《第十二章復(fù)數(shù)、算法、推理與證明》章節(jié)訓(xùn)練習(xí)題

《第十二章復(fù)數(shù)、算法、推理與證明》章節(jié)訓(xùn)練習(xí)題

第1講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

［基礎(chǔ)題組練］

1.設(shè)i為虛數(shù)單位，則(—l+i)(l+i)=()

A.2iB.-2i

C.2D.-2

解析：選D.(—l+i)(l+i)=—l—i+i+i2=—l—l=-2.故選D.

2.設(shè)z=—3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)？對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析：選C.由題意，得，=一3—2。其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(—3,-2),

位于第三象限，故選C.

3.若復(fù)數(shù)z=y￡-+l為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=()

1+1

A.-2B.-1

C.1D.2

解析：選A.因?yàn)閺?fù)數(shù)2=僚+1=(1；；—(L)+V+1-貢為純

虛數(shù)，所以］+1=0且一］#0,解得a=-2.故選A.

4.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=2,則復(fù)數(shù)z的虛部為()

A.1B.-1

C.iD.-i

解析：選B.法一：因?yàn)?l+i)z=2,所以z=4~=C=1

一i,則復(fù)數(shù)z的虛部為一1.故選B.

法二：設(shè)z=a+bi(a,6CR),則(l+i)(a+6i)=a—6+(a+A)i=2,

［a—b=2,

,,八解得a=l,b=-l,所以復(fù)數(shù)z的虛部為一1.故選B.

Ia+Z?=O,

5.若復(fù)數(shù)z滿足產(chǎn)-=「其中i為虛數(shù)單位，則共朝復(fù)數(shù)，=()

1—1

A.1+iB.1-i

C.-1-iD.-1+i

解析：選B.由題意，得z=i(1—i)=l+i,所以z=l-i,故選B.

6.已知=a+8i(a,ZJGR,i為虛數(shù)單位)，則a+8=()

A.-7B.7

C.-4D.4

(2平44

解析:選A.因?yàn)椋?+J=l+v+p=—3—4i,

所以一3—4i=a+Ai,則a=-3,6=—4,

所以a+6=—7,故選A.

7.已知i為虛數(shù)單位，則一(2+4」3二4i)一=()

z—1

A.5B.5i

7127,12

C.——iD.—i

oobb

田、+(2+i)(3-4i)10-5ig…

解析：選A.法一：---------:------=—~—=5,故選A.

2—12—1

』(2+i)(3—4i)(2+i)2(3-4i)(3+4i)(3—4i)

2-i(2+i)(2-i)5

故選A.

8.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=()

A.1B.2

C.^/2D.小

?Q*/I?X

解析：選C.因?yàn)閦=1j?=c：.、-7T~77—=l+i,所以【z|=蛆.故選

I十1(1十1)(I—1)Y

c.

9.已知aWR,i是虛數(shù)單位.若2=且+<1,z?z=4,則a=()

A.1或一1B.小或一小

C.-yfiD.^3

解析：選A.法一：由題意可知z=a—/i,所以z=（a+小i）（a一小

i）=a2+3=4,故a=l,或一1.

法二：z?z=Iz|:=a2+3=4,故a=l或一1.

2

10.設(shè)z=l+i(i是虛數(shù)單位)，則z2——=()

z

A.l+3iB.l-3i

C.—1+3iD.-l-3i

22

解析：選C.因?yàn)閦=l+i,所以?=(H-i)-l+2i+f=2i,-=7^=

2(1-i)2(1-i)2(1-i)2

則z—=2i-(1—i)

(1+i)(1-i)=-1-i2=2-z

l+3i.故選C.

11.若復(fù)數(shù)z滿足（3—4i）z=〔4+3i|,則z的虛部為（）

4

A4B

5-

c.4D-5

解析:選D.因?yàn)?4+3i|="+32=5,所以z=;^-=(+

O什_1xOxJ./\O-IixJ.z

3+4i3,4.一”4.且4

=-；-EK所以z的虛部為三.

