專題08 雙曲線-【好題匯編】備戰(zhàn)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末真題分類匯編（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）含解析

專題08雙曲線專題08雙曲線-【好題匯編】備戰(zhàn)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末真題分類匯編（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）含解析雙曲線的定義及應(yīng)用1．（2023上·安徽滁州·高二?？计谀╇p曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且周長的最小值為，則為（

）A． B． C． D．2．（2023上·重慶·高二校聯(lián)考期末）如果雙曲線上一點(diǎn)到它的右焦點(diǎn)的距離是，那么點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離是（

）A． B． C．或 D．不確定3．（2023上·天津河西·高二統(tǒng)考期末）設(shè)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的焦距為16，且雙曲線上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于6，雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．4．（2023上·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（

）A．24 B．15 C．12 D．305．（2023上·浙江杭州·高二?？计谀┮阎c(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，N是圓的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．6．（2023上·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)都在雙曲線上，且滿足，則四邊形的面積為．7．（2023上·廣東江門·高二臺(tái)山市第一中學(xué)?？计谀﹦?dòng)點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為．8．（2023上·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)在雙曲線上，若兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線與圓相切于點(diǎn)且，其中分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，則的面積為．雙曲線的實(shí)（虛）軸、焦距、漸近線9．（2023上·山東棗莊·高二棗莊八中?？计谀┮阎p曲線，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．若的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則C．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為D．若，則的漸近線方程為10．（2023上·廣東清遠(yuǎn)·高二統(tǒng)考期末）已知等軸雙曲線C的焦距為12，則C的實(shí)軸長為（

）A．3 B．6 C．12 D．611．（2023上·河北邢臺(tái)·高二邢臺(tái)一中?？计谀佄锞€的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，則雙曲線的虛軸長為（

）A．8 B． C． D．212．（2023上·河北唐山·高二唐山一中?？计谀┮阎踔袑W(xué)過的反比例函數(shù)的圖象是非標(biāo)準(zhǔn)狀況下的雙曲線，根據(jù)圖象的形狀及學(xué)過的雙曲線的相關(guān)知識(shí)，推斷曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．13．（2023上·貴州黔東南·高二凱里一中?？计谀┮阎p曲線，則雙曲線的焦距是（

）A． B． C． D．14．（2023上·浙江杭州·高二杭州市長河高級(jí)中學(xué)校考期末）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．15．（2023上·云南大理·高二統(tǒng)考期末）若直線與雙曲線：的一條漸近線平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C．4 D．16．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為.若雙曲線右支上存在點(diǎn)，使得與雙曲線的一條漸近線垂直且交于點(diǎn)，，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．雙曲線的離心率17．（2023上·天津北辰·高二?？计谀┤綦p曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．218．（2023上·天津北辰·高二?？计谀┤綦p曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則的離心率為（

）A． B． C． D．19．（2023上·江西吉安·高二吉安三中校考期末）黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618．這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割．一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的0.618處．離心率為黃金比的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線．若黃金雙曲線的右頂點(diǎn)為A，虛軸的上端點(diǎn)為B，左焦點(diǎn)為F，則（

）A． B．0 C． D．20．（2023上·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B．2或 C． D．21．（2023上·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)且，則該雙曲線的離心率的取值范圍是．22．（2023上·山東青島·高二校考期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，且P在第一象限，，則．23．（2023上·江蘇·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知雙曲線的離心率，則的取值范圍為24．（2023上·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)?？计谀┮阎悄畴p曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，且該雙曲線的離心率為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.25．（2023上·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，則E的離心率為（

）

A． B． C． D．26．（2023上·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谀┮阎p曲線的離心率為，右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，則有（

）A． B． C． D．27．（2023上·青海西寧·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn).則C的方程為（

