2023年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)真題卷（含答案與解析）

2023年荷澤市初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請把正確選項(xiàng)的序號涂在答題卡的相應(yīng)位置.）

1.剪紙文化是我國最古老的民間藝術(shù)之一，下列剪紙圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

AB.

2.下列運(yùn)算正確的是（）

A.ab4-a3=a2B.a2-a3-C.（2*=2/D.(〃+/?『=/+〃

3.一把直尺和一個(gè)含30°角的直角三角板按如圖方式放置，若Nl=20。,則N2=()

一

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.實(shí)數(shù)mb,c在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子正確的是（)

__________1_______1_________1_______1_____＞

a0bc

A.c（h-a）＜0B,Z?（c-6F）＜0C,a（b-c）＞0D.Q(C+/?)>()

5.如圖所示的兒何體是由5個(gè)大小相同的小正方體組成的，它的主視圖是（)

C-RJD.

11

6.一元二次方程Y+3x-l=0的兩根為王，*2，則一+一的值為（）

X[x2

33

A.B.-3C.3D.

22

7.ABC三邊長n,b,。滿足（a—??+J2/—/?—3+|c—3忘|=0,則..ABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰直角三角形

8.若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”，如：4（1,3）,3（-2,-6）,。（0,0）等都是三

倍點(diǎn)”，在—3<x<l的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)丁=一/一》+。的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，則c的取

值范圍是（）

A--<c<lB.-4<c<-3C.--<c<5D.-4<c<5

44

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分，只要求把最后結(jié)果填寫在答題卡的

相應(yīng)區(qū)域內(nèi).）

9.因式分解：m2—4m-.

10.計(jì)算：-2|+2sin600-2023°=

11.用數(shù)字0,1,2,3組成個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不同的兩位數(shù)，其中是偶數(shù)的概率為.

12.如圖，正八邊形ABCDEFGH邊長為4,以頂點(diǎn)4為圓心，A3的長為半徑畫圓，則陰影部分的面

積為（結(jié)果保留萬）.

13.如圖，點(diǎn)E是正方形A8CD內(nèi)的一點(diǎn)，將.A8E繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到VCBE.若

ZABE^55°,則N￡GC=__________度.

14.如圖，在四邊形ABC。中，NA8C=NBAD=90°,AB=5,AQ=4,A￡）<BC,點(diǎn)E在線段上運(yùn)

動，點(diǎn)F在線段AE上，/ADF=/BAE，則線段即的最小值為.

三、解答題（本題共78分，把解答或證明過程寫在答題卡的相應(yīng)區(qū)域內(nèi).）

5x—2<3（x+1）,

15.解不等式組：\3%-2x-2■

>x+

[3---------2

（3xx、x

16.先化簡，再求值：——+——---7,其中X,y滿足2x+y-3=0.

\x-yx+yjx-y

17.如圖，在YABCD中，AE平分N84D,交BC于點(diǎn)E；CF平分NBCD,交AO于點(diǎn)F.求證:

AE=CF.

18.無人機(jī)在實(shí)際生活中的應(yīng)用廣泛，如圖所示，某人利用無人機(jī)測最大樓的高度8C,無人機(jī)在空中點(diǎn)P

處，測得點(diǎn)P距地面上A點(diǎn)80米，點(diǎn)A處俯角為60。，樓頂C點(diǎn)處的俯角為30。，已知點(diǎn)A與大樓的距離

AB為70米（點(diǎn)A,B,C,P在同一平面內(nèi)），求大樓的高度BC（結(jié)果保留根號）

19.某班學(xué)生以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為載體，綜合運(yùn)用體育，數(shù)學(xué)，生物學(xué)等知識，研究體育課的運(yùn)動負(fù)荷，

在體育課基本部分運(yùn)動后，測量統(tǒng)計(jì)了部分學(xué)生的心率情況，按心率次數(shù)x(次/分鐘)分為如下五組：A

組：50<x<75,B組：75<x<l(X),C組：100Wx<125,力組：1254尤<150,E組：

150Vx<175.其中，A組數(shù)據(jù)為73,65,74,68,74,70,66,56.根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制了不完整的統(tǒng)

計(jì)圖(如圖所示)，請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題：

(1)A組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是,眾數(shù)是；在統(tǒng)計(jì)圖中8組所對應(yīng)的扇形圓心角是度；

(2)補(bǔ)全學(xué)生心率頻數(shù)分布直方圖；

(3)一般運(yùn)動的適宜行為為100Wx<150(次/分鐘)，學(xué)校共有2300名學(xué)生，請你依據(jù)此次跨學(xué)科項(xiàng)目

研究結(jié)果，估計(jì)大約有多少名學(xué)生達(dá)到適宜心率？

20.如圖，已知坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)A(0,4),3(2,0),連接AB，過點(diǎn)8作交反比例函數(shù)y=人在第

X

一象限的圖象于點(diǎn)C(a,l).

