高二數(shù)學(xué)競賽試題

2018年淅川二高二年級數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題：本題共6小題，每小題5分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，給出下列不等式：①eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)；②|a|＋b>0；③a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)；④ln1a2>ln1b2.其中正確的不等式的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)2．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c。已知，a=2，c=，則()A． B． C．D．3．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為 （） A．2 B． C．4 D．4.若是等差數(shù)列，首項(xiàng)則使前n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)是()A．2012B．2013C．2014D．20155.設(shè)集合則A.對任意實(shí)數(shù)a，B.對任意實(shí)數(shù)a，（2，1）C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí)，（2，1）D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（2，1）6.已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為A.B.C.D.二、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分。7．已知等比數(shù)列{an}中，a1＞0，q＞0，前n項(xiàng)和為Sn，則eq\f(S3,a3)與eq\f(S5,a5)的大小關(guān)系為________．8．已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對邊，＝2，且，則面積的最大值為．三、解答題：每題15分，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。9.（本小題滿分15分)已知數(shù)列滿足，，設(shè)．（1）求；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求的通項(xiàng)公式．10.（本小題滿分15分)已知中國某手機(jī)品牌公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬元.設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)萬部并全部銷量完，每萬部的銷售收入為萬元，且(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.11.（本小題滿分15分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（=1\*ROMANI）求C；（=2\*ROMANII）若的面積為，求的周長．12（本小題滿分15分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，是否存在最大的正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)，有恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．四、附加題，每題10分，計(jì)入總分。13.解下列不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．14.（本小題13分）設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．（Ⅰ）若，，求的值，并證明是等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：或者對任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列．2018年淅川二高二年級數(shù)學(xué)競賽試題答一、1.C2.A3.D4.C5.D6.A1.解析：選C法一：因?yàn)閑q\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，故可取a＝－1，b＝－2.顯然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②錯(cuò)誤；因?yàn)閘na2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4>0，所以④錯(cuò)誤，綜上所述，可排除A、B、D，故選C.法二：由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可知b<a<0.①中，因?yàn)閍＋b<0，ab>0，所以eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)，故①正確；②中，因?yàn)閎<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②錯(cuò)誤；③中，因?yàn)閎<a<0，又eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則－eq\f(1,a)>－eq\f(1,b)>0，所以a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)，故③正確；④中，因?yàn)閎<a<0，根據(jù)y＝x2在(－∞，0)上為減函數(shù)，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以lnb2>lna2，故④錯(cuò)誤．由以上分析，知①③正確。5.【答案】D【解析】分析：求出及所對應(yīng)的集合，利用集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行求解.詳解：若，則且，即若，則，此命題的逆否命題為：若，則有，故選D.點(diǎn)睛：此題主要結(jié)合充分與必要條件考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，集合法是判斷充分條件與必要條件的一種非常有效的方法，根據(jù)成立時(shí)對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.設(shè)，若，則；若，則，當(dāng)一個(gè)問題從正面思考很難入手時(shí)，可以考慮其逆否命題形式.6.【答案】A【解析】分析：首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個(gè)正六邊形，且邊長是面的對角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.詳解：根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面與中間的，且過棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長為，所以其面積為，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.二、7．解析：當(dāng)q＝1時(shí)，eq\f(S3,a3)＝3，eq\f(S5,a5)＝5，所以eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).當(dāng)q＞0且q≠1時(shí)，eq\f(S3,a3)－eq\f(S5,a5)＝eq\f(a11－q3,a1q21－q)－eq\f(a11－q5,a1q41－q)＝eq\f(q21－q3－1－q5,q41－q)＝eq\f(－q－1,q4)＜0，所以eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).綜上可知eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).答案：eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5)8．(2014)三、9.詳解：（1）由條件可得an+1=．將n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．將n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．從而b1=1，b2=2，b3=4．……5分（2）{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．由條件可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列…5分（3）由（2）可得，所以an=n·2n-1．……5分10.（本小題滿分15分)解：（1）當(dāng)時(shí)，……2分