）A． B． C． D．28．（2023上·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為（

）A． B．1 C． D．229．（2023上·安徽滁州·高二?？计谀┮阎p曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，且滿足，則的周長為.30．（2023上·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，左、右頂點(diǎn)分別是，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，若，且，線段與雙曲線交于，若，則雙曲線的漸近線方程為.31．（2023上·陜西西安·高二長安一中?？计谀┤鐖D，發(fā)電廠的冷卻塔外形是由雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所得到的曲面，該冷卻塔總高度為55米，水平方向上塔身最窄處的半徑為20米，最高處塔口半徑25米，塔底部塔口半徑為米，則該雙曲線的離心率為.32．（2023上·上海浦東新·高二?？计谀┮阎S上兩點(diǎn)，則平面內(nèi)到這兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為8的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為33．（2023上·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離是6，且離心率等于2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過作斜率為的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于第二象限的點(diǎn)和第一象限的點(diǎn)，若，求的值.34．（2023上·重慶北碚·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若點(diǎn)M在y軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若OM與垂直，求直線的方程．專題08雙曲線雙曲線的定義及應(yīng)用1．（2023上·安徽滁州·高二?？计谀╇p曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且周長的最小值為，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用雙曲線的定義把的周長用的周長來表示，可求的最小值，從而求a即可.【詳解】如下圖所示：

設(shè)該雙曲線的左焦點(diǎn)為點(diǎn)，由雙曲線的定義可得，，又，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.所以，的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，的周長取得最小值，即，解得．故選：D．2．（2023上·重慶·高二校聯(lián)考期末）如果雙曲線上一點(diǎn)到它的右焦點(diǎn)的距離是，那么點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離是（

）A． B． C．或 D．不確定【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求得答案.【詳解】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，則；則，由雙曲線定義可得，即，所以或，由于，故點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離是或，故選：C3．（2023上·天津河西·高二統(tǒng)考期末）設(shè)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的焦距為16，且雙曲線上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于6，雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意列式求解，即可得結(jié)果.【詳解】∵雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為，且，由題意可得，解得，∴雙曲線的方程為.故選：A.4．（2023上·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（

）A．24 B．15 C．12 D．30【答案】A【分析】利用雙曲線定義求出的三邊長度，根據(jù)余弦定理求出三角形的夾角，最后通過三角形正弦定理面積公式求出面積.【詳解】，根據(jù)雙曲線定義：，，，，根據(jù)余弦定理：，則，.故選：A5．（2023上·浙江杭州·高二?？计谀┮阎c(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，N是圓的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)雙曲線定義有，則，，，則得到最小值.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)為,圓的圓心,恰好為雙曲線的左焦點(diǎn),，(當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào))，(當(dāng)且僅當(dāng),,三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)),，的最小值為.故答案為：.6．（2023上·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)都在雙曲線上，且滿足，則四邊形的面積為．【答案】2【分析】根據(jù)已知先判斷四邊形的形狀，然后根據(jù)雙曲線定義結(jié)合勾股定理可解.【詳解】如圖，記，則由題可知，，所以則，即所以故答案為：27．（2023上·廣東江門·高二臺(tái)山市第一中學(xué)校考期末）動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【分析】結(jié)合雙曲線的定義求解即可.【詳解】解：由知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線下支，得，，，，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．故答案為：．8．（2023上·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)在雙曲線上，若兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線與圓相切于點(diǎn)且，其中分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，則的面積為．【答案】9【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合內(nèi)切圓的性質(zhì)、平面向量加法的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以的面積等于的面積．直線與圓相切于點(diǎn)，則．因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，則．由雙曲線得：．，則．因?yàn)?，所以，所以，所以，故的面積等于，即的面積為9．故答案為：9．雙曲線的實(shí)（虛）軸、焦距、漸近線9．（2023上·山東棗莊·高二棗莊八中校考期末）已知雙曲線，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．若的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則C．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為D．若，則的漸近線方程為【答案】D【分析】本題首先可根據(jù)雙曲線的解析式得出，通過計(jì)算即可判斷出A錯(cuò)誤，然后根據(jù)雙曲線的頂點(diǎn)的相關(guān)性質(zhì)即可判斷出B錯(cuò)誤，再然后分為、兩種情況，依次求出，即可判斷出C錯(cuò)誤，最后根據(jù)雙曲線的漸近線方程的求法即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)：因?yàn)榈捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則漸近線方程為，D正確.故選：D10．（2023上·廣東清遠(yuǎn)·高二統(tǒng)考期末）已知等軸雙曲線C的焦距為12，則C的實(shí)軸長為（

