專題04 數(shù)列1（等差、等比、通項公式、遞推關系）-2024屆高考數(shù)學二輪專題復習考點分層與專項檢測（新高考專用）解析版

專題04數(shù)列1（等差、等比、通項公式、遞推關系）（新高考）目錄目錄【備考指南】 2 【真題在線】 3【基礎考點】 11【基礎考點一】等差數(shù)列基本量的運算 11【基礎考點二】等比數(shù)列基本量的運算 14【基礎考點三】等差數(shù)列的性質(zhì)及應用 17【基礎考點四】等比數(shù)列的性質(zhì)及應用 20【基礎考點五】遞推關系與數(shù)列周期性 24【綜合考點】 28【綜合考點一】累加、累乘求通項公式 28【綜合考點二】構造法、定義法求通項公式 33【綜合考點三】Sn與an的關系求通項公式【綜合考點四】等差、等比數(shù)列的函數(shù)特性 42【培優(yōu)考點】 46【培優(yōu)考點一】數(shù)列的結構不良最值問題 46【培優(yōu)考點二】數(shù)列的不等式恒成立問題 54【總結提升】 58【專項檢測】 60備考指南備考指南考點考情分析考頻等差數(shù)列模型2023年新高考Ⅰ卷T72023年新高考Ⅰ卷T202023年新高考Ⅱ卷T182023年全國甲卷T102022年新高考Ⅱ卷T32021年新高考Ⅱ卷T172021年全國乙卷T193年7考等比數(shù)列模型2023年新高考Ⅱ卷T82023年全國甲卷T152023年全國乙卷T152022年全國乙卷T102年4考等差與等比綜合2022年新高考Ⅱ卷T17數(shù)列分段遞推公式2021年新高考Ⅰ卷T17數(shù)列并項遞推公式2023年全國甲卷T17數(shù)列結構不良型模型2021年全國甲卷T18數(shù)列前n項和與通項關系2022年全國甲卷T17數(shù)列與不等式綜合2022年新高考Ⅰ卷T17數(shù)列單調(diào)性2022年全國乙卷T14預測：等差、等比數(shù)列的基本運算和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).數(shù)列的通項也是高考熱點，難度中檔以下.求數(shù)列的通項公式是高考的重點內(nèi)容，等差、等比數(shù)列可直接利用其通項公式求解，但有些數(shù)列是以遞推關系給出的，需要構造新數(shù)列轉為等差或等比數(shù)列，再利用公式求解.利用數(shù)列的遞推關系求數(shù)列的通項，常見的方法有：(1)累加法，(2)累乘法，(3)構造法(包括輔助數(shù)列法，取倒數(shù)法，取對數(shù)法等).近三年全國卷的考察難點整體是中檔以下，也出現(xiàn)結構不良及數(shù)列與不等式綜合性的問題.建議二輪復習時在做好查缺補漏的基礎上要適當拓寬學生的思維，有一定量的思維難度.近幾年一些省市的高考試卷也出現(xiàn)了數(shù)列與不等式放縮，數(shù)列與導數(shù)的綜合問題.值得關注一下.真題在線真題在線一、單選題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項，再根據(jù)前項和公式即可解出；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項和公式的性質(zhì)即可解出．【詳解】方法一：設等差數(shù)列的公差為，首項為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【分析】根據(jù)題意列出關于的方程,計算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故選：B4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結合數(shù)列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)的關系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當時，，即為，易知，，即；當時，，與矛盾，舍去．故選：C．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關鍵是把握的關系，從而減少相關量的求解，簡化運算．6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關系判斷中各項的大小，即可求解.【詳解】[方法一]:常規(guī)解法因為，所以，，得到，同理，可得，又因為，故，；以此類推，可得，，故A錯誤；，故B錯誤；，得，故C錯誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設則故D正確.8．（2021·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進一步求出答案.【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.9．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】當時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．【詳解】由題，當數(shù)列為時，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．二、多選題10．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.【詳解】對于A選項，，，所以，，A選項正確；對于B選項，取，，，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，，所以，，，所以，，因此，，C選項正確；對于D選項，，故，D選項正確.故選：ACD.三、填空題11．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為．【答案】【分析】先分析，再由等比數(shù)列的前項和公式和平方差公式化簡即可求出公比.【詳解】若，則由得，則，不合題意.所以.當時，因為，所以，即，即，即，解得.故答案為：12．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對化簡得，聯(lián)立求出，最后得.【詳解】設的公比為，則，顯然，則，即，則，因為，則，則，則，則，故答案為：.13．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差．【答案】2【分析】轉化條件為，即可得解.【詳解】由可得，化簡得，即，解得.故答案為：2.基礎基礎考點【考點一】等差數(shù)列基本量的運算【典例精講】（多選）（2024·浙江臺州·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列中，，公差為，，記為數(shù)列的前n項和，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則D．若，則【答案】BCD【分析】由為等差數(shù)列，先求出，由可判斷選項A；對于選項B，分為奇數(shù)和偶數(shù)分別求的前項和，從而可判斷;選項C，先得出，從而得出，，再分為奇數(shù)和偶數(shù)分別求的前項和；對于選項D，由，求出，從而可求出的前項的和.【詳解】由為等差數(shù)列，，公差為，則當時，，則選項A不正確.當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，故，所以選項B正確.當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，所以，故選項C正確.所以，所以選項D正確故選：BCD【變式訓練】一、單選題1．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為.若，，則（

