2023年河北省正定縣高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4={尤以>—1},集合3={x|x（x+2）<0},那么AU8等于（）

A.{x[x>-2}B.{x|-1<x<0}C.D.{x[-l<x<2}

2.四人并排坐在連號的四個(gè)座位上，其中A與3不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是（）

A.12B.16C.20D.8

TTTT

3.將函數(shù)/（幻=2豆11（3X+。）（0<夕<萬）圖象向右平移^個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線x對稱，則

83

冗冗

函數(shù)/（X）在一三，7上的值域是（）

OO_

廠rV21廠

A.[—1,2]B.[―V3,2]C.——JD.[—yj2,2]

TT

4.函數(shù)/（x）=2sin（2x-豆）的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是（）

o

①圖象C關(guān)于直線x=對稱；

12

7T

②圖象C關(guān)于點(diǎn)（-1,0）對稱；

③由y=2sin2x的圖象向右平移？個(gè)單位長度可以得到圖象C.

A.①B.①②C.②③D.①②③

r2v2r22.

5.已知橢圓當(dāng)+4=1（">5>0）與雙曲線二—勺=上（a>0,5>0）的焦點(diǎn)相同，則雙曲線漸近線方程為（）

a2b2a2h22

A.y=±與

B.y=±y/3x

.3

C.y=+—xD.y=±\[2x

2

6.已知定義在R上的奇函數(shù)/（?滿足：/（x+2e）=-/（%）（其中e=2.71828???），且在區(qū)間[e,2e]上是減函數(shù),

令。=手，b-,c=——，則/(a),/S),/(C)的大小關(guān)系(用不等號連接)為()

235

A.f(b)>f(a)>f(c)B.f(b)>/(c)>f(a)

c.f(a)>f(b)>f(c)D./(a)>/(c)>/@)

7.如圖，在平面四邊形ABC!)中，AB1BC,AD±CD,^BAD=120,AB=AD=\,

若點(diǎn)E為邊CO上的動(dòng)點(diǎn)，則荏?麗的最小值為（）

21325

B.D.3

16216

8.已知函數(shù).，（x）=2sin（3V+0）-l（<y>0.0<°<萬）的一個(gè)零點(diǎn)是函數(shù)y=/（X）圖象的一條對稱軸是

直線x=-J,則當(dāng)"取得最小值時(shí)，函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

6

,7T,TC5萬—77r

A.3k7r----,3k7T-----（ZEZ）B.3k7r---------,3k兀------（ZcZ）

3636

..TC..7C

2k兀----,2Z〃(左cZ)D.2k冗-----,2k7r—(左￡Z)

3636

x+2y<1〃

9,設(shè)X,y滿足約束條件2尢+y2-1,若z=-3x+2〉的最大值為〃，貝ij（2x-的展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為（）

x-y<0I?）

A.60B.80C.90D.120

10.如圖，圓錐底面半徑為0,體積為迪萬，AB.CO是底面圓。的兩條互相垂直的直徑，E是母線心的中

3

點(diǎn)，已知過8與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)P的距

離等于（）

VioD.4

~1~

11.已知AABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)。，E分別是邊A3，8C的中點(diǎn)，連接OE并延長到點(diǎn)產(chǎn)，使得

DE=2EF,則通.冊的值為()

11511

A.—B.-C.-D.—

8448

12.設(shè)1，居分別為雙曲線￡-￡=13>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)耳作圓f+y2="的切線，與雙曲線的左、

ab~

右兩支分別交于點(diǎn)P,。，若|QE|=|PQI，則雙曲線漸近線的斜率為()

A.±1B.±(V3-1)C.土便+1)D.+75

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)f(x)=sin3x+3cos2x(xG-的值域?yàn)?

14.已知點(diǎn)M是曲線y=2/〃x+x2-3x上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)曲線在M處的切線斜率取得最小值時(shí)，該切線的方程為.

15.已知點(diǎn)F是拋物線y=2/的焦點(diǎn)，M，N是該拋物線上的兩點(diǎn)，若|M/q+|N/q=17」，則線段MN中點(diǎn)的縱

4

坐標(biāo)為?

