初中數(shù)學教資科目三教案設(shè)計

初中數(shù)學教資科目三教案設(shè)計

教學目標

1、學問與技能：體會公式的發(fā)覺和推導(dǎo)過程，了解公式的幾何背景，

理解公式的本質(zhì)，會應(yīng)用公式進展簡潔的計算.

2、過程與方法：通過讓學生經(jīng)受探究完全平方公式的過程，培育學

生觀看、發(fā)覺、歸納、概括、猜測等探究創(chuàng)新力量，進展推理力量和有條

理的表達力量.培育學生的數(shù)形結(jié)合力量.

3、情感態(tài)度價值觀：體驗數(shù)學活動布滿著探究性和制造性，并在數(shù)

學活動中獲得勝利的體驗與喜悅，樹立學習自信念.

教學重難點

教學重點：

1、對公式的理解，包括它的推導(dǎo)過程、構(gòu)造特點、語言表述（學生自

己的語言）、幾何解釋.

2、會運用公式進展簡潔的計算.

教學難點：

1、完全平方公式的推導(dǎo)及其幾何解釋.

2、完全平方公式的構(gòu)造特點及其應(yīng)用.

教學工具

課件

教學過程

一、復(fù)習舊知、引入新知

問題1:請說出平方差公式，說說它的構(gòu)造特點.

問題2：平方差公式是如何推導(dǎo)出來的？

問題3：平方差公式可用來解決什么問題，舉例說明.

問題4：想一想、做一做，說出以下各式的結(jié)果.

(1)(a+b)2(2)(a-b)2

(此時，教師可讓學生分別說說理由，并且不直接給出正確評價，還

要連續(xù)激發(fā)學生的學習興趣.)

二、創(chuàng)設(shè)問題情境、探究新知

一塊邊長為a米的正方形試驗田，因需要將其邊長增加b米，形成四

塊試驗田，以種植不同的新品種.(如圖)

(1)四塊面積分別為：、、；

(2)兩種形式表示試驗田的總面積：

①整體看：邊長為的大正方形，S=;

②局部看：四塊面積的和，s=.

總結(jié)：通過以上探究你發(fā)覺了什么？

問題1：通過以上探究學習，同學們應(yīng)當知道我們提出的問題4正確

的結(jié)果是什么了吧？

問題2：假如還有同學不認同這個結(jié)果，我們再看下面的問題，連續(xù)

探究.（a+b）2表示的意義是什么？請你用多項式的乘法法則加以驗證.

（教學過程中教師要有意識地提到猜測、感覺得到的不肯定正確，只

有再通過驗證才能得出真知，但還是要鼓舞學生大膽猜測，發(fā)表見解，但

要驗證）

問題3：你能說說（a+b）2=a2+2ab+b2

這個等式的構(gòu)造特點嗎？用自己的語言表達.

（構(gòu)造特點：右邊是二項式（兩數(shù)和）的平方，右邊有三項，是兩數(shù)的

平方和加上這兩數(shù)乘積的二倍）

問題4：你能依據(jù)以上等式的構(gòu)造特點說出（a-b）2等于什么嗎?請你

再用多項式的乘法法則加以驗證.

總結(jié)：我們把（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2稱為完全平方

公式.

問題：①這兩個公式有何一樣點與不同點？②你能用自己的語言表達

這兩個公式嗎？

語言描述：兩數(shù)和（或差）的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（或減去）

這兩數(shù)積的2倍.

強化記憶：首平方，尾平方，首尾二倍放中心，和是加來差是減.

三、例題講解，穩(wěn)固新知

例1：利用完全平方公式計算

（1）（2x-3）2（2）（4x+5y）2（3）（mn-a）2

解：(2x-3)2=(2x)2-2o(2x)o3+32

=4x2-12x+9

(4x+5y)2=(4x)2+2o(4x)o(5y)+(5y)2

=16x2+40xy+25y2

(mn-a)2=(mn)2-2o(mn)oa+a2

=m2n2-2mna+a2

溝通總結(jié)：運用完全平方公式計算的一般步驟

(1)確定首、尾，分別平方；

(2)確定中間系數(shù)與符號，得到結(jié)果.