）A．95 B．100 C．135 D．175【答案】D【分析】由，推導出數(shù)列是等差數(shù)列，再由求和公式求出結果即可.【詳解】因為，，所以，即，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的前項和公式可得.故選：D2．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考階段練習）已知等比數(shù)列的前項和為，公比為2，且成等差數(shù)列，則（

）A．62 B．93 C．96 D．64【答案】B【分析】利用給定條件求出，進而求出，再利用等比數(shù)列前項和公式計算即得.【詳解】等比數(shù)列的公比為2，由成等差數(shù)列，得，即，解得，所以．故選：B二、多選題3．（2023·全國·模擬預測）已知公差為d的等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，則（

）A． B．C．對任意的正整數(shù)n，有 D．使得的最小正整數(shù)n為4047【答案】BD【分析】先通過條件得到可判斷A，C；通過判斷B；通過計算判斷D.【詳解】由，得.選項A，B：因為，所以，故A錯誤，B正確；選項C：當時，取得最小值，故C錯誤；選項D：因為，所以，，故D正確.故選：BD.三、填空題4．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預測）已知正項等差數(shù)列的前項和為，若成等比數(shù)列，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)給定的條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出，再表示出，并借助基本不等式求解即得.【詳解】由成等比數(shù)列，得，即，則，而，因此，當且僅當時取等號，所以當時，取得最小值.故答案為：【考點二】等比數(shù)列基本量的運算【典例精講】（多選）（2023·福建福州·校考模擬預測）設是公比為正數(shù)等比數(shù)列的前項和，若，，則（

）A． B． C．為常數(shù) D．為等比數(shù)列【答案】CD【分析】設等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的性質(zhì)求出，可判斷A；求出等比數(shù)列的通項公式和前項和公式可判斷B，C；由可判斷D.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，所以，則，又因為，則，故A錯誤；，，，故B錯誤；，故C正確；，因為，故為等比數(shù)列，故D正確.故選：CD.【變式訓練】一、單選題1．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列中，，，為其前項和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得到，判定該數(shù)列為等比數(shù)列，進而利用求和公式計算.【詳解】由得，又∵，∴數(shù)列為首項為1，公比為的等比數(shù)列，∴，故選：B.2．（2023·全國·模擬預測）已知為等比數(shù)列且各項均不為0，向量，且，則（

）A．4 B．2 C．8 D．6【答案】C【分析】用坐標表示向量的垂直和平行，列式即可求解.【詳解】由得，（對于非零向量的充要條件為）又為等比數(shù)列，所以，又，得．由得，即，所以.故選：C．二、多選題3．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預測）若數(shù)列滿足，則稱為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是“平方遞推數(shù)列” D．是“平方遞推數(shù)列”【答案】BC【分析】對于AB，由題意得，然后根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義分析判斷即可，對于CD，由平方遞推數(shù)列的定義分析判斷.【詳解】對A，因為是“平方遞推數(shù)列”，所以.又，所以，則，所以不是等差數(shù)列，A不正確.對B，因為，所以是等比數(shù)列，B正確.對C，因為，所以以是“平方遞推數(shù)列”，C正確.對D，因為，所以不是“平方遞推數(shù)列”，D不正確.故選：BC.三、填空題4．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）已知等比數(shù)列滿足且，則的取值范圍是．【答案】【分析】利用等比數(shù)列，將各項均用表示，然后構造函數(shù)，分類討論和兩種情況下的單調(diào)性，進而確定為使方程有解，的取值范圍.【詳解】因為為等比數(shù)列，所以.令，則.因為，所以.當時，，此時恒成立，在上單調(diào)遞增，，所以一定有解，即，使得成立.當時，，則，此時單調(diào)遞增；，則，此時單調(diào)遞減.為使有解，則，整理得，解得.又，所以.綜上，的取值范圍是.故答案為：【考點三】等差數(shù)列的性質(zhì)及應用【典例精講】（多選）（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項積為，則下列結論正確的是(

)A．數(shù)列是等差數(shù)列 B．數(shù)列是等差數(shù)列C．數(shù)列是等比數(shù)列 D．數(shù)列是等差數(shù)列【答案】ABC【分析】設等差數(shù)列的公差為，設等比數(shù)列的公比為，求出，利用等差數(shù)列的定義可判斷選項；利用等比數(shù)列定義可判斷C選項．【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，∴．對于A選項，，∴為等差數(shù)列，A正確；對于B選項，令，∴，故數(shù)列是等差數(shù)列，B正確；設等比數(shù)列的公比為，對于C選項，令，則，故數(shù)列是等比數(shù)列，C正確；對于D選項，∵不一定為常數(shù)，故數(shù)列不一定是等差數(shù)列，故D錯誤；故選：ABC．【變式訓練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預測）已知為等差數(shù)列的前項和，，則（

）A．240 B．60 C．180 D．120【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前項和公式求解即可.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，所以．故選：D．2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）設等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】由等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，即可得出．【詳解】由等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，，，解得．故選：C.二、多選題3．（2023·山東德州·德州市第一中學校聯(lián)考模擬預測）設等差數(shù)列的前項和為，公差為，，，，下列結論正確的是（