16.已知函數(shù)/(x)=J4?+8^，若函數(shù)g(x)=a|/(x)|+l有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍

x2+2x-l,x<-2,x>0

是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)/到定點(diǎn)(1,0)的距離比到)’軸的距離多1.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。的方程；

(2)設(shè)A，8是軌跡C在(xNO)上異于原點(diǎn)。的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線。4和03的傾斜角分別為夕和〃，當(dāng)a,尸變

7T

化且時(shí)，證明：直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

18.(12分)如圖，在三棱柱ABC-A4G中，AABC是邊長為2的等邊三角形，BC1BB,,CC1=后,Ag=

（1）證明：平面ABC_L平面BB℃；

（2）M,N分別是8C,用G的中點(diǎn)，P是線段AG上的動(dòng)點(diǎn)，若二面角「一MN-C的平面角的大小為30。，試

確定點(diǎn)P的位置.

19.（12分）對于非負(fù)整數(shù)集合S（非空），若對任意x,yeS,或者x+yeS,或者則稱S為一個(gè)好集

合.以下記同為S的元素個(gè)數(shù).

（1）給出所有的元素均小于3的好集合.（給出結(jié)論即可）

（2）求出所有滿足|S|=4的好集合.（同時(shí)說明理由）

（3）若好集合S滿足|5|=2019,求證：S中存在元素加，使得S中所有元素均為加的整數(shù)倍.

20.（12分）已知函數(shù)/（x）=l-2Gsinxcosx-2cos晨+加在R上的最大值為3.

（1）求，〃的值及函數(shù)“X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若銳角中角A、B、C所對的邊分別為久從c,且/（A）=0,求9的取值范圍.

C

2

21.（12分）△鉆C的內(nèi)角A，B,C的對邊分別為。，b,c,已知AABC的面積為，一.

4sinA

（1）求sinBsinC；

（2）若10cos8cosC=—l,a=&，求A4BC的周長.

22.（10分）已知等差數(shù)列｛4｝滿足q=1,公差d>0,等比數(shù)列也｝滿足白=q,b2=a2,b3=a5.

（1）求數(shù)列｛q｝,也｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列｛%｝滿足2+￡■+?+…+2=。卅，求｛%｝的前1項(xiàng)和S,,.

”1"2"3””

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

求出集合3,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.

【詳解】

：A={x|x>-1},3={x|-2<x<0},

:.A|jB={x|x>-2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

先將除A,〃以外的兩人先排，再將4,笈在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空，再相乘得答案.

【詳解】

先將除A,8以外的兩人先排，有&=2種；再將A,8在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空，有A；=3x2=6種，所以共有

2x6=12種.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查排列中不相鄰問題，常用插空法，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

由題意利用函數(shù)丫=4$畝（妙+9）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，求得結(jié)果.

【詳解】

7T

解：把函數(shù)/（x）=2sin（3x+。）（0<。</）圖象向右平移了個(gè)單位長度后,

8

3—+

可得y=2sin<P的圖象;

8

7T

再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線1=5對稱,

C713乃.71、r

/.3X-------F69=K71H--%￡Z,

3829

萬(萬

:.(p=—7函數(shù),f(x)=2sin13x+7

9T

,n7iL2J兀7t54

在—一,—上，3x4---e,.二sin3x--€-J

88o7'TI8JT,

故/(x)=2sin3x-7卜[—夜,2],即/(x)的值域是[―也,2],

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)y=Asin（5+°）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題.

4.B

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心和圖象變換的知識，判斷出正確的結(jié)論.

【詳解】

7T

因?yàn)?（X）=2sin（2x-—）,

3

又于汪）=2sin（2x---）=2sin—=2,所以①正確.

121236

/（-1）=2sin（2x三一《）=2sin（—萬）=0,所以②正確.

將y=2sin2x的圖象向右平移9個(gè)單位長度，得y=2sin[2（x—2）]=2sin（2x—耳），所以③錯(cuò)誤.

JJO

所以①②正確，③錯(cuò)誤.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心，考查三角函數(shù)圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

由題意可得2/-2從=/+從，即/=3從，代入雙曲線的漸近線方程可得答案.

