山東省菏澤市單縣2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試題（ 含答案解析 ）

2023-2024學年度第一學期期中質(zhì)量檢測九年級數(shù)學試題注意事項：1．本試題共24道題，滿分120分，考試時間120分鐘．2．請把答案寫在答題卡上，選擇題用2B鉛筆填涂，非選擇題用0.5mm的黑色簽字筆書寫在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)，寫在其它區(qū)域不得分．一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項涂在答題卡的相應位置）1.在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值的等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：已知在△ABC中，∠C=90°，tanA=，設BC=5x，可得AC=12x，根據(jù)勾股定理可求得AB=13x，所以sinB==．故答案選B．考點：勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義．2.直線a上有一點到圓心O的距離等于⊙O的半徑，則直線a與⊙O的位置關系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.相切或相交【答案】D【解析】【詳解】∵直線a上一點到圓心O的距離等于半徑，∴圓心O到直線a的距離小于或等于半徑，∴直線a與⊙O的位置關系是相切或相交.故選D．3.如圖，點D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的中點，則△ADE的面積與四邊形BCED的面積的比為（）A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中位線定理得到DE∥BC，DE=BC，從而判定△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面積：△ABC的面積==1：4，∴△ADE的面積：四邊形BCED的面積=1：3；故選B．【點睛】本題考查三角形中位線定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是合理的運用相關性質(zhì)定理和判定定理．4.河堤橫斷面如圖所示，堤高米，迎水坡AB的坡比是，則的長是（）A.米 B.米 C.米 D.12米【答案】D【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用—坡度坡角問題，根據(jù)題意可以求得米，再根據(jù)勾股定理即可求得的長，本題得以解決．【詳解】解：∵米，迎水坡的坡比為，∴，∴米，∴米，故選：D．5.如圖，在ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，，則DE：EC=【】A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：2【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根據(jù)S△DEF∶S△ABF=4∶25即可得出其相似比，由相似三角形的性質(zhì)即可求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE∴△DEF∽△BAF∴∵，∴DE：AB=2：5∵AB=CD，∴DE：EC=2：3故選B．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵．6.如圖，為測量某物體AB的高度，在D點測得A點的仰角為30°，朝物體AB方向前進20米，到達點C，再次測得點A的仰角為60°，則物體AB的高度為（）A.10米 B.10米 C.20米 D.米【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)題意分析圖形，本題涉及到兩個直角三角形，應利用其公共邊AB及CD=DC-BC=20構(gòu)造方程關系式，進而可解，即可求出答案．【詳解】∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，∴=tan30°．∴．∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，∴BC=．∵CD=20，∴CD=BD﹣BC=．解得：AB=．故選A．7.如圖是某公園的一角，∠AOB=90°，弧AB的半徑OA長是6米，C是OA的中點，點D在弧AB上，CD∥OB，則圖中休閑區(qū)（陰影部分）的面積是（）A.米2 B.米2 C.米2 D.米2【答案】C【解析】【詳解】連接OD，∵弧AB的半徑OA長是6米，C是OA的中點，∴OC=OA=×6=3．∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA．在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴．又∵，∴∠DOC=60°．∴（米2）．故選C．8.如圖，在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點、，⊙的半徑為2(為坐標原點)，點是直線上的一動點，過點作⊙的一條切線，為切點，則切線長的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，根據(jù)勾股定理知，當時，線段最短，即線段最短.【詳解】連接、，是的切線，，根據(jù)勾股定理知，當時，線段最短，又、，，，，，.故選：.【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)等知識點.運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角來解決有關問題.