2024屆吉林省遼源市名校數學九年級第一學期期末檢測試題含解析

2024屆吉林省遼源市名校數學九年級第一學期期末檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖,在中，是的直徑,點是上一點，點是弧的中點，弦于點，過點的切線交的延長線于點，連接,分別交于點，連接．給出下列結論:①；②；③點是的外心；④．其中正確的是()A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④2．如圖，已知拋物線與軸分別交于、兩點，將拋物線向上平移得到，過點作軸交拋物線于點，如果由拋物線、、直線及軸所圍成的陰影部分的面積為，則拋物線的函數表達式為（）A． B．C． D．3．如圖，是正方形的外接圓，點是上的一點，則的度數是（）A． B．C． D．4．如圖，將△AOB繞著點O順時針旋轉，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，則旋轉角度是（）A．10° B．30° C．40° D．70°5．程大位是我國明朝商人，珠算發(fā)明家．他60歲時完成的《直指算法統(tǒng)宗》是東方古代數學名著，詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則，確立了算盤用法．對書中某一問題改編如下：意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個正好分完，大和尚共分得（）個饅頭A．25 B．72 C．75 D．906．對于反比例函數y=（k≠0），下列所給的四個結論中，正確的是（）A．若點（3，6）在其圖象上，則（﹣3，6）也在其圖象上B．當k＞0時，y隨x的增大而減小C．過圖象上任一點P作x軸、y軸的線，垂足分別A、B，則矩形OAPB的面積為kD．反比例函數的圖象關于直線y=﹣x成軸對稱7．從拼音“nanhai”中隨機抽取一個字母，抽中a的概率為()A． B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標系中，將正方形繞點逆時針旋轉45°后得到正方形.依此方式，繞點連續(xù)旋轉2020次，得到正方形，如果點的坐標為，那么點的坐標為（）A． B． C． D．9．對于雙曲線y=,當x>0時,y隨x的增大而減小,則m的取值范圍為()A．m>0 B．m>1 C．m<0 D．m<110．若將二次函數的圖象先向左平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度，則所得圖象對應函數的表達式為（）A． B．C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，拋物線y＝﹣（x+1）（x﹣9）與坐標軸交于A、B、C三點，D為頂點，連結AC，BC．點P是該拋物線在第一象限內上的一點．過點P作y軸的平行線交BC于點E，連結AP交BC于點F，則的最大值為_______．12．如圖，直線∥軸，分別交反比例函數和圖象于、兩點，若S△AOB=2，則的值為_______．13．如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形．取BC邊中點E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四邊形EDAF，它的面積記作；取中點，作∥，∥，得到四邊形，它的面積記作．照此規(guī)律作下去，則=____________________.14．分解因式：__________．15．如圖，把一個直角三角尺ACB繞著30°角的頂點B順時針旋轉，使得點A與CB的延長線上的點E重合連接CD，則∠BDC的度數為_____度．16．如圖，反比例函數y=的圖象經過?ABCD對角線的交點P，已知點A，C，D在坐標軸上，BD⊥DC，?ABCD的面積為6，則k=_____．17．如圖，在△ABC中，∠BAC=35°，將△ABC繞點A順時針方向旋轉50°，得到△AB′C′，則∠B′AC的度數是．18．設、是一元二次方程的兩實數根，則的值為_________三、解答題(共66分)19．（10分）某商店準備進一批季節(jié)性小家電，單價40元．經市場預測，銷售定價為52元時，可售出180個，定價每增加1元，銷售量凈減少10個,因受庫存的影響，每批次進貨個數不得超過180個，商店若將準備獲利2000元，定價為多少元？20．（6分）在中，，點在邊上運動，連接，以為一邊且在的右側作正方形.（1）如果，如圖①，試判斷線段與之間的位置關系，并證明你的結論；（2）如果，如圖②，（1）中結論是否成立，說明理由.（3）如果，如圖③，且正方形的邊與線段交于點，設，，，請直接寫出線段的長.（用含的式子表示）21．（6分）解方程：；22．（8分）拋物線經過A（-1，0）、C（0，-3）兩點，與x軸交于另一點B．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點D在第四象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點D’的坐標;（3）在（2）的條件下，連結BD，問在x軸上是否存在點P，使，若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.23．（8分）如圖，已知AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F．若，DE＝6，求EF的長．24．（8分）如圖，在四邊形中，，，對角線，交于點，平分，過點作交的延長線于點，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求的長．25．（10分）分別用定長為a的線段圍成矩形和圓．（1）求圍成矩形的面積的最大值；（用含a的式子表示）（2）哪種圖形的面積更大？為什么？26．（10分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，且AD=AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F．(1)求證：△ABC∽△FCD；(2)過點A作AM⊥BC于點M，求DE：AM的值；(3)若S△FCD=5，BC=10，求DE的長．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】①由于與不一定相等，根據圓周角定理可判斷①；