）A．B．當時，的最大值為C．數(shù)列為等差數(shù)列，且和數(shù)列的首項、公差均相同D．數(shù)列前項和為，最大【答案】AD【分析】分析數(shù)列的單調(diào)性，結合已知條件可判斷A選項；利用等差數(shù)列的求和公式可判斷B選項；利用等差數(shù)列的定義可判斷C選項；令，分析可知，，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若，則為遞增數(shù)列，所以，，與矛盾，若，則為常數(shù)列，所以，，與矛盾，若，則為遞減數(shù)列，則，由可得，合乎題意，A對；對于B選項，由A選項可知，，，，，所以，當時，的最大值為，B錯；對于C選項，，則，所以，，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項為，公差為，C錯；對于D選項，由得，由得，由得，即，令，，則等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，，，所以，數(shù)列前項和為，最大，D對.故選：AD.三、填空題4．（2023·河南·模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則．【答案】【分析】根據(jù)題意可知是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，即可求得.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列前n項和公式可知；可得為定值，所以即為等差數(shù)列，又，即是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，所以，從而．故答案為：【考點四】等比數(shù)列的性質(zhì)及應用【典例精講】（多選）（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯(lián)考三模）已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【答案】ABC【分析】求出通項公式判斷AB；利用數(shù)列前n項和的意義、結合等差數(shù)列推理判斷C；舉例說明判斷D作答.【詳解】對于A，，時，，解得，因此，，是等差數(shù)列，A正確；對于B，，，則，而，是等比數(shù)列，B正確；對于C，設等差數(shù)列的公差為，首項是，，，因此，則，成等差數(shù)列，C正確；對于D，若等比數(shù)列的公比，則不成等比數(shù)列，D錯誤.故選：ABC【變式訓練】一、單選題1．（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）在等比數(shù)列中，，是方程兩根，若，則m的值為（

）A．3 B．9 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)韋達定理可得，結合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，是方程兩根，所以，即，在等比數(shù)列中，，又，所以，因為，所以，所以.故選：B.2．（2023·四川巴中·南江中學校考模擬預測）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】B【分析】已知條件作商可求得，然后根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可得.【詳解】因為，，所以，解得，則．故選：B二、多選題3．（2023下·江西上饒·高二?？茧A段練習）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（）A． B．1C．的最大值為 D．的最大值為【答案】BD【分析】討論與不成立可判斷A；利用等比數(shù)列的下標和性質(zhì)可判斷B；根據(jù)單調(diào)遞增可判斷C；根據(jù)的取值可判斷D.【詳解】若，則，，所以，與矛盾；若，則因為，所以，，則，與矛盾，因此，所以A不正確．因為，所以，因此，故B正確．因為，所以單調(diào)遞增，即的最大值不為，故C錯誤．因為當時，，當時，，所以的最大值為，即D正確．故選：BD.三、填空題4．（2021·四川成都·校聯(lián)考三模）已知等比數(shù)列的前項和滿足，數(shù)列滿足，其中，給出以下命題：①；②若對恒成立，則；③設，，則的最小值為；④設，若數(shù)列單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為．其中所有正確的命題的序號為．【答案】②④【分析】由等比數(shù)列前項和公式特點確定，進而明確與的通項，結合數(shù)列的單調(diào)性判斷各個命題.【詳解】由為等比數(shù)列，其前項和，則，故①不正確；由，可得，則，若對恒成立，即對恒成立，令，則當時，；當時，，當時，，則，則，故②正確；由，，令，則當，時，，當，時則，故③不正確；，由單調(diào)遞增，則，則，故④正確．故答案為：②④【點睛】關鍵點點睛：（1）等比數(shù)列的前項和；（2）證明數(shù)列的單調(diào)性一般采用作差（或作商）的方式；（3）數(shù)列作為特殊函數(shù)，特殊在定義域上，定義域不連續(xù).【考點五】遞推關系與數(shù)列周期性【典例精講】（多選）（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯(lián)考三模）已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【答案】ABC【分析】求出通項公式判斷AB；利用數(shù)列前n項和的意義、結合等差數(shù)列推理判斷C；舉例說明判斷D作答.【詳解】對于A，，時，，解得，因此，，是等差數(shù)列，A正確；對于B，，，則，而，是等比數(shù)列，B正確；對于C，設等差數(shù)列的公差為，首項是，，，因此，則，成等差數(shù)列，C正確；對于D，若等比數(shù)列的公比，則不成等比數(shù)列，D錯誤.故選：ABC【變式訓練】一、單選題1．（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）在等比數(shù)列中，，是方程兩根，若，則m的值為（

