內(nèi)蒙古呼和浩特市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期質(zhì)量普查調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題（含解析）

2023屆呼和浩特市高三年級(jí)質(zhì)量普查調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)第一卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解出集合，用交集運(yùn)算法則即可求得.【詳解】由集合解得，，又集合，所以.故選：D2.若，則下列說法正確的是（）A.復(fù)數(shù)z的模為 B.C.復(fù)數(shù)z的虛部為－i D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算可化簡得，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.詳解】由得，所以，故A錯(cuò)誤，，故B正確，復(fù)數(shù)z的虛部為1，故C錯(cuò)誤，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，故D錯(cuò)誤，故選：B3.已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（－5，m），且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義先求出的值，從而求出的值，再由二倍角公式化簡然后代入即可得出答案.【詳解】角終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，所以角的終邊在第三象限，則.，解得,所以，.故選：C4.已知，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得，再求出，代入公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，又，，所以，設(shè)與的夾角為，所以，所以.故選：B.5.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及臨界值0和1，判斷即可【詳解】由題意，，故故故選：B6.數(shù)列中，如果，則Sn取最大值時(shí)，n等于（）A.23 B.24 C.25 D.26【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】由題意可知：數(shù)列是以45為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，關(guān)于的二次函數(shù)，開口向下，對(duì)稱軸，所以當(dāng)時(shí)，最大，即數(shù)列的前項(xiàng)和最大，故選：.7.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是其漸近線上的一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線距離結(jié)合雙曲線的幾何意義求解即可.【詳解】由題可知，雙曲線漸近線為，則右焦點(diǎn)到漸近線距離為，所以，故選：A．8.小明同學(xué)學(xué)以致用，欲測(cè)量學(xué)校教學(xué)樓高度，他采用了如圖所示的方式來進(jìn)行測(cè)量，小明同學(xué)在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上選取相距20米的C，D兩觀測(cè)點(diǎn)，且C，D與教學(xué)樓底部B在同一水平面上，在C，D兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得教學(xué)樓頂部A的仰角分別為，，并測(cè)得，則教學(xué)樓AB的高度是（）A.20米 B.米 C.米 D.25米【答案】A【解析】【分析】根據(jù)仰角可得，，在三角形利用余弦定理即可求解.【詳解】設(shè)教學(xué)樓的高度為，在直角三角形中，因?yàn)?，所以，在直角三角形中，因?yàn)?，所以，所以，在中，由余弦定理可得，代入?shù)值可得解得或（舍），故選:A.9.已知函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作，如圖，則輸出的S值為（）A.42 B.43 C.44 D.45【答案】D【解析】【分析】根據(jù)程序框圖的運(yùn)行過程，得出輸出結(jié)果是累加計(jì)算得S的值.詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D10.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，所以切線方程為，即.故選：D11.已知函數(shù)，則“”是“對(duì)恒成立”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出“對(duì)恒成立”的的取值，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷選項(xiàng).【詳解】若對(duì)恒成立，則解得，是的真子集，所以“”是“對(duì)恒成立”的必要不充分條件.故選:C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．12.定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有，且，，則的值為（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，進(jìn)而可得，，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性可得，進(jìn)而可得的值，根據(jù)周期性即一個(gè)周期內(nèi)的和，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，滿足，則，故，即函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，則，,又由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則，進(jìn)而有，則有，則.故選：A．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是______．【答案】4【解析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影（含邊界），其中點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為2，縱截距為的平行直線系，畫直線，平移直線到直線，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，的縱截距最小，z最大，則，所以的最大值是4.故答案為：414.已知圓C與圓相切于原點(diǎn)，且過點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)已知圓的圓心為，可得、、共線，故圓心在直線上，設(shè)所求的圓的圓心為，又所求的圓過點(diǎn)，可得圓心還在直線上，故可得圓心坐標(biāo)為，求得半徑的值，可得圓的方程．【詳解】解：圓，即：，故圓心．根據(jù)兩圓相切于原點(diǎn)，可得、、共線，故圓心在直線上，設(shè)所求的圓的圓心為，又圓過點(diǎn)，又過原點(diǎn)，故圓心還在直線上，故，半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故答案為：．15.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于的結(jié)論正確的序號(hào)為______.①的最小正周期為；②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③若且，則；④的圖象向左平移θ（θ＞0）個(gè)單位得到的圖象，若圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，則θ的最小值為.【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合正弦型函數(shù)的對(duì)稱性、圖象變換性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以由正弦型函?shù)的周期公式可知：，即，由，因?yàn)?，所以令，所以，?因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以①正確；因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，因此②不對(duì)；因?yàn)?，所以關(guān)于該函數(shù)的一條對(duì)稱軸對(duì)稱，令，因?yàn)?，所以令，即?duì)稱軸為：，，所以③正確；因?yàn)榈膱D象向左平移θ（θ＞0）個(gè)單位得到的圖象，所以，因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱中心是，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，θ的最小值為，因此④正確，故答案為：①③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)經(jīng)過的零點(diǎn)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.16.已知P是半徑為1圓心角為的一段圓弧AB上的一點(diǎn)，若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，然后求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)?，且，所以，又，所以，在中，因?yàn)?，所以，，則，所以，設(shè)，則，又，所以，則，即的取值范圍是，故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17－21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.如圖，在梯形中，．（1）求的值；（2）若的面積為4，求的長．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理結(jié)合條件可得答案.