當(dāng)時(shí)，…4分所以…………7分

（2）①當(dāng)時(shí)，，所；…8分

②當(dāng)時(shí)，，

由于，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立…13分

所以取最大值為5760．…………14分

綜合①②知，當(dāng)時(shí)，取得最大值6104萬元．…………15分11.試題解析：（I）由已知及正弦定理得，，．故．可得，所以．12．（本小題滿分15分）解：（1）由已知an=Sn﹣1+2，①an+1=Sn+2，②②﹣①，得an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），∴an+1=2an（n≥2）．又a1=2，∴a2=a1+2=4=2a1，∴an+1=2an（n=1，2，3，…）∴數(shù)列{an}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an=2?2n﹣1=2n．………………6分（2）bn===，∴Tn=bn+1+bn+2+…+b2n=++…+，Tn+1=bn+2+bn+3+…+b2（n+1）=++…+++．∴Tn+1﹣Tn=+﹣==．∵n是正整數(shù)，∴Tn+1﹣Tn＞0，即Tn+1＞Tn．∴數(shù)列{Tn}是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，又T1=b2=，∴Tn≥T1=，要使Tn＞恒成立，則有＞，即k＜6……………15分四、附加題，每題10分13.原不等式變?yōu)?ax－1)(x－1)＜0，因?yàn)閍＞0，所以aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0.所以當(dāng)a＞1，即eq\f(1,a)<1時(shí)，解為eq\f(1,a)＜x＜1；當(dāng)a＝1時(shí)，解集為?；當(dāng)0＜a＜1，即eq\f(1,a)>1時(shí)，解為1＜x＜eq\f(1,a).綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜\f(1,a)))))；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜1)))).14.【解析】（Ⅱ）設(shè)數(shù)列和的公差分別為，則.所以時(shí)，取正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，因此.此時(shí)，是等差數(shù)列.時(shí)，對任意，此時(shí)，是等差數(shù)列.時(shí)，當(dāng)時(shí)，有.所以對任意正數(shù)，取正整數(shù)，故當(dāng)時(shí)，.20.設(shè)n為正整數(shù)，集合A=．對于集合A中的任意元素和，記M（）=．（Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，若，，求M（）和M（）的值；（Ⅱ）當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素，當(dāng)相同時(shí)，M（）是奇數(shù)；當(dāng)不同時(shí)，M（）是偶數(shù)．求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值；（Ⅲ）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個(gè)不同的元素，M（）=0．寫出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說明理由．詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)棣?（1，1，0），β=（0，1，1），所以M(α，α)=[(1+1?|1?1|)+(1+1?|1?1|)+(0+0?|0?0|)]=2，M(α，β）=[(1+0–|1?0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1．（Ⅱ）設(shè)α=（x1，x2，x3，x4）∈B，則M(α，α）=x1+x2+x3+x4．由題意知x1，x2，x3，x4∈{0，1}，且M(α，α)為奇數(shù)，所以x1，x2，x3，x4中1的個(gè)數(shù)為1或3．所以B{(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}.將上述集合中的元素分成如下四組：（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).經(jīng)驗(yàn)證，對于每組中兩個(gè)元素α，β，均有M(α，β）=1.所以每組中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素．所以集合B中元素的個(gè)數(shù)不超過4.又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}滿足條件，所以集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值為4.（Ⅲ）設(shè)Sk=(x1，x2，…，xn）|(x1，x2，…，xn）∈A，xk

=1，x1=x2=…=xk–1=0）（k=1，2，…，n)，Sn+1={(x1，x2，…，xn）|x1=x2=…=xn=0}，則A=S1∪S1∪…∪Sn+1．對于Sk（k=1，2，…，n–1）中的不同元素α，β，經(jīng)驗(yàn)證，M(α，β)≥1.所以Sk（k=1，2，…，n–1）中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素．所以B中元素的個(gè)數(shù)不超過n+1.取ek=(x1，x2，…，xn）∈Sk且xk+1=…=xn=0（k=1，2，…，n–1）.令B=（e1，e2，…，en–1）∪Sn∪Sn+1，則集合B的元素個(gè)數(shù)為n+1，且滿足條件.故B是一個(gè)滿足條件且元素個(gè)數(shù)最多的集合．點(diǎn)睛：解決新定義問題的兩個(gè)著手點(diǎn)(1)正確理解新定義．耐心閱讀，分析含義，準(zhǔn)確提取信息是解決這類問題的前提，剝?nèi)バ露x、新法則、新運(yùn)算的外表，利用所學(xué)的知識將陌生的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的性質(zhì)，是解決這類問題的突破口．(2)合理利用有關(guān)性質(zhì)是破解新定義型問題的關(guān)鍵．在解題時(shí)要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用性質(zhì)的一些因素，并合理利用．15．(12分)(2016·山東)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝eq\f(tanA,cosB)＋eq\f(tanB,cosA).(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．解析：(1)證明：由題意知2(eq\f(sinA,cosA)＋eq\f(sinB,cosB))＝eq\f(sinA,cosAcosB)＋eq\f(sinB,cosAcosB)，化簡得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB.因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.從而sinA＋sinB＝2sinC.由正弦定理得a＋b＝2c.(2)由(1)知c＝eq\f(a＋b,2)，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－\f(a＋b,2)2,2ab)＝eq\f(3,8)(eq\f(a,b)＋eq\f(b,a))－eq\f(1,4)≥eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立．故cosC的最小值為eq\f(1,2).答案：(1)見解析(2)eq\f(1,2)17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足=1，.（Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：.17.（本小題滿分12分）（Ⅰ）證明：由得又，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，因此的通項(xiàng)公式為（Ⅱ）由（Ⅰ）知因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以于是所以5．(2018·河南百校聯(lián)盟模擬)已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝4，則eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋3)的最小值為________．解析：∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋3)＝eq\f(1,8)[(a＋1)＋(b＋3)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋1)＋\f(1,b＋3)))＝eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b＋3,a＋1)＋\f(a＋1,b＋3)))≥eq\f(1,8)×(2＋2)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1時(shí)取等號，∴eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋3)的最小值為eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4.數(shù)列{an}滿足，則an=（B）A． B． C． D．14、若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn＝，則數(shù)列{}的