總計(jì)200（1）請(qǐng)將題中表格補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年齡有關(guān);（2）現(xiàn)從樣本中45歲以上（含45歲）的人群中按一周內(nèi)健步走的步數(shù)是否少于5萬步用分層抽樣法抽取8人做進(jìn)一步訪談，然后從這8人中隨機(jī)抽取2人填寫調(diào)查問卷，求抽取的2人中恰有一人一周內(nèi)健步走步數(shù)不少于5萬步的概率．附：0.1500.1000.0500.0252.0722.7063.8415.024，其中．【答案】（1）表格見解析，有的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年軨有關(guān)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)計(jì)算卡方值判斷即可；（2）根據(jù)求得8人中步數(shù)少于5萬步的為2人，不少于5萬步的為6人，再根據(jù)古典概型的公式計(jì)算即可．【小問1詳解】解：由題意得，總?cè)藬?shù)為200，45歲以上（含45歲）的人數(shù)為，45歲以下的人數(shù)為80．一周內(nèi)健步走少于5萬步的人數(shù)為，由此得如下列聯(lián)表：一周內(nèi)健步走5萬步一周內(nèi)健步走<5萬總計(jì)45歲以上（含45歲）903012045歲以下503080總計(jì)14060200故，有的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年軨有關(guān)．【小問2詳解】解：記“抽取的2人中恰有一人一周內(nèi)健步走步數(shù)不少于5萬步”為事件C，∵步數(shù)少于5萬步的人數(shù)與不少于5萬步的人數(shù)比為，∴8人中步數(shù)少于5萬步的為2人，不少于5萬步的為6人∴．19.如圖，在三棱柱中，底面是中點(diǎn)，與相交于點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若四邊形是正方形，，求證：平面平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）欲證明平面，只需證明平行于平面內(nèi)的一條直線即可；（2）欲證明平面平面，只需證明其中的一個(gè)面經(jīng)過垂直于另一個(gè)面的直線即可.【小問1詳解】易知分別為的中點(diǎn)，是的中位線，，平面平面，平面；【小問2詳解】底面平面，又平面，且，平面，又平面，四邊形是正方形，，平面，平面，又平面平面平面.20.如圖，已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，、為橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，．（1）求橢圓的方程；（2）已知經(jīng)過右焦點(diǎn)的直線（不經(jīng)過點(diǎn)）交橢圓于、兩點(diǎn)，交直線：于點(diǎn)，若，求直線的斜率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由結(jié)合求出，再由給定的點(diǎn)求解作答.（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意，，，令右焦點(diǎn)，則，，由，得，而，則，由橢圓過點(diǎn)，得，有，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由（1）知，，依題意，直線斜率存在，設(shè)直線：，，，由消去并整理得：，則，，顯然，，解得，點(diǎn)，則有，所以直線的斜率為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及動(dòng)直線與圓錐曲線相交滿足某個(gè)條件問題，可設(shè)出直線方程，再與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并結(jié)合已知推理求解.21.已知．（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用給定的單調(diào)性列出不等式，再結(jié)合恒成立條件求解作答.（2）根據(jù)給定條件，求出a的取值范圍，將用a表示出，再構(gòu)造函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)推理作答.【小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋李}意，，成立，即，成立，而當(dāng)時(shí)，，因此，而時(shí)，不是常數(shù)函數(shù)，于是得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】由（1）知，，因有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，即有兩不等正根，于是得，有，，，令，，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，因此，使得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，顯然在上單調(diào)遞增，則，因此，即有，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)不等式證明問題，將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理，本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最值問題后，需要通過隱零點(diǎn)代換，進(jìn)而求出函數(shù)的最值，使問題得到解決.以下為選做題：請(qǐng)考生從第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，若，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系式，把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程．

（2）將直線?的參數(shù)方程代入曲線?的方程，利用韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義，代入