）A．3 B．9 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)韋達定理可得，結合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，是方程兩根，所以，即，在等比數(shù)列中，，又，所以，因為，所以，所以.故選：B.2．（2023·四川巴中·南江中學校考模擬預測）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】B【分析】已知條件作商可求得，然后根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可得.【詳解】因為，，所以，解得，則．故選：B二、多選題3．（2023下·江西上饒·高二?？茧A段練習）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（）A． B．1C．的最大值為 D．的最大值為【答案】BD【分析】討論與不成立可判斷A；利用等比數(shù)列的下標和性質(zhì)可判斷B；根據(jù)單調(diào)遞增可判斷C；根據(jù)的取值可判斷D.【詳解】若，則，，所以，與矛盾；若，則因為，所以，，則，與矛盾，因此，所以A不正確．因為，所以，因此，故B正確．因為，所以單調(diào)遞增，即的最大值不為，故C錯誤．因為當時，，當時，，所以的最大值為，即D正確．故選：BD.三、填空題4．（2021·四川成都·校聯(lián)考三模）已知等比數(shù)列的前項和滿足，數(shù)列滿足，其中，給出以下命題：①；②若對恒成立，則；③設，，則的最小值為；④設，若數(shù)列單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為．其中所有正確的命題的序號為．【答案】②④【分析】由等比數(shù)列前項和公式特點確定，進而明確與的通項，結合數(shù)列的單調(diào)性判斷各個命題.【詳解】由為等比數(shù)列，其前項和，則，故①不正確；由，可得，則，若對恒成立，即對恒成立，令，則當時，；當時，，當時，，則，則，故②正確；由，，令，則當，時，，當，時則，故③不正確；，由單調(diào)遞增，則，則，故④正確．故答案為：②④【點睛】關鍵點點睛：（1）等比數(shù)列的前項和；（2）證明數(shù)列的單調(diào)性一般采用作差（或作商）的方式；（3）數(shù)列作為特殊函數(shù)，特殊在定義域上，定義域不連續(xù).綜合考點綜合考點【考點一】累加、累乘求通項公式【典例精講】（多選）（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，，，則下列結論正確的有（

）．A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．【答案】ABC【分析】對A：根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義分析證明；對B：先證，結合累加法運算求解；對C：可得，結合裂項相消法分析運算；對D：先證，結合累積法可得，再根據(jù)等比數(shù)列求和分析運算.【詳解】對A：，當且僅當時，等號成立，即，注意到，故，可知對，，即，即，故數(shù)列是遞增數(shù)列，A正確；對B：∵，由A可得：對，，則，當且僅當時，等號成立，故，即，則，即；當時，則也滿足；綜上所述：，B正確；對C：∵，則，注意到，即，∴，即，故，可得，C正確；對D：∵，注意到，則，故，可得，則，當時，則，當時，，故.則，D錯誤；故選：ABC.【點睛】關鍵點點睛：（1）根據(jù)題意證明，放縮結合等比數(shù)列運算求解；（2）根據(jù)題意整理可得，裂項相消求和；（3）可證，放縮結合等比數(shù)列的通項公式與求和公式運算求解.【變式訓練】一、單選題1．（2023·河南鄭州·?？寄M預測）在數(shù)列中，，則的前項和的最大值為（

）A．64 B．53 C．42 D．25【答案】B【分析】令，則由可得,所以數(shù)列是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,可得到，然后用累加法得到，通過的單調(diào)性即可求出的最大值【詳解】由,得,令,所以,則,所以數(shù)列是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,即,即,由,將以上個等式兩邊相加得,所以,經(jīng)檢驗滿足上式，故當時,,即單調(diào)遞增,當時,,即單調(diào)遞減,因為,所以的前項和的最大值為，故選：B2．（2023·河南·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．2023 B．2024 C．4045 D．4047【答案】C【分析】根據(jù)遞推關系化簡后，由累乘法直接求.【詳解】，，即，可得，.故選：C.二、多選題3．（2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考一模）已知數(shù)列滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．數(shù)列為遞減數(shù)列 B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式和首項即可判斷選項A和B；利用數(shù)列的單調(diào)性和累加法求出，進而判斷選項C和D.【詳解】因為和可知，數(shù)列的各項均為正值，由可得，所以，則數(shù)列為遞減數(shù)列，故選項A正確；由選項A的分析可知：數(shù)列為遞減數(shù)列，又因為，所以，故選項B正確；由兩邊同時取倒數(shù)可得，則，所以，因為數(shù)列為遞減數(shù)列，由可得，當時，，即，當時，，即，，，不等式累加可得：，所以，則，所以，故選項C錯誤；由可得，所以，故選項D正確；故選：ABD.三、填空題4．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）設為數(shù)列的前項和，滿足，其中，數(shù)列的前項和為，滿足，則．【答案】【分析】利用得到，得到，利用裂項相消法求和.【詳解】當時，，①，當時，②，兩式相減得，即，所以，且對也適合，綜上，，故，.故答案為：【考點二】構造法、定義法求通項公式【典例精講】（多選）（2023下·黑龍江雞西·高二雞西市第四中學?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，，的前項和為，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】求出數(shù)列的通項公式和前n項和公式，再去驗證選項即可作答.【詳解】由，，得，而，因此數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，，所以，B正確；由，A正確；，則有2，兩式相減得，D錯誤；由，C錯誤.故選：AB【變式訓練】一、單選題1．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）在數(shù)列中，，，且，則下列結論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，可得，，兩式相除即可求得數(shù)列通項，再逐一分析各個選項即可.【詳解】因為，所以，，兩式相除，得，又，所以，所以是以為公比的等比數(shù)列，所以，記，則，所以，所以，所以，即，故A錯誤；因為，所以，所以，同理，，，所以，即，故B錯誤；，所以，故C正確；，所以，故D錯誤.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)，可得，，兩式相除得出是以為公比的等比數(shù)列，是解決本題得關鍵.2．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．2023【答案】A【分析】根據(jù)與的關系，可推得數(shù)列是等比數(shù)列，進而得出的表達式，即可求出，代入對數(shù)式，根據(jù)對數(shù)的運算，即可得出答案.【詳解】因為，即.當時，，即；當時，，所以，所以.又，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為，所以，所以，所以.故選：A.二、多選題3．（2022·福建·校聯(lián)考模擬預測）已知下圖的一個數(shù)陣，該陣第行所有數(shù)的和記作，，，，，數(shù)列的前項和記作，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)數(shù)列特性結合等比數(shù)列的性質(zhì)得，然后根據(jù)通項公式求出和，逐項分析便可得答案.【詳解】解：由題意得：A選項：，故A正確；B選項：，故B正確；D選項：，故D錯誤；C選項：，故C正確．故選：ABC三、填空題4．（2020·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列{an}對任意m，n∈N*都滿足am+n=am+an，且a1=1，若命題“?n∈N*，λan≤+12”為真，則實數(shù)λ的最大值為.【答案】7【分析】先求出的通項公式，然后參變分離轉化為求最值【詳解】令m=1，則an+1=an+a1，an+1－an=a1=1，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，首項為1，公差為1，所以an=n，所以λan≤+12?λn≤n2+12?λ≤n+，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當或時，所以故答案為：7【考點三】Sn與a【典例精講】（多選）（2023·遼寧沈陽·東北育才學校?？寄M預測）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列說法正確的是（