②連接OD，利用切線的性質，可得出∠GPD=∠GDP，利用等角對等邊可得出GP=GD，可判斷②；

③先由垂徑定理得到A為的中點，再由C為的中點，得到，根據等弧所對的圓周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角對等邊可得出AP=CP，又AB為直徑得到∠ACQ為直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點，即為直角三角形ACQ的外心，可判斷③；

④正確．證明△APF∽△ABD，可得AP×AD=AF×AB，證明△ACF∽△ABC，可得AC2=AF×AB，證明△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ×CB，由此即可判斷④；【詳解】解：①錯誤，假設，則，，，顯然不可能，故①錯誤．②正確．連接．是切線，，，，，，，，，故②正確．③正確．，，，，，，是直徑，，，，，，，點是的外心．故③正確．④正確．連接．，，，，，，，，可得，，，，可得，．故④正確，故選：．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質、垂徑定理、圓周角定理、切線的性質等知識，解題的關鍵是正確現在在相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．2、A【分析】利用二次函數圖象上點的坐標特征求出拋物線與x軸交點的橫坐標，由陰影部分的面積等于矩形OABC的面積可求出AB的長度，再利用平移的性質“左加右減，上加下減”，即可求出拋物線的函數表達式．【詳解】當y＝0時，有（x?2）2?2＝0，解得：x1＝0，x2＝1，∴OA＝1．∵S陰影＝OA×AB＝16，∴AB＝1，∴拋物線的函數表達式為y＝（x?2）2?2＋1＝故選A．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點、矩形的面積以及二次函數圖形與幾何變換，觀察圖形，找出陰影部分的面積等于矩形OABC的面積是解題的關鍵．3、C【分析】首先連接OB，OA，由⊙O是正方形ABCD的外接圓，即可求得∠AOB的度數，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得的度數．【詳解】解:連接OB，OA，∵⊙O是正方形ABCD的外接圓，∴∠BOA=90°，∴=∠BOA=45°．故選：C．【點睛】此題考查了圓周角定理與圓的內接多邊形、正方形的性質等知識．此題難度不大，注意準確作出輔助線，注意數形結合思想的應用．4、D【分析】由旋轉的性質可得旋轉角為∠AOC＝70°．【詳解】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝70°，∵將△AOB繞著點O順時針旋轉，得到△COD，∴旋轉角為∠AOC＝70°，故選：D．【點睛】本題考查了旋轉的性質，解決本題的關鍵是熟練掌握旋轉的意義和性質，能夠有旋轉的性質得到相等的角.5、C【分析】設有x個大和尚，則有（100-x）個小和尚，根據饅頭數=3×大和尚人數+×小和尚人數結合共分100個饅頭，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；【詳解】解：設有x個大和尚，則有(100?x)個小和尚，依題意，得：3x+(100?x)=100，解得：x=25，∴3x=75；故選：C.【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，掌握一元一次方程的應用是解題的關鍵.6、D【解析】分析：根據反比例函數的性質一一判斷即可；詳解：A．若點（3，6）在其圖象上，則（﹣3，6）不在其圖象上，故本選項不符合題意；B．當k＞0時，y隨x的增大而減小，錯誤，應該是當k＞0時，在每個象限，y隨x的增大而減?。还时具x項不符合題意；C．錯誤，應該是過圖象上任一點P作x軸、y軸的線，垂足分別A、B，則矩形OAPB的面積為|k|；故本選項不符合題意；D．正確，本選項符合題意．故選D．點睛：本題考查了反比例函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．7、B【解析】nanhai共有6個拼音字母，a有2個，根據概率公式可得答案．【詳解】∵nanhai共有6個拼音字母，a有2個，∴抽中a的概率為，故選：B．【點睛】此題考查了概率公式的應用．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．8、A【分析】根據圖形可知：點B在以O為圓心，以OB為半徑的圓上運動，由旋轉可知：將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°后得到正方形OA1B1C1，相當于將線段OB繞點O逆時針旋轉45°，可得對應點B的坐標，根據規(guī)律發(fā)現是8次一循環(huán)，可得結論．【詳解】解：∵四邊形OABC是正方形，且OA=，

∴A1（，），

如圖，由旋轉得：OA=OA1=OA2=OA3=…=，

∵將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°后得到正方形OA1B1C1，

相當于將線段OA繞點O逆時針旋轉45°，依次得到∠AOA1=∠A1OA2=∠A2OA3=…=45°，

∴A1（1，1），A2（0，），A3（，），A4（，0）…，

發(fā)現是8次一循環(huán)，所以2020÷8=252…余4，

∴點A2020的坐標為（，0）；故選：A.【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．也考查了坐標與圖形的變化、規(guī)律型：點的坐標等知識，解題的關鍵是學會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．9、D【分析】根據反比例函數的單調性結合反比例函數的性質，即可得出反比例函數系數的正負，由此即可得出關于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結論．【詳解】∵雙曲線y=，當x＞2時，y隨x的增大而減小，∴1-m＞2，解得：m＜1．故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數的性質，解題的關鍵是找出1-m＞2．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據反比例函數的單調性結合反比例函數的性質，找出反比例函數系數k的正負是關鍵．10、C【分析】根據拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可.【詳解】解：將的圖象先向左平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度，則所得二次函數的表達式為：.故選：C.【點睛】本題考查了拋物線的平移，屬于基本知識題型，熟練掌握拋物線的平移規(guī)律是解題的關鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】根據拋物線的解析式求得A、B、C的坐標，進而求得AB、BC、AC的長，根據待定系數法求得直線BC的解析式，作PN⊥BC，垂足為N．先證明△PNE∽△BOC，由相似三角形的性質可知PN=PE，然后再證明△PFN∽△AFC，由相似三角形的性質可得到PF:AF與m的函數關系式，從而可求得的最大值．【詳解】∵拋物線y=﹣(x+1)(x﹣9)與坐標軸交于A、B、C三點，∴A(﹣1，0)，B(9，0)，令x=0，則y=1，∴C(0，1)，∴BC，設直線BC的解析式為y=kx+b．∵將B、C的坐標代入得：，解得k=﹣，b=1，∴直線BC的解析式為y=﹣x+1．設點P的橫坐標為m，則縱坐標為﹣(m+1)(m﹣9)，點E(m，﹣m+1)，∴PE=﹣(m+1)(m﹣9)﹣(﹣m+1)=﹣m2+1m．作PN⊥BC，垂足為N．∵PE∥y軸，PN⊥BC，∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．∴△PNE∽△BOC．∴===．∴PN=PE=(-m2+1m)．∵AB2=(9+1)2=100，AC2=12+12=10，BC2=90，∴AC2+BC2=AB2．∴∠BCA=90°，又∵∠PFN=∠CFA，∴△PFN∽△AFC．∴===﹣m2+m=﹣(m﹣)2+．∵，∴當m時，的最大值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了二次函數圖象上點的坐標特征、一次函數的解析式、等腰三角形的性質、勾股定理的應用以及相似三角形的證明與性質，求得與m的函數關系式是解題的關鍵．12、1【分析】設A（a，b），B（c，d），代入雙曲線得到k1=ab，k2=cd，根據三角形的面積公式求出cd-ab=1，即可得出答案．【詳解】設A（a，b），B（c，d），代入得：k1=ab，k2=cd，∵S△AOB=2，∴，∴cd-ab=1，∴k2-k1=1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了對反比例函數系數的幾何意義，反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積等知識點的理解和掌握，能求出cd-ab=1是解此題的關鍵．13、【分析】先求出△ABC的面積，再根據中位線性質求出S1，同理求出S2，以此類推，找出規(guī)律即可得出S2019的值.【詳解】∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴△ABC的高=∴S△ABC=，∵E是BC邊的中點，ED∥AB，∴ED是△ABC的中位線，∴ED=AB∴S△CDE=S△ABC，同理可得S△BEF=S△ABC∴S1=S△ABC==，同理可求S2=S△BEF=S△ABC==，以此類推，Sn=·S△ABC=∴S2019=.【點睛】本題考查中位線的性質和相似多邊形的性質，熟練運用性質計算出S1和S2，然后找出規(guī)律是解題的關鍵.14、【解析】試題分析：本題考查實數范圍內的因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．在實數范圍內進行因式分解的式子的結果一般要分到出現無理數為止．先把式子寫成a2-32，符合平方差公式的特點，再利用平方差公式分解因式．a2-9=a2-32=（a+3）（a-3）．故答案為（a+3）（a-3）．考點：因式分解-運用公式法．15、1【分析】根據△EBD由△ABC旋轉而成，得到△ABC≌△EBD，則BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，則有∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，化簡計算即可得出.