貴州省貴陽市普通中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末監(jiān)測考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

貴陽市普通中學(xué)2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末監(jiān)測考試試卷高二數(shù)學(xué)2023.1一?選擇題（本大題共8小題，每小題4分，共32分.每小題有四個選項，其中只有一個選項正確，請將你認為正確的選項填在答題卷的相應(yīng)位置上.）1.已知兩個空間向量，，且，則實數(shù)m的值為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標運算得出答案.【詳解】，，，，解得，故選：D.2.在等比數(shù)列中，，，則=（）A. B.1 C.1或 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算即可求解.【詳解】設(shè)公比為則由，得，故，故選：B3.已知直線l：，如果，，那么直線l不經(jīng)過的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求出直線在坐標軸上的截距，即可求解.【詳解】當時，，由得，即點在y軸的正半軸；當時，，由得，即點在x軸的正半軸，又直線過點和點，所以直線不經(jīng)過第三象限.故選：C.4.以下四個命題，正確的是（）A.若直線l的斜率為1，則其傾斜角為45°或135°B.經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為銳角C.若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對應(yīng)D.若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應(yīng)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的概念依次判斷選項即可.【詳解】A：直線的斜率為1，則直線的傾斜角為，故A錯誤；B：過點A、B的直線的斜率為，即(為直線的傾斜角)，則為鈍角，故B錯誤；C：當直線的傾斜角為時，該直線的斜率不存在，故C錯誤；D：若直線的斜率存在，則必存在對應(yīng)的傾斜角，故D正確.故選：D.5.如圖，在三棱柱中，M，N分別是和的中點，且，則實數(shù)x，y，z的值分別為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意用空間基底向量表示向量，結(jié)合空間向量的線性運算求解.【詳解】由題意可得：，故.故選：A.6.等差數(shù)列的前n項和記為，且，，則=（）A.70 B.90 C.100 D.120【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)可得成等差數(shù)列，即可求得的值.【詳解】在等差數(shù)列中，成等差數(shù)列，所以，則，即.故選：D.7.設(shè)，分別是雙曲線C：的左?右焦點，P為C上一點且在第一象限若，則點P的縱坐標為（）A1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得，進而根據(jù)長度關(guān)系判斷，代入即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知：，由以及可得，又，由于,故，即三角形為直角三角形，將代入得，由于P為C在第一象限，故點P的縱坐標為2，故選：C8.已知直線l：是圓C：的對稱軸，過點作圓的一條切線，切點為A，則（）A. B.7 C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得直線l過圓心，可求得，再根據(jù)圓的切線長公式運算求解.【詳解】由題意可知：直線l：過圓心，則，解得，故圓C：的圓心為，半徑，且點，∵，∴.故選：B.二?多項選擇題（本題共2小題，每小題4分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選時得4分，部分選對得2分，有選錯得0分.）9.斐波那刻螺旋線被骨為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵，鸚鵡螺等.如圖，小正方形的邊長分別為斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8....，從內(nèi)到外依次連接通過小正方形的圓弧，就得到了一條被稱為“斐波那契螺旋”的弧線，現(xiàn)將每一段“斐波那契螺旋”弧線所在的正方形邊長設(shè)為，數(shù)列滿足，，，每一段“斐波那契螺旋”弧線與其所在的正方形圍成的扇形面積設(shè)為，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由題意可得的前9項分別為，根據(jù)運算即可判斷AB,根據(jù)，利用平方差公式以及即可判斷選項C,代入計算即可判斷D.【詳解】根據(jù)，，得數(shù)列的前9項分別為，所以，，故A正確，B錯誤，由題意可得，即，所以，故C正確，，，所以，故D錯誤，故選：AC.10.如圖，在正方線ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，K，L分別是AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D1，DA各棱的中點，則下列選項正確的有（）A.向量，，共面 B.A1C⊥平面EFGHKLC.BC與平面EFGHKL所成角的正弦值為 D.∠KEF=90°【答案】BCD【解析】【分析】建系，利用空間向量判斷向量共面和線、面關(guān)系以及求線面夾角.【詳解】如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，設(shè)，則，可得，對A：若向量，，共面，則存在實數(shù)，使得成立，∵，可得，無解，∴不存在實數(shù)，使得成立，故向量，，不共面，A錯誤；對B：由題意可得：，則，同理可得：，，故六點共面，∵，則，，平面，∴平面，B正確；對C：由B可得是平面的法向量，∵，∴BC與平面EFGHKL所成角的正弦值為，C正確；對D：∵，則，∴，D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：利用空間向量處理立體幾何問題的一般步驟：（1）建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）求出相關(guān)點的坐標，寫出相關(guān)向量的坐標；（3）結(jié)合公式進行論證、計算；（4）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．三?填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，請將你認為正確的答案填在答題卷的相應(yīng)位置上.）11.直線l1：與直線l2：間的距離是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩平行線間距離公式運算求解.【詳解】由題意可得：直線l1：與直線l2：間的距離.故答案為：.12.已知空間向量，，則___________.【答案】6【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積運算法則計算即可.【詳解】.故答案為：613.