）A．數(shù)列的前n項和為B．數(shù)列的通項公式為C．數(shù)列不是遞增數(shù)列D．數(shù)列為遞增數(shù)列【答案】CD【分析】確定得到是首項為，公差為的等差數(shù)列，得到即的通項公式，再依次判斷每個選項得到答案.【詳解】，則，即，故是首項為，公差為的等差數(shù)列，故，即，，.對選項A：，錯誤；對選項B：，錯誤；對選項C：，，故數(shù)列不是遞增數(shù)列，正確；對選項D：，故數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；故選：CD.【變式訓練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】由可得，兩式相減可證明數(shù)列從第二項起成等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的前項和公式、等差數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】因為，所以，兩式相減得，即，因為，所以，所以數(shù)列中，從第二項起成等差數(shù)列，所以，所以．由得，所以，得，所以，故選：A．2．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）若數(shù)列的前項和為，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)之間的關系可求出，進而求得，由此結合熟的大小比較可判斷A，B，C，利用放縮法，當時，可推出，累加即可判斷D.【詳解】令，則，即，由，的；當時，，即，又，故為首項是1，公差為1的等差數(shù)列，則，故，所以當時，，也適合該式，故，對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，當時，，故，D正確，故選：D二、多選題3．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預測）設數(shù)列前項和為，滿足，且，則下列選項正確的是（

）A．B．數(shù)列為等差數(shù)列C．當時有最大值D．設，則當或時數(shù)列的前項和取最大值【答案】ABD【分析】A選項，根據(jù)求出為等差數(shù)列，公差為，首項為，得到通項公式；B選項，計算出，得到，從而得到，得到B正確；C選項，根據(jù)及二次函數(shù)的最值得到C錯誤；D選項，先得到時，，，，當時，，且，得到結論.【詳解】A選項，當時，，又，解得，當時，①，②，①②得，，即，故，因為，故，所以，故為等差數(shù)列，公差為，首項為，所以通項公式為，A正確；B選項，，故，則當時，，故為等差數(shù)列，B正確；C選項，，故當時，取得最大值，C錯誤；D選項，令得，令得，則當時，，當時，，當時，，當時，，又，，則當或時數(shù)列的前項和取最大值，D正確.故選：ABD三、填空題4．（2023·上海黃浦·格致中學?？既＃┮阎棓?shù)列的前項和為，若，，數(shù)列的前項和為，則下列結論正確的是.①；②是等差數(shù)列；③；④滿足的的最小正整數(shù)為10.【答案】②③④【分析】對于②，根據(jù)與的關系得出是等差數(shù)列；對于①，由求出，再比較大小進行判斷；對于③，令，通過導數(shù)證明在上恒成立，令（，），再證得不等式成立；對于④，利用裂項相消法求出，再求出的的最小正整數(shù).【詳解】對于②，因為，當時，，解得，當時，，所以，整理得，所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，故②正確.對于①，，又正項數(shù)列的前項和為，所以，當時，，當時，，即，又當時，滿足，所以，又，因為，所以，即，故①不正確；對于③，令，，當時，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上恒成立，令（，），所以，又，故，故③正確；對于④，因為，所以，所以，所以，因為，即，化簡整理得，顯然數(shù)列遞增，當時，；當時，，所以滿足的的最小正整數(shù)為10，故④正確.故答案為：②③④.【點睛】給出與的遞推關系，求，常用思路是：一是利用轉化為的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為的遞推關系，先求出與之間的關系，再求.【考點四】等差、等比數(shù)列的函數(shù)特性【典例精講】（多選）（2020上·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知等比數(shù)列首項，公比為q，前n項和為，前n項積為，函數(shù)，若，則下列結論正確的是（

）A．為單調(diào)遞增的等差數(shù)列B．C．為單調(diào)遞增的等比數(shù)列D．使得成立的n的最大值為6【答案】BCD【分析】首先求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)條件判斷，先判斷B；再結合等比數(shù)列的定義和等差數(shù)列的定義判斷AC；最后數(shù)列前項積的定義判斷D.【詳解】函數(shù)，則，因為，所以，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，所以，由，可得，故B正確；因為等比數(shù)列首項，公比為q，所以，則，故為單調(diào)遞減的等差數(shù)列，故A錯誤；設，則為常數(shù)，因為，所以，單調(diào)遞減，所以為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，故C正確；因為，且，所以，，所以使得成立的n的最大值為6，故D正確．故選：BCD【變式訓練】一、單選題1．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學?？寄M預測）若等差數(shù)列的前項和為，且滿足，對任意正整數(shù)，都有，則的值為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式以及數(shù)列的單調(diào)性得出結果.【詳解】依題意，又，即，則則，且，所以等差數(shù)列單調(diào)遞減，，所以對任意正整數(shù)，都有，則．故選，C．2．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？级＃┮阎獢?shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述不正確的是（