【詳解】

22

2222Xy

依題意橢圓[+]=l（a>b>0）與雙曲線二—q=L（a>0,b>0）即/一廬=l（a>0'b>°）的焦點(diǎn)相同，可

a2b2a2b22

22

得：a2-b2=—a2-v—b2,

22

b

即/=3/，.?.2=1，可得近=手，

a3-3

正

b

雙曲線的漸近線方程為：>=±逅x=±乎X,

72

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

因?yàn)椤▁+2e)=—/(%),所以〃x+4e)=/(x),即周期為4,因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，所以可作一個(gè)周期[-2e,2e]

示意圖，如圖/(x)在(0,1)單調(diào)遞增，因?yàn)??<25;.55<2^,23<3?.?.2?<3§，0<c<a<〃<l，因此

f(b)>f(a)>f(c),選A.

點(diǎn)睛：函數(shù)對稱性代數(shù)表示

(1)函數(shù)/。)為奇函數(shù)=/。)=一/(一幻，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)o/(x)=/(-x)(定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)；

(2)函數(shù)./'(X)關(guān)于點(diǎn)(a,6)對稱=/(%)+f(-x+2a)=2h,函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=相對稱=f(x)=f(-x+2m),

(3)函數(shù)周期為T,則/(x)=/(x+D

7.A

【解析】

分析：由題意可得人鉆。為等腰三角形，ABCD為等邊三角形,把數(shù)量積荏.爐分拆，設(shè)詼=。反(04141),

數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。

詳解：連接BD,取AD中點(diǎn)為O,可知八4%?為等腰三角形，而AB_LBC,AD，C。，所以△友?￡）為等邊三角形,

BD=B設(shè)炭=，反（0W）

AE.BE=（AD+DEy（Bb+DE）=AbBb+DE（AD+Bb）+Df=^BbDE+D^

=3z2--r+-（O<z<l）

22

I21

所以當(dāng)r=一時(shí)，上式取最小值一，選A.

416

點(diǎn)睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時(shí)利用

向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。

8.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)/（X）的一個(gè)零點(diǎn)是尤=[,得出dg]=O,再根據(jù)X=—工是對稱軸，得出一夕。一°=二+%乃，kwZ,

3\3J662

求出卬的最小值與對應(yīng)的9,寫出/（x）即可求出其單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】

一兀、A.（兀3、.八.（砌\1

依題意得，/—=2sin—~+（p-1=0,即sin——+（p=—,

\J13J<3）Z

解得----卜（p=2k\?i?—或---卜5=2《兀?----（其中占，E￡Z）.①

3636

.（71（0）

又sm----+9=±1,

16；

即一詈+0=自萬+]（其中&GZ）.②

由①一②得詈=（2匕一右）％-5或彳=（2心一勺）》+5，

292

即①=2（2人一仆）一4或①二2（2匕一&）+§（其中左],kz,&￡Z）,因此"的最小值為1.

因?yàn)閟in—詈+c）=sin（'-/+夕）=±1,所以一?+*='+A萬（ke

Z）.

（2\（2萬）,

又0<。<力，所以°=￡+?所以/（x）=2sin-x+-+--1=2COS—XH-1,

（39）

27C5TC71

令一萬<一xH—42左"（攵￡Z）,則3左乃----￡x<3左萬（k=Z）.

3936

54jr

因此，當(dāng)。取得最小值時(shí)，“X)的單調(diào)遞增區(qū)間是3^--,3^--(ZeZ).

_36

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點(diǎn)，在對稱軸處取得最值，對稱點(diǎn)處函數(shù)值為零，屬于較易題目.

9.B

【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到〃=5,再利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.

【詳解】

如圖所示：畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，

3z

z=-3x+2y,即3，=一％+一，故，表示直線與截距的2倍，

22

根據(jù)圖像知：當(dāng)x=-l,y=l時(shí)，z=-3x+2)，的最大值為5,故〃=5.

/\r5——r

展開式的通項(xiàng)為：==Wc)"x2,

取廠=2得到一項(xiàng)的系數(shù)為：C/-25-2-(-l)2=80.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃求最值，二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

10.D

【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)尸的距離.

