提優(yōu)題型十 閱讀理解及定義型問(wèn)題（專題訓(xùn)練）（解析版）

題型十閱讀理解及定義型問(wèn)題（專題訓(xùn)練）1．（2021·甘肅武威市·中考真題）對(duì)于任意的有理數(shù)，如果滿足，那么我們稱這一對(duì)數(shù)為“相隨數(shù)對(duì)”，記為．若是“相隨數(shù)對(duì)”，則（）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】先根據(jù)新定義，可得9m+4n=0，將整式去括號(hào)合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)得，然后整體代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵是“相隨數(shù)對(duì)”，∴，整理得9m+4n=0，．故選擇A．【點(diǎn)睛】本題考查新定義相隨數(shù)對(duì)，找出數(shù)對(duì)之間關(guān)系，整式加減計(jì)算求值，掌握新定義相隨數(shù)對(duì)，找出數(shù)對(duì)之間關(guān)系，整式加減計(jì)算求值是解題關(guān)鍵．2．（山東省菏澤市2021年中考數(shù)學(xué)真題）定義：為二次函數(shù)（）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為的二次函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是軸；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值；④如果，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①②③．【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)特征數(shù)，以及的取值，逐一代入函數(shù)關(guān)系式，然判斷后即可確定正確的答案．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，把代入，可得特征數(shù)為∴，，，∴函數(shù)解析式為，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是軸，故①正確；當(dāng)時(shí)，把代入，可得特征數(shù)為∴，，，∴函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，故②正確；函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像開(kāi)口向上，有最小值，故③正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為：∴時(shí)，可能在函數(shù)對(duì)稱軸的左側(cè)，也可能在對(duì)稱軸的右側(cè)，故不能判斷其增減性，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的是①②③，故答案是：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸等知識(shí)點(diǎn)，牢記二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（四川省雅安市2021年中考數(shù)學(xué)真題）定義：，若函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為（）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題目中所給的運(yùn)算法則，分兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】令,當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，令，則w與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），（-1，0），∴當(dāng)時(shí)，，∴（），∵y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，令，則w與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），（-1，0），∴當(dāng)時(shí)，或，∴（或），∵的對(duì)稱軸為x=1，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，∵當(dāng)x=2時(shí)，=3，∴當(dāng)時(shí)，y<3；當(dāng)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=-1時(shí)，=0；∴當(dāng)時(shí)，y<0；綜上，的最大值為3．故選C．【點(diǎn)睛】本題是新定義運(yùn)算與二次函數(shù)相結(jié)合的題目，解題時(shí)要注意分情況討論，不要漏解．4．（內(nèi)蒙古通遼市2021年中考數(shù)學(xué)真題）定義：一次函數(shù)的特征數(shù)為，若一次函數(shù)的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則一次函數(shù)的特征數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出平移后的直線解析式為，根據(jù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，從而求出m，根據(jù)特征數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：由題意得一次函數(shù)的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后解析式為，∵直線與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)A，B，O在同一直線上，∴直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴m+3=0，∴m=-3，∴一次函數(shù)的解析式為，∴一次函數(shù)的特征數(shù)是．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，直線的平移，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)，中心對(duì)稱等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，根據(jù)點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得到平移后直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)是解題關(guān)鍵．