法布里-珀羅干涉儀

光的干涉-4AI0v

v

v1/2BC振蕩閾值增益曲線3.21

鈉燈中含有589.6nm和589.0nm兩條強(qiáng)度相近的譜線，問(wèn)以鈉燈照射邁克耳遜干涉儀，調(diào)節(jié)M1時(shí)，條紋為什么會(huì)出現(xiàn)清晰－模糊－清晰的周期變化？一個(gè)周期中，條紋一共移動(dòng)了多少條？M1移動(dòng)了多少距離？

解：由于

1和

2強(qiáng)度相近，顏色幾乎相同，故當(dāng)

1與

2的極大值重疊時(shí)，條紋清晰，而當(dāng)

1的極大值與

2的極小值重疊時(shí)，條紋模糊不清，甚至條紋消失。

條紋清晰時(shí)有：δ=2d=K1

1=K2

2,

此時(shí)：K1=2d/

1；K2=2d/

2；ΔK=K1-K2=2dΔ

/

1

2d增加到d+Δd；ΔK增加1，即出現(xiàn)下一條清晰條紋。

ΔK+1=2（d+Δd）Δ

/

1

2即：2dΔ

/

1

2+1=2（d+Δd）Δ

/

1

2解得：Δd=

1

2/2Δ

=589.0×589.6/2×0.6=0.2894nmΔK=K1-K2=2dΔ

/

1

2=983條或者簡(jiǎn)單思路：答：一個(gè)周期中，條紋一共移動(dòng)了983條；M1移動(dòng)了0.289mm的距離。

例4.

（南開(kāi)大學(xué)99年考研試題）用水銀藍(lán)光(

=435.8納米)擴(kuò)展光源照明邁克耳孫干涉儀，在視場(chǎng)中獲得整20個(gè)干涉圓條紋．現(xiàn)在使Ｍ１遠(yuǎn)離Ｍ

２，使d逐漸加大，由視場(chǎng)中心冒出500個(gè)條

紋后，視場(chǎng)內(nèi)等傾圓條紋變?yōu)?0個(gè)．試求此干涉裝置的視場(chǎng)角、開(kāi)始時(shí)的間距d1和最后的間距d2．

解:如圖，Ｍ1是圓形反射鏡,Ｍ

2是圓形反射鏡Ｍ2的像，二者等效為空氣膜面．它們對(duì)觀察透鏡中心的張角2i2是視場(chǎng)角．當(dāng)Ｍ1和Ｍ

2的起始間距為d１時(shí)，對(duì)于視場(chǎng)中心和邊緣，分別有

dＭ1M

2i2

間距由d１增加到d２的過(guò)程中，冒出500個(gè)條紋，則此時(shí)對(duì)中心和邊緣有

已知

＝435.8納米,解上面四方程，可得

9Optics光學(xué)用實(shí)驗(yàn)方法不易測(cè)定最大值和最小值的準(zhǔn)確位置。若兩束光的振幅不相等，最小值不為0，則條紋的可見(jiàn)度降低。就更難確定最大值和最小值的準(zhǔn)確位置。對(duì)實(shí)際應(yīng)用來(lái)說(shuō)，干涉圖樣最好是十分狹窄，邊緣清晰并且十分明亮的條紋，此外，還要求亮條紋能被比較寬闊且相當(dāng)黑暗的區(qū)域隔開(kāi)。要是采用相位差相同的多光束干涉系統(tǒng)，就可以滿足這些要求。法布里－珀羅干涉儀就是一種相位差相同的多光束干涉儀器。10Optics光學(xué)儀器結(jié)構(gòu)及原理

它是由法國(guó)物理學(xué)家法布里（C.Fabry）和珀羅(A.Perot)于1896年研制的。11Optics光學(xué)干涉儀主要由兩板平行放置的玻璃板組成，它們相對(duì)的面嚴(yán)格平行，并鍍有反射率很大的反射膜，為了避免玻璃板外表的反射光干擾，G,G′板的兩個(gè)外表面之間有一微小鍥角。G,G′若兩個(gè)平行的鍍銀表面的間距固定不變，則稱(chēng)為法布里—珀羅標(biāo)準(zhǔn)具。若其間距可以改變，則稱(chēng)為法布里－珀羅干涉儀。12單色擴(kuò)展光源焦平面