）A．數(shù)列的最大項為 B．數(shù)列的最小項為C．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列 D．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列【答案】D【分析】分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項的正負和的正負得到最大項和最小項，知AB正誤；利用和可知CD正誤.【詳解】對于A，由題意知：當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，，最大；綜上所述：數(shù)列的最大項為，A正確；對于B，當為偶數(shù)時，，，最?。划敒槠鏀?shù)時，；綜上所述：數(shù)列的最小項為，B正確；對于C，，，，，，，數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；對于D，，，；，，，又，，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯誤.故選：D.二、多選題3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是公差大于0的等差數(shù)列，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意得，為單調(diào)遞增數(shù)列，進而作出函數(shù)圖象，結合圖象性質(zhì)說明即可.【詳解】解：設的公比為，的公差為，所以，，，所以，由可知為單調(diào)遞增數(shù)列，即因為，，，所以，即，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，作出函數(shù)，的圖象如圖所示，由上述圖象可知，當時，兩函數(shù)圖象在處相交，所以，當時，，當或時，.故選：BCD.三、填空題4．（2022上·甘肅酒泉·高二敦煌中學校考期中）等比數(shù)列是遞減數(shù)列，前n項的積為，若，則．【答案】2【分析】由題意可得，且，由條件可得，化簡得，再由，求得的值．【詳解】解：等比數(shù)列是遞減數(shù)列，其前項的積為，若，設公比為，則由題意可得，且．，．又由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，．故答案為：2．培優(yōu)考點培優(yōu)考點【考點一】數(shù)列的結構不良最值問題【典例精講】（多選）（2022·全國·清華附中朝陽學校?？寄M預測）數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（

）A．若且，數(shù)列單調(diào)遞減B．若存在無數(shù)個自然數(shù)，使得，則C．當或時，的最小值不存在D．當時，【答案】ACD【分析】A選項，根據(jù)求出，再由求出，從而得到且，數(shù)列單調(diào)遞減，A正確；B選項，可舉出反例；C選項，由或時，可證得數(shù)列單調(diào)遞減，所以最小值不存在；D選項，對變形為，采用裂項相消進行求和，結合數(shù)列的項的正負性和單調(diào)性求出其取值范圍.【詳解】A選項，，令，解得：，令，解得：綜上：且，所以且，數(shù)列單調(diào)遞減，A正確；B選項，當時，，當時，，所以存在無數(shù)個自然數(shù)，使得，故B錯誤；C選項，當或時，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，所以最小值不存在，C正確；D選項，，所以，所以，故，因為，，單調(diào)遞減，所以當時，，，所以，又因為單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，最大值為，綜上：，D正確.故選：ACD【點睛】由數(shù)列通項公式研究數(shù)列的性質(zhì)，要對數(shù)列的通項公式進行變形，轉化為熟悉的知識點進行處理，本題D選項，要將變形為，采用裂項相消進行求和，結合數(shù)列的項的正負性和單調(diào)性求出其取值范圍.【變式訓練】一、單選題1．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）數(shù)列前n項和為，且滿足：，，，，下列說法錯誤的是（

）A．B．數(shù)列有最大值，無最小值C．，使得D．，使得【答案】D【分析】A選項，令求出，再令，求出；B選項，先得到，再求出，單調(diào)遞減，故B正確；C選項，當時，，時，，證明出C正確；D選項，作差，并結合C選項中結論計算出，故D錯誤.【詳解】A選項，中，令得，因為，解得，解得，中，令得，即，解得，負值舍去，A正確；B選項，當時，，故，，故，因為，故，，故，則單調(diào)遞減，數(shù)列有最大值，無最小值，B正確；C選項，當時，，此時等號成立，當時，由于，所以，綜上，，使得，C正確；D選項，，由C選項可知，，，故，所以恒成立，故不存在，使得，D錯誤.故選：D【點睛】數(shù)列不等式問題，常常需要進行放縮，放縮后變形為等差數(shù)列或等比數(shù)列，在結合公式進行證明，又或者放縮后可使用裂項相消法進行求和，常常使用作差法和數(shù)學歸納法，技巧性較強.2．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，，，則以下說法不正確的是（

）A．， B．，C．數(shù)列存在最大項 D．數(shù)列不存在最小項【答案】D【分析】由迭代相除可得，的通項，構造函數(shù)，，利用導數(shù)得到數(shù)列的單調(diào)性，再通過縮放，取極限等手段可得到數(shù)列，的最值情況.【詳解】因為，，所以且兩式相除可得，所以當為奇數(shù)時,可得，又，可得當為偶數(shù)時,可得，又，可得綜上可知，則，故數(shù)列為遞減數(shù)列，易知A正確；因為，所以，令，，令，則，在上單調(diào)遞減，則，即，在單調(diào)遞減，即，可得即，故B正確．用為，所以，則，令，當時，即在上單調(diào)增，當時，即在上單調(diào)減，，即（時取得等號），所以，且時，故當時，則所以，又當時，所以當時，又，故存在最大項，C正確．由于當時，，所以當時而，故存在最小項，D不正確．故選：D．【點睛】方法點睛：數(shù)列最值常見求法有鄰項比較法、放縮法、構造函數(shù)法等.二、多選題3．（2023·全國·模擬預測）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程．已知大衍數(shù)列滿足，，則（