【詳解】

將拋物線放入坐標(biāo)系，如圖所示,

,:PO=M，OE=\,0C=0D=6,

.\C（-1,V2）,設(shè)拋物線尸=2小，代入C點(diǎn),

可得y2=-2x

，焦點(diǎn)為1-5,0,

即焦點(diǎn)為OE中點(diǎn)，設(shè)焦點(diǎn)為廠，

EF=~,PE=1>：.PF=—.

22

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，空間想象能力，推理論

證能力，應(yīng)用意識.

11.D

【解析】

設(shè)8印=￡，=作為一個(gè)基底，表示向量。DF=—DE=-(b-a\,

AF=AD+DF=--a+-(b-a]=--a+-b,然后再用數(shù)量積公式求解.

24、>44

【詳解】

設(shè)BA=a,BC—b‘

所以詼」衣」仿-乙DF=-DE=-(b-a),AF=Ab+DF=-La+l(b-a}=--a+-b,

22、，24V'24、’44

______53i

所以左.配=__a-b+-b-b=~.

448

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

如圖所示：切點(diǎn)為連接作PNJ_x軸于N,計(jì)算歸制=2。，|叩|=4匹|PN|=W，忻N|=網(wǎng),

cc

根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.

【詳解】

如圖所示：切點(diǎn)為M，連接。歷，作PNLx軸于N,

\QF\-\QF^\QF\+\PF\-\QF^\PF^2a,故歸閭=4”，

在RfAMO耳中，sinNM￡O=@,故cosNM《O=2,故歸時(shí)="，忻川=史，

根據(jù)勾股定理：16a2=M+12c-型〕,解得2=6+1.

c\cJa

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

6-3G

13.-，

【解析】

利用換元法，得到g(t)=t3-3t2+3,te-#，1，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g(t)的單調(diào)性和最值，即可得到函數(shù)的值域,

得到答案.

【詳解】

7171

由題意，可得f(x)=sin3x+3cos2x=sin3x-3sin2x+3,xG

3^2

☆t=sinx,tG—1,即g(t)=t，—3t~+3,tG—1

貝ijg(t)=3t2-6t=3t(t-2),

當(dāng)一日<t<0時(shí)，g'(t)>o,當(dāng)0<t<l時(shí)，g'(t)>0,

即y=g(t)在一$0為增函數(shù)，在［0,1］為減函數(shù)，

又g⑼=3,g(l)=l'

故函數(shù)的值域?yàn)椋荷?3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，其中解答中合理利用換元法得到函數(shù)g(r),

再利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與預(yù)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.y=x-3

【解析】

先求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，利用基本不等式可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而可得切線方程.

【詳解】

/=—+2x-3,

x

,2cc

k=—+2xM-3,x“=i時(shí)有最小值1,此時(shí)M(l,-2),

XM

故切線方程為：y+2=x-l,即y=x-3.

故答案為：y=x-3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

15.2

【解析】

運(yùn)用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離，然后求解結(jié)果.

【詳解】

拋物線y=2/的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=^-y,則拋物線的準(zhǔn)線方程為y=—設(shè)“（如，加），貝!!

2o

\MF\+\NF\=yM+^+yN+^=^,所以yM+yN=4,則線段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為以詈=2.

8842

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，由拋物線定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，需要熟練掌握定義，并能靈活運(yùn)用，

本題較為基礎(chǔ).

16.—1

【解析】

由題意首先研究函數(shù)），=7（x）1的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于a的不等式，求解不等式即可確定實(shí)

數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

當(dāng)T<x<0時(shí)，函數(shù)］引=%2+2%在區(qū)間（一1,0）上單調(diào)遞增，

很明顯/（x）e（—1,0）,且存在唯一的實(shí)數(shù)占滿足/（％）=-g,

當(dāng)一lwr<0時(shí)，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y=f+,在區(qū)間（-1,一；）上單調(diào)遞減，在區(qū)間［-上單調(diào)遞增，

結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)y=f+2x+7工廠在區(qū)間（-1,不）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（%,0）上單調(diào)遞增，且當(dāng)

4x+ox

X=X|時(shí)，y=x2+2x+—^~—=1,

4x+8x

考查函數(shù)y=卜2+2工一］在區(qū)間（0,+8）上的性質(zhì),

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y=|f+2x-1］在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間（血-1,+°。）上單調(diào)遞增,