）A．3 B．6 C．12 D．6【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的焦距得到c=6，根據(jù)雙曲線為等軸雙曲線得到a=b，然后利用列方程得到a=3，即可得到實(shí)軸長.【詳解】因?yàn)?c=12，所以c=6．因?yàn)閍=b，所以2a2=c2=36，所以a=3，故實(shí)軸長為6．故選：B.11．（2023上·河北邢臺(tái)·高二邢臺(tái)一中?？计谀佄锞€的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，則雙曲線的虛軸長為（

）A．8 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)拋物線以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，分別明確其準(zhǔn)線以及左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意，建立方程，可得答案.【詳解】由拋物線方程，可得其準(zhǔn)線方程為，由雙曲線方程，則其左焦點(diǎn)坐標(biāo)可表示為，故，解得，則雙曲線的虛軸長為.故選：C.12．（2023上·河北唐山·高二唐山一中?？计谀┮阎踔袑W(xué)過的反比例函數(shù)的圖象是非標(biāo)準(zhǔn)狀況下的雙曲線，根據(jù)圖象的形狀及學(xué)過的雙曲線的相關(guān)知識(shí)，推斷曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知求出曲線的、、，即可得解.【詳解】解：曲線的實(shí)軸是，實(shí)軸與漸近線的夾角為，故，與的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，則與曲線對(duì)稱中心的距離，則，所以，故曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，．故選：A．13．（2023上·貴州黔東南·高二凱里一中?？计谀┮阎p曲線，則雙曲線的焦距是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的焦距直接求出.【詳解】由，得，則，所以焦距為．故選：D.14．（2023上·浙江杭州·高二杭州市長河高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎p曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程可求出焦點(diǎn)，將代入雙曲線，結(jié)合，解方程即可求解.【詳解】橢圓焦點(diǎn)為，雙曲線焦點(diǎn)為，且，將代入雙曲線，得，又，解得，，故雙曲線的方程為，故選：D.15．（2023上·云南大理·高二統(tǒng)考期末）若直線與雙曲線：的一條漸近線平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】由雙曲線方程寫出漸近線方程，注意，結(jié)合直線平行列方程求參數(shù)值即可.【詳解】由題設(shè)雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程為且，故，所以，雙曲線漸近線為，其中一條與平行，所以，則.故選：D16．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為.若雙曲線右支上存在點(diǎn)，使得與雙曲線的一條漸近線垂直且交于點(diǎn)，，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不妨設(shè)在第四象限，與漸近線垂直，寫出直線方程，與方程聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)得向量的關(guān)系，從而得點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程變形可得，得漸近線方程．【詳解】，不妨設(shè)在第四象限，與漸近線垂直，的斜率為，所以直線方程為，由，得，設(shè)，由知：，即，所以，，在雙曲線上，所以，化簡得，則，所以，故漸近線方程是．故選：C雙曲線的離心率17．（2023上·天津北辰·高二?？计谀┤綦p曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式求得焦點(diǎn)到漸近線的距離為，由計(jì)算可得離心率為.【詳解】根據(jù)題意不妨取焦點(diǎn)，漸近線方程為，如下圖所示：

可得焦點(diǎn)到漸近線的距離為，即；則離心率.故選：A18．（2023上·天津北辰·高二?？计谀┤綦p曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理求出圓心到雙曲線的漸近線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的值，由此可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，直線被圓所得截得的弦長為，

則圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得，則，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.19．（2023上·江西吉安·高二吉安三中?？计谀S金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618．這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割．一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的0.618處．離心率為黃金比的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線．若黃金雙曲線的右頂點(diǎn)為A，虛軸的上端點(diǎn)為B，左焦點(diǎn)為F，則（