）A．B．C．D．數(shù)列的前2n項和的最小值為2【答案】ACD【分析】當時，,當時，,聯(lián)立可得，利用累加法可得，從而可求得，在逐項判斷即可.【詳解】令且，當時，①；當時，②，由①②聯(lián)立得.所以，累加可得.令(且為奇數(shù))，得.當時滿足上式，所以當為奇數(shù)時，.當為奇數(shù)時，，所以，其中為偶數(shù).所以，故C正確.所以，故A正確.當為偶數(shù)時，，故B錯誤.因為，所以的前2n項和，令，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以的最小項為，故數(shù)列的前2n項和的最小值為2，故D正確.故選:ACD.【點睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．三、填空題4．（2023·北京海淀·中央民族大學附屬中學校考模擬預測）已知是各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列，其前n項和為，．給出下列四個結論：①；②數(shù)列有最大值，無最小值；③；④存在，使得.其中所有正確結論的序號是．【答案】①②④【分析】賦值和即可求出；作差比較判斷數(shù)列單調(diào)性可判斷②；證明可判斷③④.【詳解】令，則，所以，令，得，又，可解得，故①正確；依題意有，，因為，所以，所以，，由得，所以，因為隨著的增大而增大，所以，所以，即，所以隨著的增大而減小，故為正項單調(diào)遞減的無窮數(shù)列，且，故數(shù)列有最大值，無最小值，即②正確；因為，當且僅當時取等號，所以，即，故③錯誤；因為對任意恒成立，當且僅當時取等號，故有，即④正確.故答案為：①②④【考點二】數(shù)列的不等式恒成立問題【典例精講】（多選）（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答問題．設數(shù)列的前項和為，滿足________，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若存在正整數(shù)，使得對恒成立，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選擇條件①：利用可得答案；若選擇條件②：由利用等差數(shù)列的定義可得答案；（2）求出，分、兩種情況，利用單調(diào)性可得答案.【詳解】（1）若選擇條件①：，則，即，令，則，解得，是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，.若選擇條件②：，是以為首項1為公差的等差數(shù)列，，；（2），，∴當，即；當，即；∴當時，對恒成立．【變式訓練】一、單選題1．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)奇偶數(shù)對n討論，再分離參數(shù)a，轉化函數(shù)最值問題即得解.【詳解】（1）當n為偶數(shù)時，恒成立，即轉化為恒成立，而數(shù)列是遞增數(shù)列，故時，，故；（2）當n為奇數(shù)時，恒成立，即，轉化為恒成立，而數(shù)列是遞增數(shù)列，n為奇數(shù)時，，故；綜上可得a的范圍為.故選：B.2．（2020·全國·統(tǒng)考一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.設在上的最大值為（），且數(shù)列的前項的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知先求出，即，進一步可得，再將所求問題轉化為對于任意正整數(shù)恒成立，設，只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當時，則，，所以，，顯然當時，，故，，若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，設，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當時，單調(diào)遞增，當時，有單調(diào)遞減，故數(shù)列的最大值為，所以.故選：C.【點睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題，涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識，是一道較為綜合的數(shù)列題.二、填空題3．（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學?？寄M預測）已知等差數(shù)列中，，記數(shù)列的前項和為，若，對任意的恒成立，則整數(shù)的最小值是【答案】4【分析】將問題轉化為恒成立，，將視為一個數(shù)列，通過相鄰項比較尋找其單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意等差數(shù)列的公差，故，所以，由于，單調(diào)遞減，，所以，從而,故答案為：44．（2022上·山西·高三校聯(lián)考階段練習）已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，且滿足.若對一切正整數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】先求得和，整理，得，設，判斷單調(diào)性，找到最小值.【詳解】若，則，即，此時，與題意不符，舍去；若，由，可得，即，解得，則.對一切正整數(shù)，不等式恒成立，化簡得，分離可得，設，則，當時，，即；當時，，即，所以的最小值為，故答案為：.總結提升總結提升1.已知Sn求an的步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式.(3)對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，若符合，則數(shù)列的通項公式合寫；若不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫.2.Sn與an關系問題的求解思路根據(jù)所求結果的不同要求，將問題向不同的方向轉化.(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解.(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解.3.構造法求數(shù)列通項的常用方法(1)形如an＝pan－1＋q(p≠1，q≠0)的形式，通?？蓸嬙斐龅缺葦?shù)列an＋eq\f(q,p－1)＝peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(q,p－1)))，進而求出通項公式.(2)形如an＝pan－1＋qn，此類問題可先處理qn，兩邊同時除以qn，得eq\f(an,qn)＝peq\f(an－1,qn)＋1，進而構造成eq\f(an,qn)＝eq\f(p,q)·eq\f(an－1,qn－1)＋1，設bn＝eq\f(an,qn)，從而變成bn＝eq\f(p,q)bn－1＋1，從而將問題轉化為第(1)個問題.(3)形如qan－1－pan＝anan－1，可以考慮兩邊同時除以anan－1，轉化為eq\f(q,an)－eq\f(p,an－1)＝1的形式，進而可設bn＝eq\f(1,an)，遞推公式變?yōu)閝bn－pbn－1＝1，從而轉變?yōu)樯厦娴?1)個問題.(4)形如an＝eq\f(man－1,k（an－1＋b）)(其中n≥2，mkb≠0)取倒數(shù)，得到eq\f(1,an)＝eq\f(k,m)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,an－1)))?eq\f(1,an)＝eq\f(kb,m)·eq\f(1,an－1)＋eq\f(k,m)，轉化為(1)中的類型.(5)形如an＝paeq\o\al(r,n－1)(n≥2，an，p>0)兩邊取常用對數(shù)，得lgan＝rlgan－1＋lgp，轉化為(1)中的類型.4.等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d；5.等比數(shù)列的通項公式：an＝a1·qn－1.6.等差數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d；7.等比數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))8.通項性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).9.前n項和的性質(zhì)(m，n∈N*)：對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)情況除外).專項專項檢測一、單選題1．（2023·新疆喀什·?？寄M預測）若，則（