四、練習穩(wěn)固

練習1：利用完全平方公式計算

練習2：利用完全平方公式計算

練習3：

(練習可采納多種形式，學生上黑板板演，師生共同評價.也可學生獨

立完成后，學生相互批改，力求使學生對公式完全把握，如有學生消失問

題，學生、教師應(yīng)準時幫忙.)

五、變式練習

六、暢談收獲，歸納總結(jié)

1、本節(jié)課我們學習了乘法的完全平方公式.

2、我們在運用公式時，要留意以下幾點：

(1)公式中的字母a、b可以是任意代數(shù)式；

(2)公式的結(jié)果有三項，不要漏項和寫錯符號；

(3)可能消失①②這樣的錯誤.也不要與平方差公式混在一起.

七、作業(yè)設(shè)置

#592498初中數(shù)學教資科目三教案設(shè)計2

把握用因式分解法解一元二次方程.

通過復(fù)習用配方法、公式法解一元二次方程，體會和探尋用更簡潔的

方法一一因式分解法解一元二次方程，并應(yīng)用因式分解法解決一些詳細問

題.

重點

用因式分解法解一元二次方程.

難點

讓學生通過比擬解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解

題更簡便.

一、復(fù)習引入

(學生活動)解以下方程：

(1)2x2+x=0(用配方法)(2)3x2+6x=0(用公式法)

教師點評：(1)配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數(shù)應(yīng)為12,

12的一半應(yīng)為14,因此，應(yīng)加上(14)2,同時減去(14)2.(2)直接用公式

求解.

二、探究新知

(學生活動)請同學們口答下面各題.

(教師提問)(1)上面兩個方程中有沒有常數(shù)項？

(2)等式左邊的各項有沒有共同因式？

(學生先答，教師解答)上面兩個方程中都沒有常數(shù)項;左邊都可以因

式分解.

因此，上面兩個方程都可以寫成：

(l)x(2x+l)=0(2)3x(x+2)=0

由于兩個因式乘積要等于0,至少其中一個因式要等于0,也就是

(l)x=0或2x+l=0,所以xl=0,x2=-12.

(2)3x=0或x+2=0,所以xl=0,x2=-2.(以上解法是如何實現(xiàn)降次的?)

因此，我們可以發(fā)覺，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，

而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個

一次式分別等于0,從而實現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法.

例1解方程：

(1)10X-4.9x2=0(2)X(x-2)+x-2=0(3)5x2-2xT4=x2-2x+34

(4)(x-l)2=(3-2x)2

思索：使用因式分解法解一元二次方程的條件是什么？

解：略(方程一邊為0,另一邊可分解為兩個一次因式乘積.)

練習：下面一元二次方程解法中，正確的選項是()

A.(x-3)(x-5)=10X2,.\x-3=10,x-5=2,；.xl=13,x2=7

B.(2-5x)+(5x-2)2=0,A(5x-2)(5x-3)=0,Ax1=25,x2=35

C.(x+2)2+4x=0,.*.xl=2,x2=-2

D.x2=x,兩邊同除以x,得x=l

三、穩(wěn)固練習

教材第14頁練習1,2.

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課要把握：

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方

程及其應(yīng)用.

(2)因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0,再

分別使各一次因式等于0.

五、作業(yè)布置

教材第17頁習題6,8,10,11

#592497初中數(shù)學教資科目三教案設(shè)計3

理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會嫻熟

應(yīng)用公式法解一元二次方程.

復(fù)習詳細數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入

ax2+bx+c=0(a/0)的求根公式的推導(dǎo)，并應(yīng)用公式法解一元

二次方程.

重點

求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

難點

一元二次方程求根公式的推導(dǎo).