【詳解】解：∵△EBD由△ABC旋轉而成，∴△ABC≌△EBD，∴BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，∴∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，∴；故答案為1．【點睛】此題考查旋轉的性質，即圖形旋轉后與原圖形全等．16、-3【解析】分析：由平行四邊形面積轉化為矩形BDOA面積，在得到矩形PDOE面積，應用反比例函數比例系數k的意義即可．詳解：過點P做PE⊥y軸于點E，∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AB=CD又∵BD⊥x軸∴ABDO為矩形∴AB=DO∴S矩形ABDO=S?ABCD=6∵P為對角線交點，PE⊥y軸∴四邊形PDOE為矩形面積為3即DO?EO=3∴設P點坐標為（x，y）k=xy=﹣3故答案為：﹣3點睛：本題考查了反比例函數比例系數k的幾何意義以及平行四邊形的性質．17、15°【分析】先根據旋轉的性質，求得∠BAB'的度數，再根據∠BAC=35°，求得∠B′AC的度數即可．【詳解】∵將繞點順時針方向旋轉50°得到，∴，又∵，∴，故答案為：15°．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，解題時注意：對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．18、27【詳解】解：根據一元二次方程根與系數的關系，可知+=5，·=-1，因此可知=-2=25+2=27.故答案為27.【點睛】此題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，解題時靈活運用根與系數的關系：，，確定系數a，b，c的值代入求解，然后再通過完全平方式變形解答即可.三、解答題(共66分)19、該商品定價60元．【分析】設每個商品定價x元，然后根據題意列出方程求解即可．【詳解】解：設每個商品定價x元，由題意得：解得，當x=50時，進貨180-10（50-52）=200，不符題意，舍去當x=60時，進貨180-10（60-52）=100，符合題意．答：當該商品定價60元，進貨100個．【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用，關鍵是設出未知數然后列方程求解即可．20、（1）；證明見解析；（2）成立；理由見解析；（3）.【分析】（1）先證明，得到，再根據角度轉換得到∠BCF=90°即可；（2）過點作交于點，可得，再證明，得，即可證明；（3）過點作交的延長線于點，可求出，則，根據得出相似比，即可表示出CP.【詳解】（1）；證明：∵，，∴，由正方形得，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴，即；（2）時，的結論成立；證明：如圖2，過點作交于點，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，即；（3）過點作交的延長線于點，∵，∴△AQC為等腰直角三角形，∵，∴，∵DC=x，∴，∵四邊形ADEF為正方形，∴∠ADE=90°，∴∠PDC+∠ADQ=90°，∵∠ADQ+∠QAD=90°，∴∠PDC=∠QAD，∴，∴，∴，.【點睛】本題考查了全等三角形性質及判定，相似三角形的判定及性質，正方形的性質等，構建全等三角形，相似三角形是解決此題的關鍵．21、1+、1-【詳解】X=1+或者x=1-22、（1）（2）（0，-1）（3）（1,0）（9,0）【解析】（1）將A（?1，0）、C（0，?3）兩點坐標代入拋物線y＝ax2＋bx?3a中，列方程組求a、b的值即可；（2）將點D（m，?m?1）代入（1）中的拋物線解析式，求m的值，再根據對稱性求點D關于直線BC對稱的點D'的坐標；（3）分兩種情形①過點C作CP∥BD，交x軸于P，則∠PCB＝∠CBD，②連接BD′，過點C作CP′∥BD′，交x軸于P′，分別求出直線CP和直線CP′的解析式即可解決問題．【詳解】解：（1）將A（?1，0）、C（0，?3）代入拋物線y＝ax2＋bx?3a中，得，解得∴y＝x2?2x?3；（2）將點D（m，?m?1）代入y＝x2?2x?3中，得m2?2m?3＝?m?1，解得m＝2或?1，∵點D（m，?m?1）在第四象限，∴D（2，?3），∵直線BC解析式為y＝x?3，∴∠BCD＝∠BCO＝45°，CD′＝CD＝2，OD′＝3?2＝1，∴點D關于直線BC對稱的點D'（0，?1）；（3）存在．滿足條件的點P有兩個．①過點C作CP∥BD，交x軸于P，則∠PCB＝∠CBD，∵直線BD解析式為y＝3x?9，∵直線CP過點C，∴直線CP的解析式為y＝3x?3，∴點P坐標（1，0），②連接BD′，過點C作CP′∥BD′，交x軸于P′，∴∠P′CB＝∠D′BC，根據對稱性可知∠D′BC＝∠CBD，∴∠P′CB＝∠CBD，∵直線BD′的解析式為∵直線CP′過點C，∴直線CP′解析式為，∴P′坐標為（9，0），綜上所述，滿足條件的點P坐標為（1，0）或（9，0）．【點睛】本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是由已知條件求拋物線解析式，根據拋物線的對稱性，直線BC的特殊性求點的坐標，學會分類討論，不能漏解．23、1【分析】根據平行線分線段比例定理得到，即，解得EF=1.【詳解】解：∵AD∥BE∥CF，∴，∵=，DE＝6，∴，∴EF＝1．【點睛】本題的考點是平行線分線段成比例.方法是根據已知條件列出相應的比例式，算出答案即可.24、（1）證明見解析；（2）2.【解析】分析：（1）根據一組對邊相等的平行四邊形是菱形進行判定即可.（2）根據菱形的性質和勾股定理求出．根據直角三角