函數(shù)g(x)=a|/(x>+i有6個(gè)零點(diǎn)，即方程4〃刈+1=o有6個(gè)根,

也就是，(為|=一，有6個(gè)根，即y=1f(x)I與y=-，有6個(gè)不同交點(diǎn),

注意到函數(shù)y=/+2x關(guān)于直線x=-1對稱，則函數(shù)yA/Xx)|關(guān)于直線x=-1對稱,

繪制函數(shù)y=1/(x)I的圖像如圖所示,

綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍是-1,-1

故答案為-1,-1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)

生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

(

17.(1)/=4x或y=0(x<0)；⑵證明見解析，定點(diǎn)—4,

【解析】

(1)設(shè)例(x,y),由題意可知加%-1)2+y=|x|+l，對x的正負(fù)分情況討論，從而求得動(dòng)點(diǎn)"的軌跡C的方程;

jr444X/3

(2)設(shè)其方程為y="+〃，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到tan-=-----,所以人=2+4%=空，

3b—4kV33

所以直線A8的方程可表示為丫=履+迪+4Z，即〉=上。+4)+羋，所以直線A8恒過定點(diǎn)(-4,

【詳解】

(1)設(shè)M(x,y),

???動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)(i,o)的距離比到y(tǒng)軸的距離多1,

+y2=兇+],%20時(shí)，解得y2=4X,

x<0時(shí)，解得y=0.

動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為丁=4x或y=0(%<0)

(2)證明：如圖，設(shè)A(x，yJ,8(七,必)，

由題意得玉(否則二+￡=不)且玉々工0,

所以直線43的斜率存在，設(shè)其方程為丫="+匕，

將.丫=入+6與y2=4x聯(lián)立消去X,得外2_分+40=0,

44b

由韋達(dá)定理知M+>2=y，X%=丁，①

kk

22

顯然為=,X2=寧,

c冗冗zQ\tana+tan/?4(乂+為)

???a+/?=一,二.tan—=tan(a+〃)=--------------=-^—―,

331-tancrtanP-16

IT4

將①式代入上式整理化簡可得：tan-=——

3b—4k

44A/3

所以匕=二+4攵=^+4攵，

V33

此時(shí)，直線A3的方程可表示為y=^+型+4Z,

3

即y=l(x+4)+，f,

所以直線AB恒過定點(diǎn)-4,

5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡，考查了直線與拋物線的綜合，是中檔題.

(33A/2

18.(1)證明見解析；(2)P為線段AG上靠近G點(diǎn)的四等分點(diǎn)，且坐標(biāo)為尸

I444J

【解析】

(1)先通過線面垂直的判定定理證明CG_L平面ABC,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；

(2)分析位置關(guān)系并建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角P-MN-C的余弦值與平面法向量夾角的余弦值之間的關(guān)系,

即可計(jì)算出P的坐標(biāo)從而位置可確定.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)锳C=2,CG=五,AC]=n，

所以AC?+CC；=AC：,即AC工CCt.

又因?yàn)锽BJiCG，所以BCJ.CG，

ACr\BC=C,所以CG，平面ABC.

因?yàn)镃Gu平面所以平面ABC_L平面BBC。.

(2)解：連接AM，因?yàn)锳B=AC=2,A/是8C的中點(diǎn)，所以40J_8c.

由(1)知，平面ABC_L平面BB℃，所以AM_L平面BBC。.

以M為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M-xyz,

則平面BBC。的一個(gè)法向量是比=(0,0,1),A(0,0,JJ),N(0,夜,0),C,(-1,72,0).

設(shè)麗=/常(0＜。＜1),P(x,y,z),

AP=(x,y,Z-A/3),AC1=(-1,0,-百)，

代入上式得X=T,y=y/2t,z=73(1-/),所以P1-t,回電-5).

設(shè)平面MNP的一個(gè)法向量為元=(五,y,zj,W=(0,72,0),標(biāo)=(T,",石一①),

L\n-MN=0M=0

由J---，得]1—f—?

iiMP=0[-tx[+y/2ty]+y/3^-t)z]=0

令4=乙得3=(6—岱,。,,).