□0=0+，0

12.設(shè)復(fù)數(shù)z“Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，?=2+i,則亙=()

Z2

,3,4

A.1+iB.7+71

55

44

C.I+71D.l+~i

06

解析：選B.因?yàn)閺?fù)數(shù)&在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，?=2+i,

,,2+i(2+i)23,4

所rr以Zz=2-i,所以一=;^~r=-------=-+-i,故選B.

Zi2—1555

13.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，=|1—i|+i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)

解析：復(fù)數(shù)Z滿足z=11—i|+i=/+i,則復(fù)數(shù)Z=/—i.

答案：小一i

14.設(shè)z=±pH（i為虛數(shù)單位），則|z|=.

11—i1—i11

解析：因?yàn)閦="j7；7-+i=-T,~丁+i=-廠+i=$+5i,所以|z|

1十1（1十1）k1—1）zzz

答案:乎

15.已知復(fù)數(shù)z=（］+i）?（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線X—

2y+/=0上，則m=.

叼上4+2i4+2i（4+2i）i?有必”行

角牛析：Z=/11?\2=一5.?2=1——21,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)

的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,—2）,將其代入x—2y+/?=0,得必=—5.

答案：一5

一，4i

當(dāng)復(fù)數(shù)（加）（而一））的模最小時(shí)，一=.

16.z=+3+1iEeRz-------

解析：|z\=N（加+3）：'+（加一1）

=72褶+4nH~歷=72（加+1）-+8,

所以當(dāng)加=—1時(shí)，|2京=2地，

Ai4i4i（2+2i）,

所以一=-丁=----o-------=-1+i.

zz—21o

答案：一1+i

［綜合題組練］

1.（綜合型）若實(shí)數(shù)a,b,c滿足a?+a+歷<2+ci（其中i2=—l）,集合Z

={x\x=a\,B=［x\x=b+c\,則/門［M為（）

A.0B.{0}

C.{%|-2<%<1}D.{矛|一2〈矛<0或00<1}

解析：選D.由于只有實(shí)數(shù)之間才能比較大小，故才+a+歷<2+

—4+方=<2,3解得1—2〈水L

ci5,八因此/={*|—2〈矛<1},B={0},故/C[R8={X]

.b=c=0,

—2<K1}O{x|x￡R,#0}={x|—2<x<0或0<x<l}.

2.(綜合型)若虛數(shù)(x—2)+yj(x,yWR)的模為出，則細(xì)最大值是()

A.乎

1

C2

解析：選D.因?yàn)?x—2)+yi是虛數(shù),

所以y^O,

又因?yàn)镮(x—2)+yiI=A/3,

所以(X—2)2+/=3.

因?yàn)椋凼菑?fù)數(shù)x+川對應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,

所以=tanN,

.4切max

所以上的最大值為

X

3.-3+21是方程2/+小+,=0的一個(gè)根，且p,qGR,則p+q=

解析：由題意得2(—3+2i)2+p(—3+2i)+q=0,

即2(5-12i)-3p+2pi+9=0,

即(10—30+(?)+(—24+22)i=0,

10—3p+7=0,

所以,所以2=12,<7=26,所以夕+g=38.

24+2p=0.

答案:38

i+i2+i3+***+i2018

4.已知復(fù)數(shù)z一,則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為

1+i

解析：因?yàn)榍?'+造+2+追+3+逮+4=1+1+[3+父=0,而2018=4X504

+2,

i+i2+i3+-+i2018i+i2-1+i

所以Z=----------Y+i----------

(—1+i)(1—i)2i./、

=/I?\7"j丁=~^~~i9對應(yīng)的點(diǎn)為(0,1).

(11+19(1—1)/

答案：(0,1)

39

5.復(fù)數(shù)(10—4)i,@="j-----+(2a—5)i,若z】+z2是實(shí)數(shù)，求

a十51—43

實(shí)數(shù)a的值.

_39

解：z[+港=-_LE+(才—1°)1+；----+(2a—5)i

a十51—a

32

+[(a2—10)+(2a—5)]i

a+51-包

a—13.79,^、.