）A．55 B．56 C．45 D．46【答案】D【分析】在數(shù)列遞推式中依次取，得到個等式，累加后求出數(shù)列的通項公式，即可求出答案.【詳解】由，得，，，，，累加得，，當時，上式成立，則，所以.故選：D2．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前18項和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)列的遞推公式，結合累乘法，求得其通項公式，根據(jù)三角函數(shù)的計算，求得數(shù)列的周期，整理數(shù)列的通項公式，利用分組求和，可得答案.【詳解】由，則，即，顯然，滿足公式，即，當時，；當時，；當時，；當時，，當時，；當時，；則數(shù)列是以為周期的數(shù)列，由，則，設數(shù)列的前項和為，.故選：D.3．（2023·全國·模擬預測）已知等比數(shù)列的前n項和為，．若，則n的最大值為（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】根據(jù)，可以表示出的前3項，由是等比數(shù)列，由等比中項的性質(zhì)可以求的通項公式，所以若，即可求出n的最大值.【詳解】由知，，，．因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，即，解得．所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以．所以，且，，，所以n的最大值為5．故選：C4．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）設數(shù)列的前項和為，，且，若恒成立，則的最大值是（

）A． B． C． D．8【答案】B【分析】根據(jù)遞推公式構造數(shù)列，結合可得數(shù)列的通項公式，然后參變分離，利用對勾函數(shù)性質(zhì)可解.【詳解】因為，所以，所以數(shù)列是常數(shù)列，又，所以，從而，所以數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，故．因為恒成立，所以恒成立，即恒成立．設，則，從而．記，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，且，所以的最小值是，所以．故選：B5．（2023·全國·模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A．60 B．120 C．180 D．240【答案】C【分析】利用下標和性質(zhì)求得，然后由等差數(shù)列求和公式和下標和性質(zhì)可解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列下標和性質(zhì)可知，得，所以．故選：C．6．（2023·全國·模擬預測）已知正項數(shù)列滿足，若存在，使得，則的最小值為（

）A．32 B．64 C．128 D．256【答案】B【分析】判斷為等比數(shù)列并求的公比,再化簡，最后利用基本不等式求的最小值，代入即可得解.【詳解】因為，所以為等比數(shù)列，設的公比為，因為，所以，即，得．所以．因為，所以，當且僅當時等號成立，所以．故選：B.7．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預測）設為數(shù)列的前項和，若，，則下列各選項在正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由遞推關系求出，根據(jù)與其前項和的關系可得是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可求解.【詳解】由，，得,即，解得.因為，所以，兩式相減得，即.又，，所以，所以是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，∴，．故選:D.8．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預測）設為等差數(shù)列的前項和，且，都有.若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】A【分析】利用等差數(shù)列求和公式可化簡已知不等式得到數(shù)列為遞增的等差數(shù)列；結合可確定當且時，，當且時，，由此可得結論.【詳解】由得：，即，數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，，，，當且時，；當且時，；有最小值，最小值為.故選：A.二、多選題9．（2023·江蘇揚州·儀征中學?？寄M預測）已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．C．的最小值為 D．【答案】ABD【分析】對于A：根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義分析判斷；對于B：根據(jù)整理即可；對于C：根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性分析判斷；對于D：根據(jù)題意分析可得，結合累加法分析求解.【詳解】對于選項A：因為，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，可得，故A正確；對于選項B：因為，則，兩邊平方整理得，故B正確；對于選項C：因為數(shù)列為遞增數(shù)列且，則為遞減數(shù)列，所以為遞減數(shù)列，不存在最小值，故C錯誤；對于選項D：因為，整理得，兩邊平方得，即，可得，所以，即，所以，故D正確；故選：ABD.10．（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知等比數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比可能為（

）A．1 B． C． D．【答案】AC【分析】，，成等差數(shù)列，得，利用前項和與通項的關系，化簡得，化簡得，求解可得.【詳解】設數(shù)列的公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，則有，即，所以，又，兩邊同除以得，，解得或.故選：AC.11．（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】BD【分析】根據(jù)給定的條件分析公比q的符號和大小，再逐項分析.【詳解】由題意，同號，即與同號，，又有…①或…②；若為①，則有，即；若為②，則有，則不可能大于1，即②不成立；，并且，，即是遞減的正數(shù)列，A錯誤；所以，B正確；，即對任意的n都成立，C錯誤；當時，，當時，，是的最大值，D正確；故選：BD.12．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）是等比數(shù)列的前項和，若存在，使得，則（

）A