5．（2021·廣西來(lái)賓市·中考真題）定義一種運(yùn)算：，則不等式的解集是（）A．或 B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算規(guī)則，分別從和兩種情況列出關(guān)于x的不等式，求解后即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，則，解得，∴此時(shí)原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，則，解得，∴此時(shí)原不等式的解集為；綜上所述，不等式的解集是或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義運(yùn)算規(guī)則列出關(guān)于x的不等式．6．（2021·湖北中考真題）定義新運(yùn)算“※”：對(duì)于實(shí)數(shù)，，，，有，其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，如：．若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A．且 B． C．且 D．【答案】C【分析】按新定義規(guī)定的運(yùn)算法則，將其化為關(guān)于x的一元二次方程，從二次項(xiàng)系數(shù)和判別式兩個(gè)方面入手，即可解決．【詳解】解：∵[x2+1，x]※[5?2k，k]=0，∴．整理得，．∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴判別式且．由得，，解得，．∴k的取值范圍是且．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算、一元二次方程的根的判別等知識(shí)點(diǎn)，正確理解新定義的運(yùn)算法則是解題的基礎(chǔ)，熟知一元二次方程的條件、根的不同情況與判別式符號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．此類題目容易忽略之處在于二次項(xiàng)系數(shù)不能為零的條件限制，要引起高度重視．7．（廣西貴港市2021年中考數(shù)學(xué)真題）我們規(guī)定：若，則．例如，則．已知，且，則的最大值是________．【答案】8【分析】根據(jù)平面向量的新定義運(yùn)算法則，列出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意知：．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，．即的最大值是8．故答案是：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量，解題時(shí)，利用了配方法求得二次函數(shù)的最值．8．（2021·湖北中考真題）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算：，若，則x的值為_(kāi)_______．【答案】或2【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算得到，整理并求解一元二次方程即可．【詳解】解：根據(jù)新定義內(nèi)容可得：，整理可得，解得，，故答案為：或2．【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算、解一元二次方程，根據(jù)題意理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．9．（2019·常德）規(guī)定：如果一個(gè)四邊形有一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，那么四邊形為廣義菱形．根據(jù)規(guī)定判斷下面四個(gè)結(jié)論：①正方形和菱形都是廣義菱形；②平行四邊形是廣義菱形；③對(duì)角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；④若M、N的坐標(biāo)分別為(0，1)，(0，－1)，P是二次函數(shù)y＝x2的圖象上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，PQ垂直直線y＝－1于點(diǎn)Q，則四邊形PMNQ是廣義菱形．其中正確的是．（填序號(hào)）【答案】①④【解析】正方形和菱形滿足一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，故都是廣義菱形，故①正確；平行四邊形雖然滿足一組對(duì)邊平行，但是鄰邊不一定相等，因此不是廣義菱形，故②錯(cuò)誤；對(duì)角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形的對(duì)邊不一定平行，鄰邊也不一定相等，因此不是廣義菱形，故③錯(cuò)誤；④中的四邊形PMNQ滿足MN∥PQ，設(shè)P(m，0)（m＞0），∵PM＝＝＋1，PQ＝－(－1)＝＋1，∴PM＝PQ，故四邊形PMNQ是廣義菱形．綜上所述正確的是①④．10．（2019·隴南）定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，則它的特征值k＝．【答案】或．【解析】當(dāng)∠A是頂角時(shí)，底角是50°，則k=；當(dāng)∠A是底角時(shí)，則底角是20°，k=，故答案為：或．11．（2019?濟(jì)寧）閱讀下面的材料：如果函數(shù)y=f（x）滿足：對(duì)于自變量x的取值范圍內(nèi)的任意x1，x2，（1）若x1<x2，都有f（x1）<f（x2），則稱f（x）是增函數(shù)；（2）若x1<x2，都有f（x1）＞f（x2），則稱f（x）是減函數(shù)．例題：證明函數(shù)f（x）=（x＞0）是減函數(shù)．證明：設(shè)0<x1<x2，f（x1）–f（x2）=．∵0<x1<x2，∴x2–x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）–f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2），∴函數(shù)f（x）═（x＞0）是減函數(shù)．根據(jù)以上材料，解答下面的問(wèn)題：已知函數(shù)f（x）=+x（x<0），f（–1）=+（–1）=0，f（–2）=+（–2）=–．（1）計(jì)算：f（–3）=__________，f（–4）=__________；（2）猜想：函數(shù)f（x）=+x（x<0）是__________函數(shù)（填“增”或“減”）；（3）請(qǐng)仿照例題證明你的猜想．