(a+5)(a-l)+3+2a—15)i.

因?yàn)閆1+zz是實(shí)數(shù)，

所以，+2a—15=0,

解得a=—5或a=3.

因?yàn)閍+5W0,

所以aW—5,故a=3.

6.若虛數(shù)z同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：

①z+-是實(shí)數(shù)；

Z

②z+3的實(shí)部與虛部互為相反數(shù).

這樣的虛數(shù)是否存在？若存在，求出z；若不存在，請說明理由.

解：這樣的虛數(shù)存在，z=-1—2i或z=-2—i.

設(shè)z=a+bi(a,bGR且8W0),

55

z+~=a+bi+――7T

za+bi

5(a—bi)

=a+6id

“6

。+++(8-磊｝

5

因?yàn)閦+q是實(shí)數(shù)，所以6—萬下=0.

又因?yàn)?W0,所以才+下=5.①

又z+3=(a+3)+bi的實(shí)部與虛部互為相反數(shù),

所以a+3+b=0.②

a+b+3=0,

由①②得<

.#+萬=5,

a=-1,

解得

b=-2

故存在虛數(shù)z,z=-1—2i或z=-2—i.

第2講算法與程序框圖

［基礎(chǔ)題組練］

1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的x=-10,則輸出的y=()

A.0B.1

C.8D.27

解析：選C.開始x=-10,滿足條件xWO,x=—7；滿足條件xWO,x=一

4；滿足條件xWO,x=-1；滿足條件xWO,x=2,不滿足條件xWO,不滿足條

件x>3,尸2'=8.故輸出的y=8.故選C.

2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出S的值是()

民2

AC.

1

D

2一

解析：選B.運(yùn)行框圖，首先給變量S,A賦值，5=2,k=2015.判斷2015C2

018,k=2015+1=2016,判斷2016<2018,S=;——^-7-

1—21—(-1)

=；,k=2016+1=2017,判斷2017〈2018,5=-^=2,k=2017+1=2

018,判斷2018〈2018不成立，輸出S,此時(shí)5=2.故選B.

3.執(zhí)行如圖程序框圖，若輸入的〃為2018,則輸出的是（）

A.前1008個(gè)正偶數(shù)的和

B.前1009個(gè)正偶數(shù)的和

C.前2016個(gè)正整數(shù)的和

D.前2018個(gè)正整數(shù)的和

解析：選B.模擬程序的運(yùn)行過程知，該程序運(yùn)行后計(jì)算并輸出S=2+4+6

+???+2018的值.故選B.

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出了的值為2,則輸入x的最大值是（）

A.5

C.11D.22

x

x〉8,

解析：選D.執(zhí)行該程序可知，解得一即8<xW22,所

宴T-2W3,22，

以輸入x的最大值是22.

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為一4時(shí)，條件框內(nèi)應(yīng)填寫（）

/輸出s/

A.y>3?B.y<5?

C.7>4?D.7<4?

解析：選D.由程序框圖可知，5=10,7=1；5=8,7=2；5=4,7=3；S=

一4,/=4.由于輸出的S=-4.故應(yīng)跳出循環(huán)，故選D.

6.若［x］表示不超過x的最大整數(shù)，則如圖中的程序框圖運(yùn)行之后輸出的結(jié)

果為（）

A.600B.400

C.15D.10

解析：選B.根據(jù)題意，得[不]=[4.975]=4,所以該程序框圖運(yùn)行后輸出

的結(jié)果是40個(gè)0,40個(gè)1,40個(gè)2,40個(gè)3,40個(gè)4的和，所以輸出的結(jié)果為

5=40+40X2+40X3+40X4=400.故選B.

7.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的a=-l,則輸出的S=()

/輸入a/

/輸疝S/

結(jié)束

A.2B.3

C.4D.5

解析：選B.由程序框圖可得S=0,a=-l,仁1<6；

S=0+(—1)X1=—1,a=l,4=2W6；

S=-1+1X2=1,a=-l,4=3W6；

5=l+(-l)X3=-2,a=l,4=4W6；

S=—2+1X4=2,a=—1,{=5W6；

5=2+(-l)X5=-3,a=l,4=6W6；

5=-3+1X6=3,a=—\,4=7>6,退出循環(huán)，輸出S=3.故選B.