一、復(fù)習引入

1.前面我們學習過解一元二次方程的“直接開平方法”，比方，方程

（l）x2=4（2）（X-2）2=7

提問1這種解法的（理論）依據(jù)是什么？

提問2這種解法的局限性是什么？（只對那種“平方式等于非負數(shù)”

的特別二次方程有效，不能實施于一般形式的二次方程.）

2.面對這種局限性，怎么辦？（使用配方法，把一般形式的二次方程配

方成能夠“直接開平方”的形式.）

（學生活動）用配方法解方程2x2+3=7x

（教師點評）略

總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟（學生總結(jié)，教師點評）.

（1）先將已知方程化為一般形式；

（2）化二次項系數(shù)為1；

（3）常數(shù)項移到右邊；

（4）方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全

平方式；

⑸變形為（x+p）2=q的形式，假如q-0,方程的根是x=-p土q；假如

qO,方程無實根.

二、探究新知

用配方法解方程：

(1)ax2-7x+3=0(2)ax2+bx+3=0

假如這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a#0),你能否用上

面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學獨立完成下面這個問題.

問題：已知ax2+bx+c=0(aWO),試推導(dǎo)它的兩個根xl=-b+b2-4ac2a,

x2=-b-b2-4ac2a(這個方程肯定有解嗎？什么狀況下有解?)

分析：由于前面詳細數(shù)字已做得許多，我們現(xiàn)在不妨把a,b,c也當

成一個詳細數(shù)字，依據(jù)上面的解題步驟就可以始終推下去.

解：移項，得：ax2+bx=~c

二次項系數(shù)化為1,得x2+bax=-ca

配方，得：x2+bax+(b2a)2=-ca+(b2a)2

即(x+b2a)2=b2-4ac4a2

V4a20,當b2-4ac20時，b2-4ac4a2^0

(x+b2a)2=(b2-4ac2a)2

直接開平方，得：x+b2a=±b2-4ac2a

即x=-b±b2-4ac2a

/.xl=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根由方程的系數(shù)a,b,

C而定，因此:

(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0,當

b2-4ac20時，將a,b,c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根.

(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

公式的理解

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根.

例1用公式法解以下方程：

(l)2x2-x-l=0(2)x2+l.5=-3x

(3)x2-2x+12=0(4)4x2-3x+2=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代

入公式即可.

補：(5)(x-2)(3x-5)=0

三、穩(wěn)固練習

教材第12頁練習教⑴⑶⑸或⑵⑷⑹.

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)把握：

(1)求根公式的概念及其推導(dǎo)過程；

(2)公式法的概念；

(3)應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟：1)將所給的方程變成一般形

式，留意移項要變號，盡量讓a0；2）找出系數(shù)a,b,c,留意各項的系數(shù)

包括符號;3）計算b2-4ac,若結(jié)果為負數(shù)，方程無解;4）若結(jié)果為非負數(shù)，

代入求根公式，算出結(jié)果.

（4）初步了解一元二次方程根的狀況.

五、作業(yè)布置

教材第17頁習題4

#593897初中數(shù)學教資科目三教案設(shè)計4

教學目的

1.使學生嫻熟地運用等腰三角形的性質(zhì)求等腰三角形內(nèi)角的角度。

2.生疏等邊三角形的性質(zhì)及判定.