二、填空題（本大題共6個小題每小題3分，共18分，只要求把最后結(jié)果填寫在答題卡的相應區(qū)域內(nèi)．）9.的算術平方根等于____________________．【答案】【解析】【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及求算術平方根，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．【詳解】解：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可知，，的算術平方根為，故答案為．10.已知兩邊長分別是和，則它的外接圓的半徑是___________．【答案】或##4cm或5cm【解析】【分析】分為直角邊和為斜邊兩種情況，結(jié)合直角三角形的外接圓半徑為斜邊長的一半和勾股定理求解即可．【詳解】解：若為直角邊時，則斜邊長為，則的外接圓的半徑是，若為斜邊長時，的外接圓的半徑是，綜上，的外接圓的半徑是或，故答案為：或．【點睛】本題考查直角三角形的外接圓、勾股定理，熟知直角三角形的外接圓半徑為斜邊長的一半，本題容易忽視對邊的討論而導致錯誤，故需分類討論進行求解．11.如圖，點E在矩形的邊上，將沿翻折，點A恰好落在邊上的點F處，若，則________________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形的折疊問題．根據(jù)矩形的性質(zhì)，圖形折疊的性質(zhì)可證明，可得，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，由折疊的性質(zhì)得：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：12.如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE=40cm，EF=20cm，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，則樹高AB=____m．【答案】5.5【解析】【詳解】在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴，40cm=0.4m，20cm=0.2m，即，解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m故答案為：5.5m【點睛】考點：相似三角形13.如圖，點D是的邊上一點，，，如果的面積為4，那么的面積為_____________________．【答案】12【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，首先證明出兩個三角形相似，由相似三角形的性質(zhì)可以得到兩個三角形的面積比，進而得到答案，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵面積為4，∴的面積是16，∴，故答案為：12．14.如圖，I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線與△ABC的外接圓相交于點D，與BC交于點E，連接BI、CI、BD、DC．下列說法中正確的有____．①∠CAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度一定能與∠DAB重合；②I到△ABC三個頂點的距離相等；③∠BIC=90°+∠BAC；④點D是△BIC的外心．【答案】①③④【解析】【分析】利用圓周角定理即可判斷①；依據(jù)三角形內(nèi)心定義判斷②；利用角平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理判斷③；利用三角形的外角性質(zhì)及等角對等邊判定得出DB=DI=DC，由此判斷④.【詳解】∵I是△ABC的內(nèi)心，∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，∴∠CAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度一定能與∠DAB重合，所以①正確；∵I是△ABC的內(nèi)心，∴點I到三角形三邊的距離相等，所以②錯誤；連接IC，∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∴∠1=∠ABC，∠ICB=∠ACB．∵∠BIC=180°﹣∠1﹣∠ICB，∴∠BIC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC，所以③正確；∵∠1=∠2，∠3=∠CAD=∠4，∴∠2+∠3=∠1+∠4，而∠5=∠2+∠3，∴∠5=∠1+∠4，即∠5=∠DBI，∴DB=DI．∵∠3=∠CAD，∴，∴BD=CD，∴DB=DI=DC，∴點B、I、C在以點D為圓心，DB為半徑的圓上，即點D是△BIC的外心，所以④正確.故答案為：①③④.【點睛】此題考查三角形的內(nèi)心、外心的定義，圓周角定理，三角形的外角性質(zhì)定理，三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)定理，利用等角對等邊進行證明.三、解答題（本題共78分，把解答和證明過程寫在答題卡的相應區(qū)域或內(nèi)）15.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)的混合運算，先求絕對值，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，再進行加減，即可解答，熟記特殊角的三角函數(shù)的值是解題的關鍵。【詳解】解：原式．16.如圖所示，在菱形中，于E，，，求此菱形邊長．【答案】菱形邊長為【解析】【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識，先得出，再設，，根據(jù)勾股定理得出，進而得出，得出，，即可得出答案．解題的關鍵是學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵，，設，，則，∴，∴，，∴菱形的邊長為．17.在銳角△ABC中，正方形EFGH的兩個頂點E、F在BC上，另兩個頂點G、H分別在AC、AB上，BC=15cm，BC邊上的高是10cm，求正方形的面積．【答案】