8.“歐幾里得算法”是有記載的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，

如圖所示的程序框圖的算法思路就是來源于“歐幾里得算法”.執(zhí)行該程序框圖

（圖中“aM0D8”表示a除以8的余數(shù)），若輸入的a,6分別為675,125,則輸

出的a=（）

A.0

C.50

解析：選B.初始值：a=675,6=125,第一次循環(huán)：c=50,a=125,8=50；

第二次循環(huán)：c=25,a=50,8=25；第三次循環(huán)：c=0,a=25,b=0,此時(shí)不

滿足循環(huán)條件，退出循環(huán).輸出a的值為25,故選B.

9.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的x=0,y=l,〃=1,則輸出x,y的值

滿足（）

A.y=2x

C.y=\xD.y=5x

解析：選C.x=0,y=l,A=1,x=0,y=l,n=2；

133

x=~,y=2,72=3；x=~,『=6,此時(shí)/+/>36,輸出x=~,y=6,滿足

y=4x.故選C.

10.如圖程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更

相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a,8分別為14,18,則輸出的a=（)

A.0B.2

C.4D.14

解析：選B.開始：a=14,8=18,

第一次循環(huán)：a=14,6=4；第二次循環(huán)：a=10,6=4；

第三次循環(huán)：a=6,b=4；第四次循環(huán)：a=2,8=4；

第五次循環(huán)：a=2,8=2.

此時(shí)，a=b,退出循環(huán)，輸出a=2.

11.中國古代名著《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”問

題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，

七七數(shù)之剩二，問物幾何？”即“有數(shù)被三除余二，被五

除余三，被七除余二，問該數(shù)為多少？”為解決此問題，

現(xiàn)有同學(xué)設(shè)計(jì)如圖所示的程序框圖，則框圖中的/輸出a/

“O”處應(yīng)填入（）

A.a^-r—2ezB.a-—772-ez”

ZJ11U

a~2a-2

C.D.GZ

7ez

解析：選A.根據(jù)題意可知，此程序框圖的功能是找一個(gè)滿足下列條件的數(shù)

a：a=3k+2,a=5〃+3,a=7zzz+2,k,n,根據(jù)程序框圖可知，數(shù)a已

經(jīng)滿足a=5〃+3,77GZ,所以還要滿足a=3A+2,和a=7加+2,并

且還要用一個(gè)條件給出，即a-2既能被3整除又能被7整除，所以a-2能被

21整除，故在“＜〉”處應(yīng)填入:「GZ,選A.

12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是7,則判斷框內(nèi)力的取值范

圍是（）

/輸出k/

(30,42]

(42,56]

解析：選A.4=1,S=2,k=2,S=2+4=6,k=3,5=6+6=12,k=4,

S=12+8=20,k=5,S=20+10=30,k=6,S=30+12=42,k=7,此時(shí)不滿

足S=42〈R退出循環(huán)，所以30〈加W42,故選A.

13.程序框圖如圖，若輸入的S=l,k=l,則輸出的S為.

/輸入s#/

/輸出s/

,1

解析：第一次循環(huán)，A=2,5=4；第二次循環(huán)，k=3,5=11；第三次循環(huán),

4=4,S=26；第四次循環(huán)，k=5,S=57.此時(shí)，終止循環(huán)，輸出的S=57.

答案：57

14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s的值為

n^2017?

/輸出s/

n=n+l

Z?JI

解析：依題意，數(shù)列卜in亍;的項(xiàng)以6為周期重復(fù)出現(xiàn)，且前6項(xiàng)和等于

nn

0,因?yàn)?017=6X336+1,所以數(shù)列sin不一的前2017項(xiàng)和等于336X0+

O

nA/3n冗

sin執(zhí)行題中的程序框圖，輸出s的值等于數(shù)列sin.的前2017

0ZJ

15.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為

解析：第一步：s=l—1=0,t=l+l=2,x=0,y=2,A=l<3；

第二步：s=—2,t=2,x=~2,y=2,A=2<3；

第三步：s=—4,t=Q,x=—4,y=0,k=3,結(jié)束循環(huán).故輸出的結(jié)果為

（—4,0）.