【答案】（1）–，–；（2）增；（3）見(jiàn)解析．【解析】（1）∵f（x）=+x（x<0），∴f（–3）=–3=–，f（–4）=–4=–，故答案為：–，–；（2）∵–4<–3，f（–4）＞f（–3），∴函數(shù)f（x）=+x（x<0）是增函數(shù)，故答案為：增；（3）設(shè)x1<x2<0，∵f（x1）–f（x2）==（x1–x2）（1–）∵x1<x2<0，∴x1–x2<0，x1+x2<0，∴f（x1）–f（x2）<0，∴f（x1）<f（x2），∴函數(shù)f（x）=+x（x<0）是增函數(shù)．【名師點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．12．（2022·四川涼山）閱讀材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝；x1x2＝．(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系直接進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出，，然后將進(jìn)行變形求解即可；（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出，，然后求出s-t的值，然后將進(jìn)行變形求解即可．【解析】(1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，∴，．故答案為：；．(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩根分別為m、n，∴，，∴(3)∵實(shí)數(shù)s、t滿足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的兩個(gè)根，∴，，∵∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上分析可知，的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計(jì)算，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出或，是解答本題的關(guān)鍵．13.（2019?隨州）若一個(gè)兩位數(shù)十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為m，n，我們可將這個(gè)兩位數(shù)記為，易知=10m+n；同理，一個(gè)三位數(shù)、四位數(shù)等均可以用此記法，如=100a+10b+c．【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）解方程填空：①若+=45，則x=__________；②若–=26，則y=__________；③若+=，則t=__________；【能力提升】（2）交換任意一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字，可得到一個(gè)新數(shù)，則+一定能被__________整除，–一定能被__________整除，?–mn一定能被__________整除；（請(qǐng)從大于5的整數(shù)中選擇合適的數(shù)填空）【探索發(fā)現(xiàn)】（3）北京時(shí)間2019年4月10日21時(shí)，人類拍攝的首張黑洞照片問(wèn)世，黑洞是一種引力極大的天體，連光都逃脫不了它的束縛．?dāng)?shù)學(xué)中也存在有趣的黑洞現(xiàn)象：任選一個(gè)三位數(shù)，要求個(gè)、十、百位的數(shù)字各不相同，把這個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字按大小重新排列，得出一個(gè)最大的數(shù)和一個(gè)最小的數(shù)，用得出的最大的數(shù)減去最小的數(shù)得到一個(gè)新數(shù)（例如若選的數(shù)為325，則用532–235=297），再將這個(gè)新數(shù)按上述方式重新排列，再相減，像這樣運(yùn)算若干次后一定會(huì)得到同一個(gè)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)，這個(gè)數(shù)稱為“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”．①該“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”為_(kāi)_________；②設(shè)任選的三位數(shù)為（不妨設(shè)a＞b＞c），試說(shuō)明其均可產(chǎn)生該黑洞數(shù)．【答案】（1）①2．②4．③7．（2）11；9；10．【解析】（1）①∵=10m+n，∴若+=45，則10×2+x+10x+3=45，∴x=2，故答案為：2．②若–=26，則10×7+y–（10y+8）=26，解得y=4，故答案為：4．③由=100a+10b+c，及四位數(shù)的類似公式得若+=，則100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，∴100t=700，∴t=7，故答案為：7．（2）∵+=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），∴則+一定能被11整除，∵–=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），∴–一定能被9整除．∵?–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）∴?–mn一定能被10整除．故答案為：11；9；10．（3）①若選的數(shù)為325，則用532–235=297，以下按照上述規(guī)則繼續(xù)計(jì)算，972–279=693，963–369=594，954–459=495，954–459=495，…故答案為：495．②當(dāng)任選的三位數(shù)為時(shí)，第一次運(yùn)算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c），結(jié)果為99的倍數(shù)，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，∴a–c≤9，∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次運(yùn)算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再讓這些數(shù)字經(jīng)過(guò)運(yùn)算，分別可以得到：981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，故都可以得到該黑洞數(shù)495．