屏幕iSL1L2F-PfPΠii13平行平板產(chǎn)生的多光束干涉CR3T2R1i2AdSn1n2n3i1BDR2T1T3R4為了利用平行平板觀察到多光束干涉現(xiàn)象，必須使平行平板兩表面的反射系數(shù)(率)很高。

假設(shè)上下表面的反射系數(shù)都為0.95，即反射率都為0.9左右，且假設(shè)平板沒(méi)有吸收，則入射光接近正入射到平板上(i1<15°)時(shí)，各束反射、透射光的強(qiáng)度與入射光光強(qiáng)的比值分別如下：R1：0.9

R2：0.009R3：0.0073R4：0.0058……T1：0.01T2：0.008T3：0.0066T4：0.0053……容易看出，在反射光中除了R1很強(qiáng)外，R2、R3、R4等光強(qiáng)相對(duì)都很弱，但它們的光強(qiáng)相近，所以如果去掉反射束R1，其余的反射光束就要發(fā)生多光束干涉。各束透射光，包括第一個(gè)透射光束T1在內(nèi)，就是一些雖然光強(qiáng)很弱但相近的相干光束，它們也要發(fā)生多光束干涉。換言之，在高反射率平行平板的透射光場(chǎng)中，可以直接觀察到多光束干涉現(xiàn)象。P—棱鏡IR1IR2IR3IT1IT2IT3I(簡(jiǎn)稱(chēng)陸末板)示意圖在內(nèi)表面的入射角接近于臨界角。這樣，內(nèi)表面反射系數(shù)很高，接近1。抑制第一束反射光既能觀察透射光多束光干涉，又能觀察反射光多束光干涉。15Optics光學(xué)二、遞減振幅多光束干涉的光強(qiáng)分布

設(shè)G,G′內(nèi)表面（鍍銀面）的光強(qiáng)反射率為

則從G透射光的振幅為

則第一次從G′透射光的振幅為

則第二次從G′透射光的振幅為

返回

16Optics光學(xué)依次類(lèi)推，從G2透射出的光的振幅分別為以

為公比的等比數(shù)列。這些振幅遞減的透射光，彼此平行，相鄰兩束光到達(dá)透射L2焦平面的光程差相等。相鄰兩束光到達(dá)透鏡L2的焦平面同一點(diǎn)時(shí)，彼此的光程差為：如圖

其相位差為17Optics光學(xué)若第一束透射光的初相位為0，則各光束的初相位依次為則在L2焦平面上P點(diǎn)處，各光束的振動(dòng)方程為：18Optics光學(xué)在P點(diǎn)的合振動(dòng)為:后面的方括號(hào)里面是以公比為的無(wú)窮等比數(shù)列。19Optics光學(xué)則P點(diǎn)的合振動(dòng)可以寫(xiě)為因此，P點(diǎn)的光強(qiáng)為：稱(chēng)為艾里函數(shù)。稱(chēng)為精細(xì)度。它反映干涉條紋的細(xì)銳程度。當(dāng)明條紋當(dāng)暗條紋由此式可以看出21透射光強(qiáng)

光強(qiáng)分布曲線如圖22

改變，不同波長(zhǎng)的最大值出現(xiàn)在不同的方向，成為有色光譜?！c邁克耳孫干涉儀的比較

相當(dāng)于邁克耳孫等傾干涉，相鄰兩透射光的光程差表達(dá)式與邁克耳孫干涉儀的完全相同，所以條紋的形狀、間距、徑向分布很相似。相同點(diǎn)：不同點(diǎn)：邁克耳孫干涉儀為等振幅的雙光束干涉法布里—珀羅干涉儀為振幅急劇減少的多光束干涉亮條紋極其細(xì)銳▲復(fù)色光入射隨23▲應(yīng)用1.研究光譜線超精細(xì)結(jié)構(gòu)的工具2.激光諧振腔借用了其工作原理.▲

（98%以上）時(shí)的情形各束透射光的振幅基本相等

A≈A0合振幅為：A0每束光振幅N光束總數(shù)φ相鄰兩束光之間的位相差等振幅的多光束干涉當(dāng)G、面的反射率很大時(shí)（實(shí)際上可達(dá)90%，甚至98%以上）由透射出來(lái)的各光束的振幅基本相等，這接近于等振幅的多光束干涉。計(jì)算這些光束的疊加結(jié)果，合振幅為設(shè)法布里—珀羅標(biāo)準(zhǔn)干涉儀（多光束干涉）26條件主最大的整數(shù)倍條件最小若j’取0或

N的整數(shù)倍，則最小條件變成主最大條件由最小條件知，在相鄰兩主最大之間分布著N-1

個(gè)最小相鄰兩最小之間為次最大，在相鄰兩主最大之間分布著N-2

個(gè)次最大

27Nφ/2φ/2N等于6時(shí)的等振幅多光束干涉光強(qiáng)分布曲線作為一個(gè)分光元件來(lái)說(shuō)，衡量其特性的好壞有三個(gè)技術(shù)指標(biāo)：(1)能夠分光的最大波長(zhǎng)間隔—自由光譜范圍；(2)能夠分辨的最小波長(zhǎng)差—分辨本領(lǐng)；(3)使不同波長(zhǎng)的光分開(kāi)的程度—角色散。1）研究光譜線的超精細(xì)結(jié)構(gòu)(1)自由光譜范圍—標(biāo)準(zhǔn)具常數(shù)多光束干涉的討論已經(jīng)知道，有兩個(gè)波長(zhǎng)為

1和

2的光入射至標(biāo)準(zhǔn)具，由于兩種波長(zhǎng)的同級(jí)條紋角半徑不同，因而將得到如圖所示的兩組干涉圓環(huán)。干涉級(jí)mm+1m+2可得，m相同時(shí)，

越大，cos

t就越大，

t就越小，又由于因此，

2的干涉圓環(huán)直徑比

1的干涉圓環(huán)直徑小。由于

2>

1，從光程差方程Lfn0n0nh

i

t

tP0rr=f

t當(dāng)

1和

2

相差很大，以致于

2

的第m級(jí)干涉條紋與

1的第m+1

級(jí)干涉條紋重疊，就引起了不同級(jí)次的條紋混淆，達(dá)不到分光之目的。(1)自由光譜范圍——標(biāo)準(zhǔn)具常數(shù)mm+1所以，對(duì)于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)具分光元件來(lái)說(shuō)，存在一個(gè)允許的最大分光波長(zhǎng)差，稱(chēng)為自由光譜范圍(Δ

)f。對(duì)于靠近條紋中心的某一點(diǎn)(

0)處，

2的第m級(jí)條紋與

1的第m+1級(jí)條紋發(fā)生重疊時(shí)，其光程差相等，有(1)自由光譜范圍——標(biāo)準(zhǔn)具常數(shù)因此，自由光譜范圍(

)f也稱(chēng)作儀器的標(biāo)準(zhǔn)具常數(shù)，它是分光元件的重要參數(shù)。(1)自由光譜范圍——標(biāo)準(zhǔn)具常數(shù)對(duì)于h=5mm的標(biāo)準(zhǔn)具,入射光波長(zhǎng)

=0.546l

m，n=1時(shí)，由上式可得(

)f=0.3×10-4

m。34條紋的半值寬度

為了描述條紋的寬窄，引入半值寬度的概念。定義：

當(dāng)光強(qiáng)降到最大值的一半時(shí)所對(duì)應(yīng)的相位差。當(dāng)時(shí)光強(qiáng)為最大。設(shè)當(dāng)時(shí)光強(qiáng)為最大光強(qiáng)的一半。如圖所示

設(shè)當(dāng)時(shí)代入光強(qiáng)分布公式可得因此條紋的半值寬度為：36例1

今有一譜線結(jié)構(gòu)，能量分布在波長(zhǎng)為500～

501nm的范圍內(nèi)，若標(biāo)準(zhǔn)具d=0.25mm,可否用它來(lái)分析這一譜線結(jié)構(gòu)？解：標(biāo)準(zhǔn)具對(duì)500nm附近的光自由光譜范為今待分析的譜線寬

nm，故不能使用．要分析這譜線，d<0.145mm才不會(huì)重級(jí)．37例題2：已知某光源中含有波長(zhǎng)差很小的兩條譜線，當(dāng)用此光源照明一個(gè)d0=2.5mm的F-P干涉儀時(shí)，上述兩條譜線的同級(jí)（如k級(jí)）條紋錯(cuò)開(kāi)1/10個(gè)條紋間距?，F(xiàn)將此光源照射邁克爾遜干涉儀，問(wèn)其一個(gè)反射鏡每移動(dòng)多少距離時(shí)，條紋會(huì)從最清晰變?yōu)橥耆：?？解：設(shè)此光源包含的兩條譜線的波長(zhǎng)分別為

和

，對(duì)F-P干涉儀，條紋間距用光程差表示時(shí)，相鄰兩級(jí)條紋的光程差為：因而，第k級(jí)條紋兩譜線相差的光程差為38對(duì)于波長(zhǎng)

，第k級(jí)條紋對(duì)應(yīng)的光程差為則可得對(duì)邁克爾遜干涉儀當(dāng)條紋最清晰時(shí)有由此可得當(dāng)條紋完全模糊時(shí)有39由上式得所以所以光程差的改變量為：將（1）和（2）式分別代入得分光儀器所能分辨開(kāi)的最小波長(zhǎng)差(Δ

)m稱(chēng)為分辨極限，并稱(chēng)為分辨本領(lǐng)。

(2)分辨本領(lǐng)對(duì)于不同的觀察者，這個(gè)“能分辨開(kāi)”是不同的。為此，必須要選擇一個(gè)公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)。而在光學(xué)儀器中,通常采用的標(biāo)準(zhǔn)是瑞利判據(jù)。

(2)分辨本領(lǐng)瑞利判據(jù)在這里指的是，兩個(gè)等強(qiáng)度波長(zhǎng)的亮條紋只有當(dāng)它們的合強(qiáng)度曲線中央極小值低于兩邊極大值的81％時(shí)，才算被分開(kāi)。

(2)分辨本領(lǐng)如果不考慮標(biāo)準(zhǔn)具的吸收損耗，

1和

2的透射光合強(qiáng)度為式中，

1和

2是在干涉場(chǎng)上同一點(diǎn)的兩個(gè)波長(zhǎng)條紋所對(duì)應(yīng)的相位差。

(2)分辨本領(lǐng)設(shè)I1i=I2i=Ii，

1-

2=

，則在合強(qiáng)度極小處(F點(diǎn))，

1=2m+

/2，

2=2m-

/2，因此極小值強(qiáng)度為

(2)分辨本領(lǐng)

1=2m+

/2，

2=2m-

/2在合強(qiáng)度極大值處，

1=2m

，

2=2m-

，故極大值強(qiáng)度為按照瑞利判據(jù)，兩個(gè)波長(zhǎng)條紋恰能分辨的條件是因此有由于

很小，sin

/2

/2，可解得式中，N是條紋的精細(xì)度。由于此時(shí)兩波長(zhǎng)剛被分辨開(kāi)，

=

，所以標(biāo)準(zhǔn)具的分辨本領(lǐng)為分辨本領(lǐng)與條紋干涉級(jí)數(shù)和精細(xì)度成正比。由于法布里—珀羅標(biāo)準(zhǔn)具的N很大，所以標(biāo)準(zhǔn)具的分辨本領(lǐng)極高。例如，若h=5mm，N

30(R0.9)，

=0.5

m，則在接近正入射時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)具的分辨本領(lǐng)為這相當(dāng)于在

=0.5

m

上，標(biāo)準(zhǔn)具能分辨的最小波長(zhǎng)差(

)m為0.0083×10-4

m，這樣高的分辨本領(lǐng)是一般光譜儀所達(dá)不到的。它定義為單位波長(zhǎng)間隔的光，經(jīng)分光儀所分開(kāi)的角度，用d

/d

表示。d

/d

愈大，不同波長(zhǎng)的光經(jīng)分光儀分得愈開(kāi)。(3)角色散Lfn0n0nh

i

t

tP0rr=f

t由法—珀干涉儀透射光極大值條件不計(jì)平行板材料的色散，兩邊進(jìn)行微分，可得(3)角色散角度

愈小，儀器的角色散愈大。因此，在法—珀干涉儀的干涉環(huán)中心處光譜最純。(3)角色散或551、亮紋和‘暗紋’條件和強(qiáng)度如果內(nèi)表面無(wú)吸收，則在滿足亮紋條件是，光能全部透過(guò)干涉儀?！良y條件。m為整數(shù)m稱(chēng)為干涉級(jí)如果內(nèi)表面反射率趨于1，則ITm趨近于0，反襯度為1?！导y’條件。562