2006年大學生數(shù)學競賽(天津市)試題參考及答案

2006年天津市大學數(shù)學競賽試題參考答案（理工類）填空：（本題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）1．若是上的連續(xù)函數(shù)，則a=－1。2．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為。3．。4．由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點處的指向外側(cè)的單位法向量為。5．設(shè)函數(shù)由方程所確定，則。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項中僅有一個是正確的，把你認為“正確選項”前的字母填在括號內(nèi)。選對得分；選錯、不選或選出的答案多于一個，不得分。）設(shè)函數(shù)f(x)可導，并且，則當時，該函數(shù)在點處微分dy是的（A）（A）等價無窮小；（B）同階但不等價的無窮小；（C）高階無窮??；（D）低階無窮小。設(shè)函數(shù)f(x)在點x=a處可導，則在點x=a處不可導的充要條件是（C）（A）f(a)=0，且；（B）f(a)≠0，但；（C）f(a)=0，且；（D）f(a)≠0，且。曲線（B）（A）沒有漸近線；（B）有一條水平漸近線和一條斜漸近線；（C）有一條鉛直漸近線；（D）有兩條水平漸近線。設(shè)均為可微函數(shù)，且。已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項中的正確者為（D）（A）若，則；（B）若，則；（C）若，則；（D）若，則。設(shè)曲面的上側(cè)，則下述曲面積分不為零的是（B）（A）；（B）；（C）；（D）。三、設(shè)函數(shù)f(x)具有連續(xù)的二階導數(shù)，且，，求。（本題6分）解：由題設(shè)可推知f(0)=0，，于是有。故。 四、設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，求。（本題6分）解：由，，得到，所以。，即，所以是連續(xù)的偶函數(shù)，但在x=0點處不可導。七、設(shè)f(u,v)有一階連續(xù)偏導數(shù)，，，證明：。（本題7分）解：設(shè)：，則類似可得，代入原式左邊，得到八、設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù)，在點u=0處可導，且f(0)=0，求：。（本題7分）解：記，應(yīng)用球坐標，并同時注意到積分區(qū)域與被積函數(shù)的對稱性，有于是有。九、計算，其中L為正向一周。（本題7分）解：因為L為，故其中D為L所圍區(qū)域，故為D的面積。為此我們對L加以討論，用以搞清D的面積。當時，；當時，；當時，；當時，，故D的面積為2×1=2。從而。十、⑴證明：當充分小時，不等式成立。 ⑵設(shè)，求。（本題8分）證明：⑴因為，又注意到當充分小時，，所以成立不等式。⑵由⑴知，當n充分大時有，，故，而，于是，由夾逼定理知。十一、設(shè)常數(shù)，證明：當x>0且x≠1時，。（本題8分）證明：設(shè)函數(shù)，故要證，只需證：當；當。顯然：。命：，則。當x=2時，，x=2為唯一駐點。又，，所以x=2為的唯一極小值點，故為的最小值(x>0)，即當x>0時，從而嚴格單調(diào)遞增。又因，所以當；當。十二、設(shè)勻質(zhì)半球殼的半徑為R，密度為μ，在球殼的對稱軸上，有一條長為l的均勻細棒，其密度為ρ。若棒的近殼一端與球心的距離為a，a>R，求此半球殼對棒的引力。（本題7分）解：設(shè)球心在坐標原點上，半球殼為上半球面，細棒位于正z軸上，則由于對稱性，所