2.通過例題教學，幫忙學生總結(jié)代數(shù)法求幾何角度，線段長度的方法。

教學重點：等腰三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用。

教學難點：簡潔的規(guī)律推理。

教學過程

一、復(fù)習穩(wěn)固

1.表達等腰三角形的性質(zhì)，它是怎么得到的？

等腰三角形的兩個底角相等，也可以簡稱“等邊對等角“。把等腰三

角形對折，折疊兩局部是相互重合的，即AB與AC重合，點B與點C重

合，線段BD與CD也重合，所以NB=NC。

等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線和底邊上的高線相互重合，

簡稱“三線合一”。由于AD為等腰三角形的對稱軸，所以BD=CD,AD為

底邊上的中線；NBAD=NCAD,AD為頂角平分線，ZADB=ZADC=90°,AD

又為底邊上的高，因此“三線合一”。

2.若等腰三角形的兩邊長為3和4,則其周長為多少？

二、新課

在等腰三角形中，有一種特別的狀況，就是底邊與腰相等，這時，三

角形三邊都相等。我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。

等邊三角形具有什么性質(zhì)呢？

1.請同學們畫一個等邊三角形，用量角器量出各個內(nèi)角的度數(shù)，并提

出猜測。

2.你能否用已知的學問，通過推理得到你的猜測是正確的？

等邊三角形是特別的等腰三角形，由等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)得

到NA=NB=C,又由NA+NB+NC=180°,從而推出NA=NB=NC=60°。

3.上面的條件和結(jié)論如何表達？

等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°o

等邊三角形是軸對稱圖形嗎？假如是，有幾條對稱軸？

等邊三角形也稱為正三角形。

例1.在AABC中，AB=AC,D是BC邊上的中點，ZB=30°,求N1和

ZADC的度數(shù)。

分析：由AB=AC,D為BC的中點，可知AB為BC底邊上的中線，由

“三線合一”可知AD是ZXABC的頂角平分線，底邊上的高，從而NADC=90°,

Z1=ZBAC,由于NC=NB=30°,ZBAC可求，所以N1可求。

問題1：此題若將D是BC邊上的中點這一條件改為AD為等腰三角形

頂角平分線或底邊BC上的高線，其它條件不變，計算的結(jié)果是否一樣？

問題2：求N1是否還有其它方法？

三、練習穩(wěn)固

1.推斷以下命題，對的打“，錯的打“X”。

a等腰三角形的角平分線，中線和高相互重合()

b.有一個角是60°的等腰三角形，其它兩個內(nèi)角也為60°()

2.如圖⑵,在ZSABC中，已知AB=AC,AD為NBAC的平分線,且N2=25°,

求NADB和NB的度數(shù)。

3.P54練習1、2o

四、小結(jié)

由等腰三角形的性質(zhì)可以推出等邊三角形的各角相等，且都為60°o

“三線合一”性質(zhì)在實際應(yīng)用中，只要推出其中一個結(jié)論成立，其他兩個結(jié)

論一樣成立，所以關(guān)鍵是查找其中一個結(jié)論成立的條件。

五、作業(yè)：1.課本P57第7,9題。

2、補充：如圖(3),AABC是等邊三角形，BD、CE是中線,求NCBD,

ZBOE,ZBOC,ZE0D的度數(shù)。

12.3.2等邊三角形(二)

教學目標

1.把握等邊三角形的性質(zhì)和判定方法.2.培育分析問題、解決問題的

力量.

教學重點：等邊三角形的性質(zhì)和判定方法.

教學難點：等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用

教學過程

I創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

回憶上節(jié)課講過的等邊三角形的有關(guān)學問

L等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸.

2.等邊三角形每一個角相等，都等于60°

3.三個角都相等的三角形是等邊三角形.

4.有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

其中1、2是等邊三角形的性質(zhì);3、4的等邊三角形的推斷方法.

II例題與練習

1.AABC是等邊三角形，以下三種方法分別得到的AADE都是等邊三

角形嗎，為什么？

①在邊AB、AC上分別截取AD=AE.

②作NADE=60。，D、E分別在邊AB、AC上.

③過邊AB上D點作DE〃BC,交邊AC于E點.

2.已知：如右圖，P、Q是4ABC的邊BC上的兩點，，并且

PB=PQ=QC=AP=AQ.求NBAC的大小.

分析：由已知明顯可知三角形APQ是等邊三角形，每個角都是60°.

又知4APB與AAQC都是等腰三角形，兩底角相等，由三角形外角性質(zhì)即

可推得NPAB=30。.

3.P56頁練習1、2

III課堂小結(jié)：1.等腰三角形和性質(zhì)；等腰三角形的條件

V布置作業(yè)：1.P58頁習題12.3第11題.

2.已知等邊aABC,求平面內(nèi)一點P,滿意A,B,C,P四點中的任意

三點連線都構(gòu)成等腰三角形.這樣的點有多少個？

12.3.2等邊三角形（三）

教學過程

一、復(fù)習等腰三角形的判定與性質(zhì)

二、新授：

L等邊三角形的性質(zhì)：三邊相等;三角都是60°；三邊上的中線、高、

角平分線相等

2.等邊三角形的判定：

三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60°的等腰三角

形是等邊三角形；

在直角三角形中，假如一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等

于斜邊的一半

留意：推論1是判定一個三角形為等邊三角形的一個重要方法.推論

2說明在等腰三角形中，只要有一個角是600,不管這個角是頂角還是底

角，就可以判定這個三角形是等邊三角形。推論3反映的是直角三角形中

邊與角之間的關(guān)系.

3.由學生解答課本148頁的例子；

4.補充：已知如下圖，在AABC中，BD是AC邊上的中線，DB±BC于

B,

ZABC=120o,求證：AB=2BC

分析由已知條件可得NABD=30o,如能構(gòu)造有一個銳角是30o的直

角三角形，斜邊是AB,30o角所對的邊是與BC相等的線段，問題就得到解

決了.

#592557初中數(shù)學教資科目三教案設(shè)計5

一、素養(yǎng)訓練目標

（一）學問教學點

使學生知道當直角三角形的銳角固定時，它的對邊、鄰邊與斜邊的比

值也都固定這一事實.

（二）力量訓練點

逐步培育學生會觀看、比擬、分析、概括等規(guī)律思維力量.

（三）德育滲透點

引導(dǎo)學生探究、發(fā)覺，以培育學生獨立思索、勇于創(chuàng)新的精神和良好

的學習習慣.

二、教學重點、難點

1.重點：使學生知道當銳角固定時，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也

是固定的這一事實.

2.難點：學生很難想到對任意銳角，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也

是固定的事實，關(guān)鍵在于教師引導(dǎo)學生比擬、分析，得出結(jié)論.

三、教學步驟

（一）明確目標

1.如圖6-1,長5米的梯子架在高為3米的墻上，則A、B間距離為

多少米？

2.長5米的梯子以傾斜角NCAB為30。靠在墻上，則A、B間的距離

為多少？

3.若長5米的梯子以傾斜角40°架在墻上，則A、B間距離為多少？

4.若長5米的梯子靠在墻上，使A、B間距為2米，則傾斜角NCAB

為多少度？

前兩個問題學生很簡單答復(fù).這兩個問題的設(shè)計主要是引起學生的回

憶，并使學生意識到，本章要用到這些學問.但后兩個問題的設(shè)計卻使學

生感到懷疑，這對初三年級這些奇怪、好勝的學生來說，起到激起學生的

學習興趣的作用.同時使學生對本章所要學習的內(nèi)容的特點有一個初步的

了解，有些問題單靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角

形的學問是不能解決的，解決這類問題，關(guān)鍵在于找到一種新方法，求出

一條邊或一個未知銳角，只要做到這一點，有關(guān)直角三角形的其他未知邊角

就可用學過的學問全部求出來.

通過四個例子引出課題.

（二）整體感知

1.請每一位同學拿出自己的三角板，分別測量并計算30°、45°、

60°角的對邊、鄰邊與斜邊的比值.

學生很快便會答復(fù)結(jié)果：無論三角尺大小如何，其比值是一個固定的

值.程度較好的學生還會想到，以后在這些特別直角三角形中，只要知道

其中一邊長，就可求出其他未知邊的長.

2.請同學畫一個含40°角的直角三角形，并測量、計算40°角的對

邊、鄰邊與斜邊的比值，學生又快樂地發(fā)覺，不管三角形大小如何，所求

的比值是固定的.大局部學生可能會想到，當銳角取其他固定值時，其對

邊