八年級數(shù)學重點知識點

初二數(shù)學知識點

因式分解

1.因式分解：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項

式因式分解；注意：因式分解與乘法是相反的兩個轉(zhuǎn)化.

2.因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分組分解法”、

“十字相乘法”.

3.公因式的確定：系數(shù)的最大公約數(shù)?相同因式的最低次幕.

注意公式:；()；(T=(T；()0.

4.因式分解的公式：

(1)平方差公式：a22=(b)(b)；

⑵完全平方公式：a2+22=()2,a2-22=()2.

5.因式分解的注意事項：

(1)選擇因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分組、

四十字；

(2)使用因式分解公式時要特別注意公式中的字母都具有整體性；

(3)因式分解的最后結(jié)果要求分解到每一個因式都不能分解為止;

（4）因式分解的最后結(jié)果要求每一個因式的首項符號為正;

（5）因式分解的最后結(jié)果要求加以整理；

（6）因式分解的最后結(jié)果要求相同因式寫成乘方的形式.

6.因式分解的解題技巧：（1）換位整理，加括號或去括號整理；（2）提

負號；（3）全變號；（4）換元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整

體；（7）靈活分組；（8）提取分數(shù)系數(shù)；（9）展開部分括號或全部括

號；（10）拆項或補項.

7.完全平方式：能化為（）2的多項式叫完全平方式；對于二次三項式

X2,有“X?是完全平方式?=q”.

分式

1.分式：一般地，用A、B表示兩個整式，A+B就可以表示為△的形式,

B

如果B中含有字母，式子A叫做分式.

B

2.有理式：整式與分式統(tǒng)稱有理式；即有理式

分式

3.對于分式的兩個重要判斷：（1）若分式的分母為零，則分式無意義,

反之有意義；（2）若分式的分子為零，而分母不為零，則分式的值為

零；注意：若分式的分子為零，而分母也為零，則分式無意義.

4.分式的基本性質(zhì)與應(yīng)用：

(1)若分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不為零的整式，分式

的值不變；

(2)注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符號，改變其中任何兩

個，分式的值不變；

即一分子_一分子_分子_分子

一_分母=分母=_分母=一芬每

(3)繁分式化簡時，采用分子分母同乘小分母的最小公倍數(shù)的方法，比

較簡單.

5.分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約

分；注意：分式約分前經(jīng)常需要先因式分解.

6.最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式，這個分式叫做最簡分

式；注意：分式計算的最后結(jié)果要求化為最簡分式.

7.分式的乘除法法則：土屋空，色一J.九笆.

bdbdbdbebe

8.分式的乘方：修丫=4.(n為正整數(shù)).

lb；bn

9.負整指數(shù)計算法則：

(1)公式：a°=l(av^O),4(aWO)；

a

(2)正整指數(shù)的運算法則都可用于負整指數(shù)計算;

(3)公式:

(4)公式：(-1)邑1,(-1)-31.

10.分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成

與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的

通分前要先確定最簡公分母.

11.最簡公分母的確定：系數(shù)的最小公倍數(shù)?相同因式的最高次幕.

12.同分母與異分母的分式加減法法則：

_a,ba±b,_a+,_c=_a_d+,_b_e-_a_d±bc

ccc9bdbdbdbd

13.含有字母系數(shù)的一元一次方程：在方程0(a/0)中是未知數(shù)和b是

用字母表示的已知數(shù)，對x來說，字母a是x的系數(shù)，叫做字母系數(shù),

字母b是常數(shù)項，我們稱它為含有字母系數(shù)的一元一次方程.注意：在

字母方程中,一般用a、b、c等表示已知數(shù)，用x、y、z等表示未知數(shù).

14.公式變形：把一個公式從一種形式變換成另一種形式，叫做公式變

形；注意：公式變形的本質(zhì)就是解含有字母系數(shù)的方程.特別要注意:

字母方程兩邊同時乘以含字母的代數(shù)式時，一般需要先確認這個代數(shù)

式的值不為0.

15.分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程；注意：以前學

過的，分母里不含未知數(shù)的方程是整式方程.

16.分式方程的增根：在解分式方程時，為了去分母，方程的兩邊同乘

以了含有未知數(shù)的代數(shù)式，所以可能產(chǎn)生增根，故分式方程必須驗增

根；注意：在解方程時，方程的兩邊一般不要同時除以含未知數(shù)的代

數(shù)式，因為可能丟根.

17.分式方程驗增根的方法：把分式方程求出的根代入最簡公分母（或

分式方程的每個分母），若值為零,求出的根是增根,這時原方程無解;

若值不為零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判斷，使分母的

值為零的未知數(shù)的值可能是原方程的增根.

18.分式方程的應(yīng)用：列分式方程解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的方

法一樣，但需要增加“驗增根”的程序.

數(shù)的開方

1.平方根的定義：若X；那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；

注意：（1）a叫x的平方數(shù)，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫

開方，乘方與開方互為逆運算.