答案：（一4,0）

16.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，設(shè)輸出的數(shù)據(jù)構(gòu)成的集合為力,從集合力中

任取一個(gè)元素a,則函數(shù)尸xe[0,+8）是增函數(shù)的概率為.

解析：執(zhí)行程序框圖，X=—3,y=3；x=—2,y=0；x=—i,y=-1；x

=0,y=0；x=l,y=3；x=2,y=8；x=3,y=15；x=4,退出循環(huán).則集合

/中的元素有一1,0,3,8,15,共5個(gè)，若函數(shù)尸xe［0,+8）為增函

3

數(shù),則a＞。,所以所求的概率為多

3

答案/

［綜合題組練］

1.《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)名著，體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的數(shù)學(xué)智慧，其

中有一竹節(jié)容量問題，某教師根據(jù)這一問題的思想設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖,

若輸出的加的值為35,則輸入的a的值為（）

/輸出m/

A.4B.5

C.7D.11

解析：選A.起始階段有勿=2a—3,/=1,

第一次循環(huán)，加=2(2a—3)—3=4a—9,7=2；

第二次循環(huán)，m=2(4a—9)—3=8a—21,7=3；

第三次循環(huán)，m=2(8a—21)—3=16a—45,7=4；

接著計(jì)算m=2(16a—45)-3=32a—93,跳出循環(huán)，

輸出力=32a—93,令32a—93=35,得a=4.

2.執(zhí)行兩次如圖所示的程序框圖，若第一次輸入的x的值為7,第二次輸

入的x的值為9,則第一次、第二次輸出的a的值分別為()

匣

/輸入整數(shù)，/

I6=2|

A.0,0B.1,1

C.0,1D.1,0

解析：選D.當(dāng)輸入x=7時(shí)，b=2,因?yàn)椴怀闪⑶襵不能被6整除，

故6=3,這時(shí)成立，故a=l,輸出a的值為1.當(dāng)輸入x=9時(shí)，6=2,因

為不成立且x不能被6整除，故6=3,這時(shí)不成立且刀能被8整

除，故a=0,輸出a的值為0.

3.南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多項(xiàng)式

求值比較先進(jìn)的算法.已知/U)=2018”+2017/0,6+-+2^+1,如圖所

示的程序框圖是求/'(%)的值，在中應(yīng)填的語句是()

/輸入苑/

|i=l,n=2O18|

A.n=iB.n=i+1

C.n=2018-7D.n=2017-7

解析：選C.由秦九韶算法得/'(x)=2018y017+2017/016+-+2^+1=

(??,((2018x+2017)x+2016)x+…+2)x+l,所以程序框圖的執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填

寫的語句是〃=2018-7,故選C.

4.(綜合型)如圖的程序框圖的算法思路源于我國古代著名的“孫子定

理”.圖中的ModGV,m)=n表示正整數(shù)/V除以正整數(shù)勿后的余數(shù)為n,例如

Mod(10,3)=1.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的,等于()

