解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示

第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示§4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§4.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§4.3泰勒級(jí)數(shù)§4.4洛朗級(jí)數(shù)1/5/20241§4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.復(fù)數(shù)序列的極限1/5/202421/5/202432.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1/5/202441/5/20245定理2將復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題.1/5/202461/5/20247[解]1)

因發(fā)散;收斂,

故原級(jí)數(shù)發(fā)散.1/5/202481/5/202491/5/202410(1)發(fā)散;(2)絕對收斂;(3)收斂,條件收斂;(4)絕對收斂;(5)絕對收斂.1/5/202411§4.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1/5/2024121/5/2024132.冪級(jí)數(shù)(阿貝爾定理)1/5/2024141/5/2024151/5/2024161/5/2024171/5/2024181/5/2024191/5/2024204.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

象實(shí)變冪級(jí)數(shù)一樣,復(fù)變冪級(jí)數(shù)也能進(jìn)行有理運(yùn)算.設(shè)1/5/202421這個(gè)代換運(yùn)算,在把函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)時(shí),有著廣泛的應(yīng)用.1/5/2024221/5/2024233)f(z)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,即1/5/202424§4.3泰勒級(jí)數(shù)1/5/202425利用泰勒展開式,我們可以直接通過計(jì)算系數(shù):把f(z)在z0展開成冪級(jí)數(shù),這被稱作直接展開法例如,求ez

在z=0處的泰勒展開式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因?yàn)閑z在復(fù)平面內(nèi)處處解析,上式在復(fù)平面內(nèi)處處成立,收斂半徑為+.1/5/202426同樣,可求得sinz與cos

z在z=0的泰勒展開式:除直接法外,也可以借助一些已知函數(shù)的展開式,利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì),以唯一性為依據(jù)來得出一個(gè)函數(shù)的泰勒展開式,此方法稱為間接展開法.例如sinz在z=0的泰勒展開式也可以用間接展開法得出:1/5/202427[解]由于函數(shù)有一奇點(diǎn)z=-1,而在|z|<1內(nèi)處處解析,所以可在|z|<1內(nèi)展開成z的冪級(jí)數(shù).因?yàn)?/p>

例1

把函數(shù)展開成z的冪級(jí)數(shù).1/5/202428例2

求對數(shù)函數(shù)的主值ln(1+z)在z=0處的冪級(jí)數(shù)展開式.[解]ln(1+z)在從-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)是解析的,

-1是它的奇點(diǎn),所以可在|z|<1展開為z的冪級(jí)數(shù).-1OR=1xy1/5/202429推論1:推論2：

推論3:冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個(gè)奇點(diǎn).(即使冪級(jí)數(shù)在其收斂圓周上處處收斂)1/5/202430推論4：例如：它有兩個(gè)奇點(diǎn)

i,而這兩個(gè)奇點(diǎn)都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上,所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑只能等于1.因此,即使我們只關(guān)心z的實(shí)數(shù)值,但復(fù)平面上的奇點(diǎn)形成了限制.1-z2+z4-…如復(fù)變函數(shù)1/5/2024311/5/2024321/5/202433§4.4洛朗級(jí)數(shù)1/5/202434一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正,負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的,這個(gè)級(jí)數(shù)就是f(z)的洛朗級(jí)數(shù).根據(jù)由正負(fù)整次冪項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)的唯一性,一般可以用代數(shù)運(yùn)算,代換,求導(dǎo)和積分等方法去展開,以求得洛朗級(jí)數(shù)的展開式.R1R2zrK1zRK2zz01/5/202435解：函數(shù)f(z)

在圓環(huán)域i)0<|z|<1;ii)1<|z|<2;iii)2<|z|<+

內(nèi)是處處解析的,應(yīng)把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù).xyO1xyO12xyO21/5/202436先把f(z)用部分分式表示: