2024屆深圳市龍崗區(qū)高考壓軸卷數學試題

2024屆深圳市龍崗區(qū)高考壓軸卷數學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，若關于的不等式恰有1個整數解，則實數的最大值為（）A．2 B．3 C．5 D．82．我國宋代數學家秦九韶（1202-1261）在《數書九章》（1247）一書中提出“三斜求積術”，即：以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積.其實質是根據三角形的三邊長，，求三角形面積，即.若的面積，，，則等于（）A． B． C．或 D．或3．已知拋物線,過拋物線上兩點分別作拋物線的兩條切線為兩切線的交點為坐標原點若,則直線與的斜率之積為（）A． B． C． D．4．設，均為非零的平面向量，則“存在負數，使得”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成進行分析，隨機抽取了200分到450分之間的2000名學生的成績，并根據這2000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，則成績在，內的學生人數為（）A．800 B．1000 C．1200 D．16006．在中所對的邊分別是，若，則（）A．37 B．13 C． D．7．設且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．8．如圖，在△ABC中，點M是邊BC的中點，將△ABM沿著AM翻折成△AB'M，且點B'不在平面AMC內，點P是線段B'C上一點.若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，則直線AP經過△AB'CA．重心 B．垂心 C．內心 D．外心9．將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．10．執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．11．已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經過點，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．12．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示的流程圖中，輸出的值為______.14．的展開式中的常數項為_______．15．函數的單調增區(qū)間為__________.16．已知，復數且（為虛數單位），則__________，_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二階矩陣A=abcd，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為α118．（12分）已知橢圓的右焦點為,過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點,線段的中點為為坐標原點.（1）證明:點在軸的右側;（2）設線段的垂直平分線與軸、軸分別相交于點.若與的面積相等,求直線的斜率19．（12分）在平面直角坐標系中，將曲線（為參數）通過伸縮變換，得到曲線，設直線（為參數)與曲線相交于不同兩點，.（1）若，求線段的中點的坐標；（2）設點，若，求直線的斜率.20．（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求；（2）若，求.21．（12分）設函數.（1）若恒成立，求整數的最大值；（2）求證：.22．（10分）如圖，在四棱錐中，側面為等邊三角形，且垂直于底面，，分別是的中點.（1）證明：平面平面；（2）已知點在棱上且，求直線與平面所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

畫出函數的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數形結合即可得出.【題目詳解】解：函數，如圖所示當時，，由于關于的不等式恰有1個整數解因此其整數解為3，又∴，，則當時，，則不滿足題意；當時，當時，，沒有整數解當時，，至少有兩個整數解綜上，實數的最大值為故選：D【題目點撥】本題主要考查了根據函數零點的個數求參數范圍，屬于較難題.2、C【解題分析】

將，，，代入，解得，再分類討論，利用余弦弦定理求，再用平方關系求解.【題目詳解】已知，，，代入，得，即，解得，當時，由余弦弦定理得：，.當時，由余弦弦定理得：，.故選：C【題目點撥】本題主要考查余弦定理和平方關系，還考查了對數學史的理解能力，屬于基礎題.3、A【解題分析】

設出A，B的坐標，利用導數求出過A，B的切線的斜率，結合，可得x1x2＝﹣1．再寫出OA，OB所在直線的斜率，作積得答案．【題目詳解】解：設A（），B（），由拋物線C：x2＝1y，得，則y′．∴，，由，可得，即x1x2＝﹣1．又，，∴．故選：A．點睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質，考查直線和拋物線的位置關系，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是解題的思路，由于與切線有關，所以一般先設切點，先設A,B,,再求切線PA,PB方程，求點P坐標，再根據得到最后求直線與的斜率之積.如果先設點P的坐標，計算量就大一些.4、B【解題分析】

根據充分條件、必要條件的定義進行分析、判斷后可得結論．【題目詳解】因為，均為非零的平面向量，存在負數，使得，所以向量，共線且方向相反，所以，即充分性成立；反之，當向量，的夾角為鈍角時，滿足，但此時，不共線且反向，所以必要性不成立．所以“存在負數，使得”是“”的充分不必要條件．故選B．【題目點撥】判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p，定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時注意選擇恰當的方法判斷命題是否正確．5、B【解題分析】

由圖可列方程算得a，然后求出成績在內的頻率，最后根據頻數=總數×頻率可以求得成績在內的學生人數.【題目詳解】由頻率和為1，得，解得，所以成績在內的頻率，所以成績在內的學生人數.故選：B【題目點撥】本題主要考查頻率直方圖的應用，屬基礎題.6、D【解題分析】

直接根據余弦定理求解即可．【題目詳解】解：∵，∴，∴，故選：D．【題目點撥】本題主要考查余弦定理解三角形，屬于基礎題．7、A【解題分析】項，由得到，則，故項正確；項，當時，該不等式不成立，故項錯誤；項，當，時，，即不等式不成立，故項錯誤；項，當，時，，即不等式不成立，故項錯誤．綜上所述，故選．8、A【解題分析】

根據題意P到兩個平面的距離相等，根據等體積法得到SΔPB'M【題目詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，故P到兩個平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM，即故B'P=CP，故P為CB'中點.故選：A.【題目點撥】本題考查了二面角，等體積法，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.9、B【解題分析】設折成的四棱錐的底面邊長為，高為，則，故由題設可得，所以四棱錐的體積，應選答案B．10、D【解題分析】

根據框圖，模擬程序運行，即可求出答案.【題目詳解】運行程序，，

，，，，，結束循環(huán)，故輸出，故選：D.【題目點撥】本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結構，條件分支結構，屬于中檔題.11、B【解題分析】

先根據平面的基本性質確定平面，然后利用面面平行的性質定理，得到截面的形狀再求解.【題目詳解】如圖所示：確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【題目點撥】本題主要考查平面的基本性質，面面平行的性質定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.12、D【解題分析】

根據指數函數、對數函數、冪函數的單調性和正余弦函數的圖象可確定各個選項的正誤.【題目詳解】對于，，，錯誤；對于，在上單調遞減，，錯誤；對于，，，，錯誤；對于，在上單調遞增，，正確.故選：.【題目點撥】本題考查根據初等函數的單調性比較大小的問題；關鍵是熟練掌握正余弦函數圖象、指數函數、對數函數和冪函數的單調性.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】

根據流程圖依次運行直到，結束循環(huán)，輸出n，得出結果.【題目詳解】由題：，，，結束循環(huán)，輸出.故答案為：4【題目點撥】此題考查根據程序框圖運行結果求輸出值，關鍵在于準確識別循環(huán)結構和判斷框語句.14、【解題分析】

寫出展開式的通項公式，考慮當的指數為零時，對應的值即為常數項.【題目詳解】的展開式通項公式為：，令，所以，所以常數項為.

故答案為：.【題目點撥】本題考查二項展開式中指定項系數的求解，難度較易.解答問題的關鍵是，能通過展開式通項公式分析常數項對應的取值.15、【解題分析】

先求出導數，再在定義域上考慮導數的符號為正時對應的的集合，從而可得函數的單調增區(qū)間.【題目詳解】函數的定義域為.，令，則，故函數的單調增區(qū)間為：.故答案為：.【題目點撥】本題考查導數在函數單調性中的應用，注意先考慮函數的定義域，再考慮導數在定義域上的符號，本題屬于基礎題.16、【解題分析】∵復數且∴∴∴∴，故答案為，三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、A=【解題分析】

運用矩陣定義列出方程組求解矩陣A【題目詳解】由特征值、特征向量定義可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩陣【題目點撥】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運用定義得出方程組即可求出結果，較為簡單18、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數的關系求出點的橫坐標即可證出；（2）根據線段的垂直平分線求出點的坐標，即可求出的面積，再表示出的面積，由與的面積相等列式，即可解出直線的斜率．【題目詳解】（1）由題意，得，直線（）設，，聯(lián)立消去，得，顯然，，則點的橫坐標，因為，所以點在軸的右側．（2）由（1）得點的縱坐標．即．所以線段的垂直平分線方程為：．令，得；令，得．所以的面積，的面積．因為與的面積相等，所以，解得．所以當與的面積相等時，直線的斜率．【題目點撥】本題主要考查直線與橢圓的位置關系的應用、根與系數的關系應用，以及三角形的面積的計算，意在考查學生的數學運算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由l參數方程與橢圓方程聯(lián)立可得A、B兩點參數和，再利用M點的參數為A、B兩點參數和的一半即可求M的坐標；（2）利用直線參數方程的幾何意義得到，再利用計算即可，但要注意判別式還要大于0.【題目詳解】（1）由已知，曲線的參數方程為（為參數），其普通方程為，當時，將（為參數）代入得，設直線l上A、B兩點所對應的參數為，中點M所對應的參數為，則，所以的坐標為；（2）將代入得，則，因為即，所以，故，由得，所以.【題目點撥】本題考查了伸縮變換、參數方程與普通方程的互化、直線參數方程的幾何意義等知識，考查學生的計算能力，是一道中檔題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）根據正弦定理到，得到答案.（2）計算，再利用余弦定理計算得到答案.【題目詳解】（1）由，可得,因為，所以，所以.（2），又因為，所以.因為，所以，即.【題目點撥】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學生的計算能力.21、（1）整數的最大值為；（2）見解析.【解題分析】

（1）將不等式變形為，構造函數，利用導數研究函數的單調性并確定其最值，從而得到正整數的最大值；（2）根據（1）的結論得到，利用不等式的基本性質可證得結論.【題目詳解】（1）由得，令，，令，對恒成立，所以，函數在上單調遞增，，，，，故存在使得，即，從而當時，有，，所以，函數在上單調遞增；當時，有，，所以，函數在上單調遞減.所以，，，因此，整數的最大值為；（2）由（1）知恒成立，，令則，，，，，上述等式全部相加得，所以，，因此，【題目點撥】本題考查導數在函數單調性、最值中的應用，以及放縮法證明不等式的技巧，屬于難題．22、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）由