2.平方根的性質(zhì)：

(1)正數(shù)的平方根是一對相反數(shù)；

(2)0的平方根還是0；

(3)負數(shù)沒有平方根.

3.平方根的表示方法：a的平方根表示為祈和-6?注意：瓜可以看作

是一個數(shù)，也可以認為是一個數(shù)開二次方的運算.

4.算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫a的算術(shù)平方根，表示為G.注

意：。的算術(shù)平方根還是0.

5.三個重要非負數(shù)：a2^020,620.注意：非負數(shù)之和為0,說

明它們都是0.

6.兩個重要公式：

(1)(fij=a;(a20)

⑵g"吃〉

7.立方根的定義：若x：那么x叫a的立方根，(即a的立方根是x).

注意：(1)a叫x的立方數(shù)；(2)a的立方根表示為痣；即把a開三

次方.

8.立方根的性質(zhì):

(1)正數(shù)的立方根是一個正數(shù);

(2)0的立方根還是0；

(3)負數(shù)的立方根是一個負數(shù).

9.立方根的特性：憶=-也.

10.無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).注意：和開方開不盡的數(shù)是

無理數(shù).

11.實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù).

"正有理數(shù)’

有理數(shù)40”有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)

12.實數(shù)的分類：(1)實數(shù)負有理數(shù),(2)

‘正無理數(shù)'

無理數(shù)＜,無限不循環(huán)小數(shù)

、負無理數(shù),

,正實數(shù)

實數(shù)o

負實數(shù)

13.數(shù)軸的性質(zhì)：數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)

14.無理數(shù)的近似值：實數(shù)計算的結(jié)果中若含有無理數(shù)且題目無近似要

求，則結(jié)果應(yīng)該用無理數(shù)表示；如果題目有近似要求，則結(jié)果應(yīng)該

用無理數(shù)的近似值表示.注意：（1）近似計算時，中間過程要多保留

一位;(2)要求記憶：V2=1.41473=1.732指=2.236.

三角形

3.三角形的高線定義：幾何表達式舉例：

A

從三角形的一個頂點向它4(1)???是△的高

的對邊畫垂線，頂點和垂足間BDCZ90°

的線段叫做三角形的高線.(2)VZ90°

(如圖).,.是△的高

※爾三角形的三邊關(guān)系定理：幾何表達式舉例：

A

三角形的兩邊之和大于第三△(1)v>

*

邊，三角形的兩邊之差小于第??

BC

三邊.(如圖)(2),?，<

?*?

5.等腰三角形的定義：幾何表達式舉例：

有兩條邊相等的二角形叫(1)???△是等腰三角形

A?_

做等腰三角形.（如圖）??一

(2)???4

BAC

???△是等腰三角

形

6.等邊三角形的定義：幾何表達式舉例：

有二條邊相等的二角形叫Aa）：A是等邊三角形

?

做等邊三角形.（如圖）A??

⑵*/

???△是等邊三角

形

7.三角形的內(nèi)角和定理及推論:幾何表達式舉例:

(1)三角形的內(nèi)角和180°；(如圖)(1)VZZZ1800

(2)直角三角形的兩個銳角互余；(如圖).......................

(3)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩⑵Z90°

個內(nèi)角的和；(如圖).,.ZZ90°

X(4)三角形的一個外角大于任何一個和它⑶VZZZB

不相鄰的內(nèi)角........................

AA

八A4⑷VZ>ZA

BD

CcBBc

(1)(2)(3)

(4)

8.直角三角形的定義：幾何表達式舉例：

A0

有一個角是直角的三角形叫[X(1)VZ9O

直角三角形.(如圖)CB，△是直角三角形

(2)YA是直角三角形

/.Z90°

9.等腰直角三角形的定義：幾何表達式舉例：

兩條直角邊相等的直角(1)VZ900

A

三角形叫等腰直角三角形.，A是等腰直角三

(如圖)角形

⑵???△是等腰直角三

角形

Z90°

10.全等三角形的性質(zhì)：幾何表達式舉例：

(1)全等三角形的對應(yīng)邊相等；(如圖)(1)???△也△

(2)全等三角形的對應(yīng)角相等.(如圖)??

(2)AA

AE

q-。AZZE..........

BCFG

11.全等三角形的判定：幾何表達式舉例：

(如圖)(1):=

AE

q4。ZZF

BCG

F又丁=

(1)，△也A

(2)⑵..........

AE⑶在△和△中

KK

?*?

CBGF

又丁=

(3)，△也A

12.角平分線的性質(zhì)定理及幾何表達式舉例：

逆定理：⑴???平分N

(1)在角平分線上的點到角Xv±±

A

的兩邊距離相等；(如圖)??