【解析】【分析】過A作AD⊥BC，交BC于點D，交HG于點M，則可證明△AHG∽△ABC，進而求出HG的長，即可解決問題．【詳解】作AD⊥BC，交BC于點D，交HG于點M，∵四邊形EFGH是正方形，∴EH=MD=HG，設正方形的邊長HG=x，則AM=10﹣x，且AM⊥GH．∵HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴=，即=，解得：x=6，∴S正方形HEFG=36（cm2）．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點的應用問題，作輔助線，構(gòu)造三角形相似是解題的關鍵．18.禁漁期間，我漁政船在A處發(fā)現(xiàn)正北方向B處有一艘可疑船只，測得A、B兩處距離為海里，可疑船只正沿南偏東方向航行，我漁政船迅速沿北偏東方向前去攔截，剛好在C處將可疑船只攔截．求該可疑船只航行的路程（結(jié)果保留根號）．【答案】該可疑船只的航行路程約為海里【解析】【分析】此題考查了解直角三角形的應用，用到的知識點是方向角含義、三角函數(shù)的定義，過點C作，垂足為點D，設海里，得出，，根據(jù)，得出，即可得出答案，解題關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造直角三角形．【詳解】解：過點C作，垂足為點D，設海里，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∵，即，解得，∴海里，則該可疑船只的航行路程約為海里．19.如圖，的半徑弦于點C，連接并延長交于點E，連接．若求的長．【答案】【解析】【分析】本題考查了垂徑定理、中位線的性質(zhì)以及勾股定理：先根據(jù)得，再根據(jù)勾股定理進行列式，得，解出，再結(jié)合中位線的性質(zhì)，即可作答．正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．【詳解】解：連接，如圖，∵，∴，設，則，在中，∵，∴，解得，∴，，∵是直徑，∴，∵是的中位線，∴，在中，．20.如圖，是等邊三角形，P是延長線上一點，Q是延長線上一點，且滿足．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，本題先證明與，可得，再利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】證明：∵是等邊三角形，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．21.如圖，在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F，∠EAF=∠GAC．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，從而可證明∠AED=∠ACB，進而可證明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，，又易證△EAF∽△CAG，所以，從而可求解．【詳解】（1）證明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=22.如圖，在中，，平分交于點E，點D在邊上且．（1）判斷直線與外接圓的位置關系，并說明理由；（2）若，，求的值．【答案】（1）直線與外接圓相切（2）【解析】【分析】本題考查了切線的判定以及勾股定理的有關知識．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．（1）連接OE，結(jié)合兩半徑構(gòu)成的等腰三角形性質(zhì)和角平分線定義，易證為垂直關系；（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程，可求出半徑長，再求出的值．【小問1詳解】解：直線AC與外接圓相切．理由如下：設外接圓的圓心為O，連接OE，如圖，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴AC為的切線．【小問2詳解】解：設的半徑為r，則，，在中，，解得：，∴，∵，∴，∴．23.如圖，在△ABC中，D為AC上一點，且CD=CB,以BC為直徑作☉O,交BD于點E，連接CE,過D作DFAB于點F,∠BCD=2∠ABD.（1）求證：AB是☉O的切線；（2）若∠A=60°，DF=,求☉O的直徑BC的長．【答案】（1）證明過程見解析；（2）6+4【解析】【分析】（1）根據(jù)CB=CD得出∠CBD=∠CDB，然后結(jié)合∠BCD=2∠ABD得出∠ABD=∠BCE，從而得出∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°，然后得出切線；（2）根據(jù)Rt△AFD和Rt△BFD的性質(zhì)得出AF和DF的長度，然后根據(jù)△ADF和△ACB相似得出相似比，從而得出BC的長度.【詳解】（1）∵CB=CD∴∠CBD=∠CDB又∵∠CEB=90°∴∠CBD+∠BCE=∠CDE+∠DCE∴∠BCE=∠DCE且∠BCD=2∠ABD∴∠ABD=∠BCE∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°∴CB⊥AB垂足為B又∵CB為直徑∴AB是⊙O的切線.（2）∵∠A=60°，DF=在Rt△AFD中得出AF=1在Rt△BDF中，∵∠AB