【名師點(diǎn)睛】本題是較為復(fù)雜的新定義試題，題目設(shè)置的問(wèn)題較多，但解答方法大同小異，總體中等難度略大．14．（2021·北京中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于點(diǎn)和線段，給出如下定義：若將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖，點(diǎn)的橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段中，的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是______________；（2）是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)，其中．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求的值；（3）在中，．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)．【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，分別以為半徑畫圓，進(jìn)而觀察是否與有交點(diǎn)即可；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，且是的弦，進(jìn)而畫出圖象，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解；（3）由是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知都在上，且，然后由題意可根據(jù)圖象來(lái)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：通過(guò)觀察圖象可得：線段能繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到的“關(guān)聯(lián)線段”，都不能繞點(diǎn)A進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到；故答案為；（2）由題意可得：當(dāng)是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”時(shí)，則有是等邊三角形，且邊長(zhǎng)也為1，當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時(shí)，如圖所示：設(shè)與y軸的交點(diǎn)為D，連接，易得軸，∴，∴，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時(shí)，如圖所示：同理可得此時(shí)的，∴；（3）由是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知都在上，且，則有當(dāng)以為圓心，1為半徑作圓，然后以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，即可得到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示：由運(yùn)動(dòng)軌跡可得當(dāng)點(diǎn)A也在上時(shí)為最小，最小值為1，此時(shí)為的直徑，∴，∴，∴；由以上情況可知當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，OA的值為最大，最大值為2，如圖所示：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)P，∴，設(shè)，則有，∴由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴，在中，，∴；綜上所述：當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（江蘇省南通市2021年中考數(shù)學(xué)試題）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”．（1）分別判斷函數(shù)的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由；（2）設(shè)函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為C．當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，求b的值；（3）若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當(dāng)兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)y=x+2沒(méi)有“等值點(diǎn)”；函數(shù)的“等值點(diǎn)”為(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．【分析】（1）根據(jù)定義分別求解即可求得答案；（2）根據(jù)定義分別求A(，)，B(，)，利用三角形面積公式列出方程求解即可；（3）由記函數(shù)y=x2-2（x≥m）的圖象為W1，將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2，可得W1與W2的圖象關(guān)于x=m對(duì)稱，然后根據(jù)定義分類討論即可求得答案．【詳解】解：（1）∵函數(shù)y=x+2，令y=x，則x+2=x，無(wú)解，∴函數(shù)y=x+2沒(méi)有“等值點(diǎn)”；∵函數(shù)，令y=x，則，即，解得：，∴函數(shù)的“等值點(diǎn)”為(0，0)，(2，2)；（2）∵函數(shù)，令y=x，則，解得：(負(fù)值已舍)，∴函數(shù)的“等值點(diǎn)”為A(，)；∵函數(shù)，令y=x，則，解得：，∴函數(shù)的“等值點(diǎn)”為B(，)；的面積為，即，解得：或；（3）將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2．∴W1與W2兩部分組成的函數(shù)W的圖象關(guān)于對(duì)稱，∴函數(shù)W的解析式為，令y=x，則，即，解得：，∴函數(shù)的“等值點(diǎn)”為(-1，-1)，(2，2)；令y=x，則，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)W的圖象不存在恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”的情況；當(dāng)時(shí)，觀察圖象，恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”；當(dāng)時(shí)，∵W1的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”(-1，-1)，(2，2)，∴函數(shù)W2沒(méi)有“等值點(diǎn)”，∴，整理得：，解得：．綜上，m的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的對(duì)稱性．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．16.（2019·衢州）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)A（a，b），B（c，d），若點(diǎn)T（x，y）滿是x=，y=，那么稱點(diǎn)T是點(diǎn)A，B的融合點(diǎn)。例如：A（-1，8），B（4，一2），當(dāng)點(diǎn)T（x.y）滿是x==1，y==2時(shí).則點(diǎn)T（1，2）是點(diǎn)A，B的融合點(diǎn)。（1）已知點(diǎn)A（-1，5），B（7，7）.C（2，4）。請(qǐng)說(shuō)明其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的融合點(diǎn).（2）如圖，點(diǎn)D（3，0）.點(diǎn)E（t，2t+3）是直線l上任意一點(diǎn)，點(diǎn)T（x，y）是點(diǎn)D，E的融合點(diǎn).①試確定y與x的關(guān)系式.②若直線ET交x軸于點(diǎn)H，當(dāng)△DTH為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).【解析】解：（1）∵=2，=4，∴點(diǎn)C（2，4）是點(diǎn)A.B的融合點(diǎn)。..…3分（2）①由融合點(diǎn)定義知x=，得t=3x-3....4分又∵y=，得t=...….5分∴3x-3=，化簡(jiǎn)得y=2x-1.……6分②要使△DTH為直角三角形，可分三種情況討論：（Ⅰ）當(dāng)∠THD=90°時(shí)，如圖1所示，設(shè)T（m，2m-1），則點(diǎn)E為（m，2m+3）.由點(diǎn)T是點(diǎn)D，E的融合點(diǎn)，可得m=或2m-1=解得m=，∴點(diǎn)E1（，6）.…7分（Ⅱ）當(dāng)∠TDH=90°時(shí)，如圖2所示，則點(diǎn)T為（3，5）.由點(diǎn)T是點(diǎn)D，E的融合點(diǎn)，可得點(diǎn)E2（6，15）。.……8分（Ⅲ）當(dāng)∠HTD=90°時(shí)，該情況不存在。……9分（注：此類情況不寫不扣分）綜上所述，符合題意的點(diǎn)為E1（，6），E2（6，15）.……10分17.（2019·金華）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，邊OA，OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為好點(diǎn)．點(diǎn)P為拋物線y＝－（x－2）2＋m＋2的頂點(diǎn)．（1）當(dāng)m＝0時(shí)，求該拋物線下放（包括邊界）的好點(diǎn)個(gè)數(shù)．（2）當(dāng)m＝3時(shí)，求該拋物線上的好點(diǎn)坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個(gè)好點(diǎn)，求m的取值范圍．【解析】解：（1）當(dāng)m＝0時(shí)，二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2＋2，畫出函數(shù)圖象（圖1），∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）和（1，1）．∴好點(diǎn)有：（0，0），（0，1），（0，2）．（1，0）和（1，1）共5個(gè)．（2）當(dāng)m＝3時(shí)，二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－（x－3）2＋5，畫出函數(shù)圖象（圖2），∵當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝4；∴拋物線上存在好點(diǎn)，坐標(biāo)分別是（1，1）和（4，4）．（3）∵拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m＋2），∴點(diǎn)P在直線y＝x＋2上．由于點(diǎn)P在正方形內(nèi)，則0＜m＜2．如圖3，點(diǎn)E（2，1），F(xiàn)（2，2）．∴當(dāng)頂點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)，且好點(diǎn)恰好存在8個(gè)時(shí)，拋物線與線段EF有交點(diǎn)（點(diǎn)F除外）．當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（2，1）時(shí)，－（2－m）2＋m＋2＝1，解得m1＝，m2＝（舍去）．當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（2，2）時(shí)，－（2－m）2＋m＋2＝2，解得m1＝1，m2＝4（舍去）．∴當(dāng)＜m＜1時(shí)，點(diǎn)在正方形內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在個(gè)好點(diǎn)．18.（2019·揚(yáng)州）如圖，平面內(nèi)的兩條直線、，點(diǎn)，在直線上，點(diǎn)、在直線上，過(guò)、兩點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為，，我們把線段叫做線段在直線上的正投影，其長(zhǎng)度可記作或，特別地線段在直線上的正投影就是線段．請(qǐng)依據(jù)上述定義解決如下問(wèn)題：（1）如圖1，在銳角中，，，則；（2）如圖2，在中，，，，求的面積；（3）如圖3，在鈍角中，，點(diǎn)在邊上，，，，求，【思路分析】（1）如圖1中，作．根據(jù)正投影的定義求出即可．（2）如圖2中，作于．由正投影的定義可知，，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可解決問(wèn)題．（3）如圖3中，作于，于．根據(jù)正投影的定義，求出，即可解決問(wèn)題．【解題過(guò)程】解：（1）如圖1中，作．，，，，，故答案為2．（2）如圖2中，作于．，，，，，，，，，，，，．（3）如圖3中，作于，于．，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，．19．（2022·山西·中考真題）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元二次方程根的情況我們知道，一元二次方程的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象（稱為拋物線）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．拋物線與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、無(wú)交點(diǎn)．與此相對(duì)應(yīng)，一元二次方程的根也有三種情況：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、無(wú)實(shí)數(shù)根．因此可用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定一元二次方程根的情況下面根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（，）和一元二次方程根的判別式，分別分和兩種情況進(jìn)行分析：（1）時(shí)，拋物線開(kāi)口向上．①當(dāng)時(shí)，有．∵，∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)．∴頂點(diǎn)在x軸的下方，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖1）．②當(dāng)時(shí)，有．∵，∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)．∴頂點(diǎn)在x軸上，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（如圖2）．∴一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．③當(dāng)時(shí)，……（2）時(shí)，拋物線開(kāi)口向下．……任務(wù)：(1)上面小論文中的分析過(guò)程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是（從下面選項(xiàng)中選出兩個(gè)即可）；A．?dāng)?shù)形結(jié)合B．統(tǒng)計(jì)思想C．分類討論．D．轉(zhuǎn)化思想(2)請(qǐng)參照小論文中當(dāng)時(shí)①②的分析過(guò)程，寫出③中當(dāng)時(shí)，一元二次方程根的情況的分析過(guò)程，并畫出相應(yīng)的示意圖；(3)實(shí)際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學(xué)還有一些知識(shí)也可以用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)，例如：可用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)一元一次方程的解．請(qǐng)你再舉出一例為【答案】(1)AC（或AD或CD）(2)分析見(jiàn)解析；作圖見(jiàn)解析(3)答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）解一元二次方程的解轉(zhuǎn)化為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；還體現(xiàn)了分類討論思想；（2）依照例題，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，可以解答；（3）結(jié)合所學(xué)知識(shí)，找到用轉(zhuǎn)化思想或數(shù)形結(jié)合或分類討論思想解決問(wèn)題的一種情況即可．(1)解：上面解一元二次方程的過(guò)程中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想，故答案為：AC（或AD或CD）；(2)解：a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上．當(dāng)△=b2?4ac<0時(shí)，有4ac?b2>0﹒∵a>0，∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)﹒∴頂點(diǎn)在x軸的上方，拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)（如圖）：∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)無(wú)實(shí)數(shù)根．(3)解：可用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)二元一次方程組的解．（答案不唯一．又如：可用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元一次不等式的解集，等）【點(diǎn)睛】本題考查的二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根據(jù)轉(zhuǎn)化思想將一元二次方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的問(wèn)題，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定一元二次方程根的情況是本題的關(guān)鍵．20．（2022·浙江嘉興）6月13日，某港口的潮水高度y（）和時(shí)間x（h）的部分?jǐn)?shù)據(jù)及函數(shù)圖象如下：x（h）…1112131415161718…y（）…18913710380101133202260…（數(shù)據(jù)來(lái)自某海洋研究所）(1)數(shù)學(xué)活動(dòng)：①根據(jù)表中數(shù)據(jù)，通過(guò)描點(diǎn)、連線（光滑曲線）的方式補(bǔ)全該函數(shù)的圖象．②觀察函數(shù)圖象，當(dāng)時(shí)，y的值為多少？當(dāng)y的值最大時(shí)，x的值為多少？(2)數(shù)學(xué)思考：請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)或結(jié)論．(3)數(shù)學(xué)應(yīng)用：根據(jù)研究，當(dāng)潮水高度超過(guò)260時(shí)，貨輪能夠安全進(jìn)出該港口．請(qǐng)問(wèn)當(dāng)天什么時(shí)間段適合貨輪