）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的頂點(diǎn)和上端點(diǎn)的定義，結(jié)合雙曲線的離心率公式、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可．【詳解】由題意可得：，，，因?yàn)?，則，，則，可得，即．故選：B.20．（2023上·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B．2或 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)漸近線方程和兩條漸近線的夾角為可得，計(jì)算可得離心率.【詳解】由題意可得雙曲線的漸近線方程為；又，所以，由兩條漸近線的夾角為，可得漸近線方程為，則，離心率；故選：A21．（2023上·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)且，則該雙曲線的離心率的取值范圍是．【答案】【分析】在中，由正弦定理可得，再結(jié)合雙曲線的定義和“三角形的兩邊之和大于第三邊”，即可得解.【詳解】在中，，由正弦定理得，，又點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以，所以，在中，由，得，即，所以，又，所以，故答案為：22．（2023上·山東青島·高二?？计谀┮阎p曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，且P在第一象限，，則．【答案】/【分析】由已知和雙曲線的離心率公式可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)雙曲線的定義和勾股定理可得答案.【詳解】由雙曲線的方程及其離心率為，得得，，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由題意知所以又，在中，，所以，所以.故答案為：.23．（2023上·江蘇·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知雙曲線的離心率，則的取值范圍為【答案】【分析】根據(jù)雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可【詳解】因?yàn)楸硎倦p曲線的方程，所以有，因此，因?yàn)?，所以由，即k的取值范圍為，故答案為：.24．（2023上·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)?？计谀┮阎悄畴p曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，且該雙曲線的離心率為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【分析】由已知得，，再利用，進(jìn)而得解.【詳解】由已知得，，又，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.25．（2023上·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，則E的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合題意作出圖形，然后結(jié)合雙曲線的定義表示出，進(jìn)而利用勾股定理可得的關(guān)系，從而可求出結(jié)果.【詳解】由題意知延長則必過點(diǎn),如圖：

由雙曲線的定義知，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，因此，從而由得，所以，則，，，又因?yàn)?，所以，即，即，故選：B.26．（2023上·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谀┮阎p曲線的離心率為，右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，則有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由離心率求得，求出漸近線方程，寫出圓方程后，兩方程聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)后，由直線的傾斜角可得結(jié)論．【詳解】由已知，，，所以雙曲線的漸近線方程為即為，圓方程為，即，取漸近線方程，由，解得或，不妨設(shè)，，顯然軸，又，即的傾斜角為，從而．

故選：B．27．（2023上·青海西寧·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn).則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)漸近線方程得到，根據(jù)共焦點(diǎn)得到，解得答案.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，則.橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的焦距，即，則，解得，，則雙曲線C的方程為.故選：B.28．（2023上·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先利用題目條件求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用點(diǎn)差法即可求出直線的斜率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以它的一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離，化簡得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，所以①，②，①-②得，，化簡得③，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，代入③，整理得，顯然，所以直線的斜率.故選：B29．（2023上·安徽滁州·高二?？计谀┮阎p曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，且滿足，則的周長為.【答案】/【分析】由離心率求出、，再由雙曲線定義結(jié)合已知可得，從而求出的周長.【詳解】由題意可得，，，，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，，又，，則的周長為．故答案為：．

30．（2023上·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，左、右頂點(diǎn)分別是，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，若，且，線段與雙曲線交于，若，則雙曲線的漸近線方程為.【答案】【分析】若為中點(diǎn)，易知，則△為等腰三角形，，根據(jù)已知可得、，結(jié)合雙曲線定義得，進(jìn)而可得，三角形中用余弦定理求，建立齊次方程求參數(shù)關(guān)系，即可得漸近線方程.【詳解】若為中點(diǎn)，則，故，所以，即，故△為等腰三角形，，

又，則，由，則，由，則，而，且，所以，則，故，即，所以，故雙曲線的漸近線方程為.故答案為：31．（2023上·陜西西安·高二長安一中校考期末）如圖，發(fā)電廠的冷卻塔外形是由雙曲線的