因?yàn)槎娼荘-MN-C的平面角的大小為30°,

所以磊4te3

即-/,；=丁，解得t

fyl-tY+t224

33夜

所以點(diǎn)p為線段AG上靠近G點(diǎn)的四等分點(diǎn)，且坐標(biāo)為p-了丁，彳］

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求解二面角有關(guān)的問題，難度一般.（1）證明面面垂直，可通過先證明線面

垂直，再證明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夾角的余弦值，要注意結(jié)合圖形分析.

19.(1){0},{0,1},{0,2},{0,1,2}.(2)[0,b,c,b+c];證明見解析.(3)證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果；

（2）設(shè)5={。,"。,6},其中a<Z?<c<4,由OeS知。=0；由0<d-ceS可知d-c=?；?-。=。，分別討論

兩種情況可的結(jié)果；

⑶記“=1009,則間=2〃+1,設(shè)5={0,孫孫由歸納推理可求得西=加（14七,），從而得到

M=2xn=2nm,從而得到S,可知存在元素〃?滿足題意.

【詳解】

(1){0},{0,1},{0,2},{0,1,2).

(2)設(shè)5={。,。,孰4},其中a<b<c<d,

則由題意：d+d史S,故OcS,即。=0,

考慮c,d,可知：0<d-ceS,...d-c=c或d-c=b,

若d-c=c,則考慮"c,

\-c<b+c<2c=d,:.c-beS,則。一人=〃,

:.S={a,b,2b,4b},但此時(shí)38，5b^S,不滿足題意；

若d—c=b,此時(shí)S={O,O,cS+c},滿足題意，

:.S^{O,b,c,b+c},其中b,c為相異正整數(shù).

⑶記“=1009,則間=2〃+1,

首先，OeS,設(shè)5={0,%，工24\工2"}，其中0<%=加<%2<…<馬"=M,

分別考慮“和其他任一元素士，由題意可得：M一玉也在S中，

而0<M-x2n_1<M—x2n_2<?-?,<M-x{<M,.?.M-x,=^n_,.(l<z<n),

M

.??士=萬,

對于考慮無2"-i，X2n-J?其和大于M，故其差》22-々，1=七一%”5,

特別的，x2-XjGS,x2=2xl=2m,

由工3—X]￡S,且X]<—X]<,/.工3=々+%=3〃2,

以此類推：x,.=Zm(l</<?),

M=2xn=2nm,此時(shí)S=10,n,2m,???,/izn,(rt+l2wn1,

故S中存在元素相，使得S中所有元素均為〃?的整數(shù)倍.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合中的新定義問題的求解，關(guān)鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求，根據(jù)集合元素的要求進(jìn)行推理說

明，對于學(xué)生分析和解決問題能力、邏輯推理能力有較高的要求，屬于較難題.

20.(1)m=1,函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k兀+%k”年,k&Z.(2)!<-<2.

【解析】

(1)運(yùn)用降幕公式和輔助角公式，把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式，根據(jù)已知，可以求出〃?的值，再結(jié)

合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)由(1)結(jié)合已知/(A)=0,可以求出角A的值，通過正弦定理把問題夕的取值范圍轉(zhuǎn)化為兩邊對角的正弦值

C

的比值的取值范圍，結(jié)合已知AA6C是銳角三角形，三角形內(nèi)角和定理，最后求出的取值范圍.

C

【詳解】

解：(1)/(x)=1-2y/3sinxcosx-2cos2x-vm

3sin2x+cos2x]+zn=-2sin2x+—+m

6

由已知2+加=3,所以m=1

因此/(x)=-2sin(2x+'J+l

令2%"+工W2x+—<2左》+也，keZ

262

jr27r

得女”■H——<x<k7V-\-----,keZ

63

jr27r

因此函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k兀二,k7T+—,k&Z

(2)由已知一2sin12A+看)+1=0,sin(2A+看卜;

八a兀兀-4Tc77r__.TC5TI

由0<A<—得—<2A4—<—因此rl2AH—=—

2666966

71

所以A=X

3

,.0sin不+CV3cosC+-s