已知a，b，c成等比數(shù)列，則二次函數(shù)的圖像與x軸的交點個數(shù)是___________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意有，再借助二次函數(shù)的判別式判斷交點個數(shù)【詳解】a，b，c成等比數(shù)列,則，，則二次函數(shù)的圖像與x軸有1個交點，故答案為：1.14.已知拋物線的準線是直線，為上一點，，垂足為，點的坐標是，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】由拋物線的定義可得出，當為線段與拋物線的交點時，取最小值可得結(jié)果.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，如圖所示：由拋物線的定義可得，所以，，當且僅當為線段與拋物線的交點時，等號成立，因此，的最小值為.故答案：.15.若直線與曲線有公共點，則b的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由題意可得：該曲線為以為圓心，半徑的右半圓，根據(jù)圖象結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系運算求解.【詳解】∵，整理得，∴該曲線為以為圓心，半徑的右半圓，直線的斜率，如圖所示：當直線與圓相切時，則，解得或（舍去）；當直線過點時，則，解得；綜上所述：b的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：直線與圓位置關(guān)系問題的求解思路：研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，結(jié)合圖象分析相應(yīng)的性質(zhì)與關(guān)系，列式求解．四?解答題（本大題共4小題，每小題8分，共32分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.如圖，四棱柱的底面是菱形，⊥底面ABCD，AB=BD=2，，E，F(xiàn)分別是棱BB1，DD1上的動點（不含端點），且.（1）求四棱錐的體積；（2）當BE=1時，求平面AEF與平面夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到AO是四棱錐的高，求出各邊的長，利用錐體體積公式求出答案；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解兩平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】如圖，連接AC交BD于點O，因為底面ABCD是菱形，所以，因為點E，F(xiàn)分別在，上，所以BEDF，又⊥底面ABCD，AO底面ABCD，BD底面ABCD，所以BE⊥BD，BE⊥AO，所以四邊形BEFD是直角梯形，且因為，，所以，又因為，平面BEFD，所以AO⊥平面BEFD，即AO是四棱錐的高，因為AB=BD=2，底面ABCD是菱形，所以是等邊三角形，故，，所以，所以四棱錐的體積為【小問2詳解】以O(shè)為原點，分別以O(shè)A，OB所在直線為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以，.設(shè)是平面AEF的法向量，則，取，則，.所以，是平面AEF的一個法向量，由（1）可知，OA⊥平面BEFD，即OA⊥平面，所以是平面的一個法向量，而，所以平面AEF與平面夾角的余弦值為17.設(shè)直線與拋物線相交于兩點，且.（1）求拋物線方程；（2）求面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，消元得出韋達定理，將表示為坐標形式，列方程化簡計算，可得拋物線方程；（2）利用三角形的面積公式，結(jié)合韋達定理，根據(jù)的取值，得出面積的最小值．【小問1詳解】設(shè)直線與拋物線交于點，聯(lián)立得，顯然，所以，因，所以，即，化簡得，代入得解得，所以拋物線方程為【小問2詳解】因為直線過定點，所以，當且僅當時，的面積取得最小值為18.已知圓O：，過定點作兩條互相垂直的直線，，且交圓O于兩點，交圓O于兩點.（1）若，求直線的方程；（2）求證：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分析可得到直線的距離為，討論直線的斜率是否存在，結(jié)合點到直線的距離運算求解；（2）討論直線是否與坐標軸垂直，結(jié)合韋達定理證明結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)可知圓O的圓心為，半徑為，由，可得到直線的距離為，因為直線經(jīng)過點，則有：當直線的斜率不存在時，則，此時到直線的距離為，不合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】∵，即定點在圓內(nèi)，∴直線與圓均相交，當直線與x軸垂直時，直線與x軸平行，此時，，所以；當直線與x軸垂直時，直線與x軸平行，此時，，所以；當直線與不坐標軸垂直時，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立方程，消去y得，所以，同理可得，所以，綜上所述：為定值2.19.設(shè)數(shù)列滿足.（1）求，，，試猜想的通項公式，并證明；（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1），，，，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知求出，，，猜想數(shù)列通項公式為，當時，，結(jié)合已知式子兩式相減即可得出當時，，再驗證成立即可；（2）結(jié)合第一問結(jié)論得出數(shù)列的通項，利用錯位相減法得出答案.【小問1詳解】因為，當時，當時，，可得，當時，，可得，所以猜想數(shù)列的通項公式為，證明如下：由題意，當時，，，得，所以，當時，上式為，這就是說，當時，上式也成立.因此，數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】由（1）知，記的前n項和為，則，故，，得，，所以數(shù)列的前n項和為.20.閱讀材料：（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應(yīng)的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.（二）極點與極線的基本性質(zhì)?定理①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；③當P在G內(nèi)時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：（1）已知橢圓C：經(jīng)過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應(yīng)的極線方程；（2）已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1），（2）存在，【解析】【分析】(1)根據(jù)題意和離心率求出a、b，即可求解；(2)利用代數(shù)法證明點Q在橢圓C外，則點Q和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.根據(jù)題意中的概念求出點Q對應(yīng)的極線MN方程，可得該直線恒過定點T（2,1），利用點差法求出直線的斜率，即可求解.【小問1詳解】因橢圓過點P(4,0)，則，得，又，