(2)到角的兩避巨離相等的(2)V±±

orEB

點在角平分線上.(如圖)又丁二

???是角平分線

13.線段垂直平分線的定義：幾何表達式舉例：

垂直于一條線段且平分這條(1)???垂直平分

A0B

線段的直線，叫做這條線段

的垂直平分線.(如圖)(2)V±

???是的垂直平分線

14.線段垂直平分線的性質(zhì)幾何表達式舉例：

定理及逆定理：(1)???是線段的垂直平

(1)線段垂直平分線上的點L分線

N

*_

和這條線段的兩個端點的距??

離相等；（如圖）⑵：=

（2）和一條線段的兩個端點.??點P在線段的垂直平

的距離相等的點，在這條線分線上

段的垂直平分線上.（如圖）

15.等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：幾何表達式舉例:

（1）等腰三角形的兩個底角相等；（即等邊對等(1):=

角）（如圖）AZZC

（2）等腰三角形的“頂角平分線、底邊中線、⑵丁=

底邊上的高”三線合一；（如圖）又「NN

*_

（3）等邊三角形的各角都相等，并且都是60°.??

（如圖）±

(3)???△是等邊三角

形

(3).,.ZZZC=60°

16.等腰三角形的判定定理及推論：幾何表達式舉例：

（1）如果一個三角形有兩個角都相等，那么這(1)VZZC

*_

兩個角所對邊也相等；（即等角對等邊）（如圖）??

（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（如(2)VZZZC

圖）I.A是等邊三角

（3）有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三形

角形；（如圖）⑶VZ60°

（4）在直角三角形中，如果有一個角等于30°,又???=

那么它所對的直角邊是斜邊的一半.（如圖）I.A是等邊三角

A

△AZ形

C(4)VZ90°Z30°

BC⑴BC(2)(3)B(4)

.1

??—

2

17.關(guān)于軸對稱的定理幾何表達式舉例：

M

E

（1）關(guān)于某條直線對稱的兩A（1）△關(guān)于軸

B

個圖形是全等形；（如圖）7對稱

(2)如果兩個圖形關(guān)于某條

直線對稱，那么對稱軸是對(2)TA、△關(guān)于軸

應(yīng)點連線的垂直平分線.(如對稱

圖)二.±

18.勾股定理及逆定理：幾何表達式舉例：

(1)直角二角形的兩直角邊(1)???△是直角三角

A

a、b的平方和等于斜邊c的形

平方，即a?22；(如圖)???a222

(2)如果三角形的三邊長有(2)Va222

下面關(guān)系：a222,那么這個三工△是直角三角

角形是直角三角形.(如圖)形

19.△斜邊中線定理及逆定幾何表達式舉例：

理：⑴???A是直角三角

(1)直角三角形中，斜邊上k形

的中線是斜邊的一半；(如TD是的中點

?_1

圖）??——

2

（2）如果三角形一邊上的中⑵??,

線是這邊的一半，那么這個，△是直角三角

三角形是直角三角形.（如形

圖）

幾何B級概念：（要求理解、會講、會用，主要用于填空和選擇題）

一基本概念：

三角形、不等邊三角形、銳角三角形、鈍角三角形、三角形的外角、

全等三角形、角平分線的集合定義、原命題、逆命題、逆定理、尺

規(guī)作圖、輔助線、線段垂直平分線的集合定義、軸對稱的定義、軸

對稱圖形的定義、勾股數(shù).

二常識：

1.三角形中，第三邊長的判斷：另兩邊之差〈第三邊〈另兩邊之和.

2.三角形中，有三條角平分線、三條中線、三條高線，它們都分別交于

一點，其中前兩個交點都在三角形內(nèi)，而第三個交點可在三角形內(nèi)，

三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分線、中線、高線都是線段.

3.如圖，三角形中，有一個重要的面積等式，即：若，，±,則-?.

4.三角形能否成立的條件是：最長邊〈另兩邊之和.火、

5.直角三角形能否成立的條件是：最長邊的平方等于另兩也

6.分別含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.

A

7.如圖，雙垂圖形中，有兩個重要的性質(zhì)，即：

CB

（1）??；（2）Z1=ZB,Z2=ZA.

8.三角形中，最多有一個內(nèi)角是鈍角，但最少有兩個外角是鈍角.

9.全等三角形中，重合的點是對應(yīng)頂點，對應(yīng)頂點所對的角是對應(yīng)角,

對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊.

10.等邊三角形是特殊的等腰三角形.

11.幾何習題中，“文字敘述題”需要自己畫圖，寫已知、求證、證明.

12.符合“”"”條件的三角形不能判定全等.

13.幾何習題經(jīng)常用四種方法進行分析：（1）分析綜合法；（2）方程分

析法；（3）代入分析法；（4）圖形觀察法.

14.幾何基本作圖分為：（1）作線段等于已知線段；（2）作角等于已知

角；（3）作已知角的平分線；（4）過已知點作已知直線的垂線；（5）

作線段的中垂線；（6）過已知點作已知直線的平行線.

15.會用尺規(guī)完成”等腰三角形”、“等邊三角形”、

”等腰直角三角形”的作圖.

16.作圖題在分析過程中，首先要畫出草圖并標出字母，然后確