I?=2I

/輸出i/

A.23B.38

C.44D.58

解析:選A.執(zhí)行程序框圖，/=2,Mod(2,3)=2,Mod(2,5)=2W3,43,

Mod(3,3)=0W2,2=4,Mod(4,3)=1W2,2=5,Mod(5,3)=2,Mod(5,5)=

0W3,7=6,Mod(6,3)=0W2,7=7,Mod(7,3)=1W2,7=8,Mod(8,3)=

2,Mod(8,5)=3,Mod(8,7)=1W2,7=9,Mod(9,3)=0W2,7=10,Mod(10,

3)=1W2,7=11,Mod(11,3)=2,Mod(11,5)=1W3,7=12,Mod(12,3)=

0W2,1=13,Mod(13,3)=1W2,(=14,Mod(14,3)=2,Mod(14,5)=4W3,

7=15,Mod(15,3)=0w2,7=16,Mod(16,3)=1W2,7=17,Mod(17,3)=

2,Mod(17,5)=2#3,2=18,Mod(18,3)=0W2,2=19,Mod(19,3)=1#2,

7=20,Mod(20,3)=2,Mod(20,5)=0W3,7=21,Mod(21,3)=0W2,7=22,

Mod(22,3)=122,7=23,Mod(23,3)=2,Mod(23,5)=3,Mod(23,7)=2,

結(jié)束循環(huán)，所以輸出的，=23.故選A.

第3講合情推理與演繹推理

［基礎(chǔ)題組練］

1.觀察下列各式:a+6=1,才+4=3,才+加=4,3+6=7,才+6=11,…,

則/°+6°=()

A.121B.123

C.231D.211

解析：選B.法一：令a0=a"+6",則4=1,a2=3,a3=4,&=7,…，得a“

+2=a“+a”+i,從而2=18,Or,—29>3s=47,3y—76,aio=123.

法二：由a+6=l,a+b2=3,得ab=—l,代入后三個(gè)等式中符合，則霜

+610=(a5+b5)2-2a565=123.

2.給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：

①“若a,Z>GR,貝［Ja—b=Ona=b"類比推出"若z”z2^C,貝Uz\—z2=

0=Zi=Z2”；

②“若a,b,c,deR,則復(fù)數(shù)a+Ai=c+di=>a=c,類比推出"若

a,b,c,deQ,則a+b\［i=c+d\fi=a=c,b=(T；

③“若a,8eR,則a—8>0=a>Z?"類比推出"若zgeC,則Zi—QOnzOzz".

其中類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

解析：選C.由復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算可知①正確；因?yàn)閍,b,c,d都是有理數(shù)，

小是無理數(shù)，所以②正確；因?yàn)閺?fù)數(shù)不能比較大小，所以③不正確.

3.給出以下數(shù)對序列：

(1,1)

(1,2)(2,1)

(1,3)(2,2)(3,1)

(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)

記第/行的第J.個(gè)數(shù)對為%,如如=(3,2),則&??=()

A.(勿，n—m)B.("一1,n—ni)

C.(勿—1，n—/n+1)D.(zz7,n—m+1)

解析：選D.由前4行的特點(diǎn)，歸納可得，若a,M=（a,力，則a=勿，b=n-

m+1,所以an?=（m,〃一/+1）.故選D.

4.“干支紀(jì)年法”是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法，干支是

天干和地支的總稱.把干支順序相配正好六十為一周，周而復(fù)始，循環(huán)記錄，這

就是俗稱的“干支表”.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸這十個(gè)符號

叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥這十二個(gè)符號叫地

支.如公元1984年農(nóng)歷為甲子年，公元1985年農(nóng)歷為乙丑年，公元1986年農(nóng)

歷為丙寅年，則公元2047年農(nóng)歷為（）

A.乙丑年B.丙寅年

C.丁卯年D.戊辰年

解析：選C.記公元1984年為第一年，則公元2047年為第64年，即天干循

環(huán)了六次，第四個(gè)為“丁”.地支循環(huán)了五次，第四個(gè)為“卯”，所以公元2047

年農(nóng)歷為丁卯年，故選C.

5.如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為左焦點(diǎn)，當(dāng)麗，荔時(shí)，其離心率為

業(yè)匚，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙

曲線”的離心率e等于

A.與

乙

C.^5-1

22

解析：選A.設(shè)“黃金雙曲線”的方程為FX—￡V=l（a>0,力0）,

ab

則8(0,8),F(—c,0),4(a,0).

在“黃金雙曲線”中，因?yàn)槎?，?

所以曲?麗=0.

又歷=（c,6）,AB={—a,6）,

所以62=ac而6=^—W,所以d—W=ac.

在等號兩邊同除以才，得1=8

yfTx2+y[2X3+y[3X4+yl4X5<^-,根據(jù)以上規(guī)律，第〃(〃eN*)個(gè)不等式

是_____________________

解析：根據(jù)所給不等式可得第n個(gè)不等式是4必+［溝+…+

(〃+1)

(A+1)<-2-

答案：…+/?（〃+1）《（"1）,

7.祖唯是我國南北朝時(shí)代的數(shù)學(xué)家，是祖沖之的兒子.他提

出了一條原理：“幕勢既同，則積不容異.”這里的“幕”指水

平截面的面積，''勢”指高.這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何

體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積

22

相等.設(shè)由橢圓%*=l（a>力0）所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)

一周后，得一橄欖狀的幾何體（稱為橢球體）（如圖），課本中介紹了應(yīng)用祖瞄原理

求球體體積公式的方法，請類比此法，求出橢球體體積，其體積等于

解析：橢圓的長半軸長為a,短半軸長為6,現(xiàn)構(gòu)造兩個(gè)底面半徑為b,高為

a的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面

22

的圓錐，根據(jù)祖陋原理得出橢球體的體積r=2（KB）i—r|?）=2（Jtz>a—1nZ>a）

o

42

=-n&a.

o

4

答案：鼻兀后

o

1

8.設(shè)f(x)=，先分別求f(O)+f(l),f(—l)+H2),f(—2)+f(3),

3,+/

然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.

解：〃°)+/⑴=由+忐

_]]_乖_]3一m

1+yf^3+*\/3263

同理可得：f(—l)+f(2)=W，f(—2)+f(3)=半,

oo

并注意到在這三個(gè)特殊式子中，自變量之和均等于1.

歸納猜想得：當(dāng)為+尼=1時(shí)，均有F(X|)+f(*2)=O-

證明：設(shè)為+至=1,

f(%l)+/(^)

23%1+,\y3

_(3不+乖)+(3蒞+m)_3荀+3苞+2地

(3*I+^5)(3論+■\/^)3為+吊+"^(3%1+3也)+3

_____3矛|+3吊+2~\/5_________3矛1+3尼+2'\/5_____

一木(34+3至)+2X3~yj3(3%+3尼+2/)―3,

9.給出下面的數(shù)表序列：

表1表2表3

113135

448

12

其中表〃(/7=1,2,3,…)有〃行，第1行的〃個(gè)數(shù)是1,3,5,…，2n-

1,從第2行起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.寫出表4,驗(yàn)證表4

各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表

"523)(不要求證明).

解：表4為1357

4812

1220

32

它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32,它們構(gòu)成首項(xiàng)

為4,公比為2的等比數(shù)列.

將這一結(jié)論推廣到表〃（〃23）,即表各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到

下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n,公比為2的等比數(shù)列.

［綜合題組練］

1.（應(yīng)用型）學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評定為三個(gè)等級，依次為“優(yōu)

秀"''合格”“不合格”.若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙，且其中

至少有一門成績高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”.如果一組學(xué)生中沒有

哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩

位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有（）

A.2人B.3人

C.4人D.5人

解析：選B.利用推理以及邏輯知識求解.首先要證，沒有任意兩個(gè)同學(xué)的數(shù)

學(xué)成績是相同的.假設(shè)48兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績一樣，由題知他們的語文成績

不一樣，這樣他們的語文成績總有一個(gè)人比另一個(gè)人高，相應(yīng)地由題可知，語文

成績較高的同學(xué)比另一個(gè)同學(xué)“成績好”，與已知條件“他們之中沒有一個(gè)比另

一個(gè)成績好”相矛盾.因此，沒有任意兩個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績是相同的.因?yàn)閿?shù)學(xué)

成績等級只有3種，因而同學(xué)數(shù)量最大為3.之后要驗(yàn)證3名同學(xué)能否滿足條

件.易證3名同學(xué)的成績等級分別為（優(yōu)秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，

優(yōu)秀）時(shí)滿足條件，因此滿足條件的人數(shù)最多是3.

2.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，

割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”其體現(xiàn)的是一種無限與

有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在啦+9+啦+…中“…”即代表無限次重復(fù)，但原

式卻是個(gè)定值x,這可以通過方程確定x=2,則1+―彳一=（）

1+1+…

一乖一1乖一］

]+mi—乖

22

解析：選C.1+-----二—=*,即1+'=矛,即x—x—1=Q,解得X1=上9^,

1x2

汨=1J(舍)，故in-----彳一=士今卮，故選c

i+K

3.“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因?yàn)橘Z憲約在公元1050年首先使

用“賈憲三角”進(jìn)行高次開方運(yùn)算，而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算

法》一書中，輯錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖.下列數(shù)表

的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”.該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行

中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是

()

2017201620152014……654321

403340314029.....................119753

80648060..................................2016128

16124.........................................362820

A.2017X220,6B.2O18X22015

C.2O17X22015D.2018X22016

解析：選B.從給出的數(shù)表可以看出，該數(shù)表每行的數(shù)都構(gòu)成等差數(shù)列，其中

第一行從右到左是公差為1的等差數(shù)列，第二行從右到左的公差為2,第三行從

右到左的公差為4,……，第〃行從右到左的公差為21,而從右向左看，每行

的第一個(gè)數(shù)分別為1=2X273=3X2°,8=4X2',20=5X2?,48=6X2%.......,

所以第〃行的第一個(gè)數(shù)為(〃+l)X2"r.顯然第2017行只有一個(gè)數(shù)，為(2017+

1)X22017-2=2018X2,叫故選B.

4.(應(yīng)用型)有甲、乙二人去看望高中數(shù)學(xué)老師張老師，期間他們做了一個(gè)

游戲，張老師的生日是加月〃日，張老師把R告訴了甲，把〃告訴了乙，然后張

老師列出來如下10個(gè)日期供選擇：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，

5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日.看完日期后，

甲說：“我不知道，但你一定也不知道.”乙聽了甲的話后，說：“本來我不知

道，但現(xiàn)在我知道了.”甲接著說：“哦，現(xiàn)在我也知道了.”請問，張老師的

生日是

解析：根據(jù)甲說的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5

月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根據(jù)乙聽了甲的話后說的‘'本來我不

知道，但現(xiàn)在我知道了"，可排除2月7日、8月7日；根據(jù)甲接著說的“哦,

現(xiàn)在我也知道了”，可以得知張老師的生日為8月4S.

答案：8月4日

5.己知。是△/6C內(nèi)任意一點(diǎn)，連接A0,60,8并延長，分別交對邊于A',

,,r。',OB'

B'0'則總=十而71,這是一道平面幾何題，其證明常采用“面

積法”：

ff

0A0BPC5k,,0CA卜跖〃，例_Ssc

筋二十礪二十瓦廠一—十衛(wèi)S4ABeS4ABe1.

.ABC

請運(yùn)用類比思想猜想，對于空間中的四面體V-BCD,存在什么類似的結(jié)論,

并用“體積法”證明.

解：結(jié)論：在四面體分8⑺中，任取一點(diǎn)0,連接VO,DO,BO,CO并延長,

分別交四個(gè)面于反F,G,H點(diǎn).

、OF,0G、OH

則—十—Dr十—B(十T—CH=1

證明如下：在四面體a加9與修時(shí)中，設(shè)其高分別為力“h,

1,

八八,qS&BCD*h\

0Eh\3Vo-BCD

則

VE~h~1Vv.nco

~^S^BCD*h

O

OF%VBC0GV().VCDOHVaWD

同理,

DF~七1B(TClTVGJ

所以跖十加十B故CIT

VOBCD+勿函+勿管+V°VBDVRBCD]

Vv-BCDVv-BCD

6.我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合肱函數(shù)y=f(x)(x￡〃)，對任

意x,y,均滿足產(chǎn)。3?]"(才)+f(y)],當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號成立.

(D若定義在(0,+8)上的函數(shù)f(x)e+試比較f(3)+f(5)與2f(4)的大

??；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=-V,求證：g(x)GM.

解：(1)對于偌(力]'

令x=3,y=5得f