（2）在梯形中，由條件可得，由（1）先求出，由，可求出，由面積公式可求出，再由余弦定理可得答案.【詳解】（1）在中，由正弦定理知，，所以，因?yàn)?，即．?）在中，，則為銳角因?yàn)椋裕谔菪沃校?則所以，顯然為銳角，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?8.已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，得到，兩式相減求得，得到即，驗(yàn)證適合上式，即可求解；（2）由（1）得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，求得則，即可證得．【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減得，即，顯然適合上式，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，則，因?yàn)椋?，即?9.用水清洗果蔬上殘留的農(nóng)藥.對(duì)用一定量的水清洗一次的效果做如下假定：用1個(gè)單位量的水可以洗掉果蔬上殘留農(nóng)藥的一半，用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在果蔬上.設(shè)用單位量的水清洗一次以后，果蔬上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥的農(nóng)藥量的比值為函數(shù).（1）試規(guī)定的值，并解釋其實(shí)際意義.（2）試根據(jù)假定寫出函數(shù)應(yīng)該滿足的條件或性質(zhì)（三條）.（3）設(shè)，現(xiàn)有單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次，試問：用那種方案清洗后果蔬上殘留的農(nóng)藥比較少？說明理由.【答案】（1）規(guī)定，表示沒有用水洗時(shí)，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量保持原樣；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得；（2）由題意可得=1，，在上單調(diào)遞減；（3）根據(jù)條件可得兩種方法殘留的農(nóng)藥量，利用作差法即得結(jié)論.【小問1詳解】由題意，規(guī)定，表示沒有用水洗時(shí)，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量保持原樣.【小問2詳解】根據(jù)題意，函數(shù)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)是：=1，，在上單調(diào)遞減，.【小問3詳解】設(shè)僅清洗一次，殘留的農(nóng)藥量為，清洗兩次，殘留的農(nóng)藥量為，由可知，當(dāng)時(shí)，清洗兩次后殘留的農(nóng)藥量較少，當(dāng)時(shí)，兩種清洗方法殘留的農(nóng)藥量相同，當(dāng)時(shí)，一次清洗后殘留的農(nóng)藥量較少.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）【解析】【分析】（1）代入的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)說明的取值情況，即可得到的單調(diào)性；（2）令，問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍即可．【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，且當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】解：因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不同的根，即關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解，當(dāng)時(shí)，方程不成立，所以，令，，則與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，又，令，解得或，令，得或，所以在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是．21.已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)F與拋物線的焦點(diǎn)重合.（1）求橢圓C的方程；（2）A、B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率不為0的直線交橢圓C于點(diǎn)M、N，直線AM與直線x＝4交于點(diǎn)P.記PA、PF、BN的斜率分別為k1、k2、k3，是否為定值？并說明理由.【答案】（1）（2）是定值，理由見解析【解析】【分析】（1）由題意可知，再根據(jù)離心率為可求，進(jìn)而可求橢圓方程；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，的值，聯(lián)立直線與直線，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的表達(dá)式，代入已知求解即可．小問1詳解】設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以．因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以，所以橢圓的方程為．【小問2詳解】設(shè)，，，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€交橢圓于，兩點(diǎn)，所以，所以，，所以．直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．設(shè)，則，所以，即為定值.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，則按所做第一題計(jì)分.[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓的方程為.（1）求圓的參數(shù)方程；（2）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，求弦長.【答案】（1）（為參數(shù)）；（2）.【解析】【分析】（1）先將圓的極坐標(biāo)方程化為普通方程，并化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心和半徑，即可寫出圓的參數(shù)方程；（2）將直線的參數(shù)方程與圓的普通方程聯(lián)立，得到關(guān)于的二次方程，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可計(jì)算出.【詳解】（1），．所以，圓的直角坐標(biāo)方程為，即，所以，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，得，即，設(shè)兩交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，考查直線參數(shù)方程的幾何意義，常將