(1)求反比例函數(shù)y=K和直線oc的表達(dá)式；

x

3

(2)將直線OC向上平移二個(gè)單位，得到直線/,求直線/與反比例函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo).

2

21.某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個(gè)一面靠墻(墻足夠長)的矩形花園，用一

道籬笆把花園分為A，8兩塊(如圖所示)，花園里種滿牡丹和芍藥，學(xué)校已定購籬笆120米.

(1)設(shè)計(jì)一個(gè)使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；

(2)在花園面積最大的條件下，A,B兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，知牡丹每株售價(jià)

25元，芍藥每株售價(jià)15元，學(xué)校計(jì)劃購買費(fèi)用不超過5萬元，求最多可以購買多少株牡丹？

22.如圖，為?O直徑，C是圓上一點(diǎn)，。是8C的中點(diǎn)，弦。石SAB,垂足為點(diǎn)足

(1)求證：BC=DE；

(2)P是4￡?上一點(diǎn)，AC=6,8R=2,求tan/BPC；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)CP是/ACS的平分線時(shí)，求CP的長.

23.(1)如圖1,在矩形ABC。中，點(diǎn)E，尸分別在邊。C,BC上,AE±DF,垂足為點(diǎn)G.求證:

圖1圖2圖3

【問題解決】

(2)如圖2,在正方形ABCD中，點(diǎn)E，尸分別在邊。C,BC上,AE=O尸，延長BC到點(diǎn)H,使=

連接。求證：ZADF=/H.

【類比遷移】

(3)如圖3,在菱形A3C。中，點(diǎn)E，尸分別在邊QC，BC上，AE=DF=U<DE=8,ZAED=60°,

求的長.

24.已知拋物線y=-『+fex+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)。(0,4),其對稱軸為x=-]3.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖1,點(diǎn)。是線段OC上的一動點(diǎn)，連接AD,BD,將△ABO沿直線翻折，得到V437),

當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在拋物線的對稱軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)如圖2,動點(diǎn)P在直線AC上方的拋物線上，過點(diǎn)尸作直線AC的垂線，分別交直線AC,線段8C

于點(diǎn)E,F,過點(diǎn)F作尸G_Lx軸，垂足為G,求FG+J5EP的最大值.

參考答案

一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請把正確選項(xiàng)的序號涂在答題卡的相應(yīng)位置.）

1.剪紙文化是我國最古老的民間藝術(shù)之一，下列剪紙圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：A.既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故A符合題意；

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B不符合題意；

C.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故C不符合題意；

D.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故D不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁

的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱

中心.

2.下列運(yùn)算正確的是（）

A.a6^a3^a2B.a2-a3=a5C.（2a3）2=2?6D.（a+/?）2=?2+/?2

【答案】B

【解析】

【分析】利用同底數(shù)基的乘除法、積的乘方與幕的乘方以及完全平方公式分別判斷即可.

【詳解】解：A、故選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B、a2-a3^a5,故選項(xiàng)正確；

C、=4d,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D、（?+by-a2+2ab+b~,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，同底數(shù)幕的乘除法、積的乘方、塞的乘方以及完全平方公式,

正確掌握相關(guān)乘法公式是解題關(guān)鍵.

3.一把直尺和一個(gè)含30°角的直角三角板按如圖方式放置，若Nl=20°,則N2=()

B.40°c.50°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出N3=Nl=20。，進(jìn)而？260??340?.

【詳解】由圖知，N3=Nl=20°

.\?260??360?20?40?

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，特殊角直角三角形，由圖形的位置關(guān)系推出角之

間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子正確的是()

a0bc

A.c(b-a)<0B,b(c-a)<0c.a(b-c)>0D.a(c+b)>0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)軸可得，a<0<h<c,再根據(jù)a<0<Z?<c逐項(xiàng)判定即可.

【詳解】由數(shù)軸可知“<0<0<c,

.?.cS-a)>0,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

Ah(c-a)>Q,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

a(Z?-c)>0,故C選項(xiàng)正確;

.?.a(c+h)<0,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)a<0<8<c進(jìn)行判斷是解題關(guān)鍵.

5.如圖所示的幾何體是由5個(gè)大小相同的小正方體組成的，它的主視圖是（）

C-Fh

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)主視圖是從正面看到的圖形進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：從正面看該幾何體，有三列，第一列有2層，第二和第三列都只有一層，如圖所示：

FPn

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單幾何組合體的三視圖，熟知三視圖的定義是解題的關(guān)鍵.

11

6.一元二次方程/+3*_1=0的兩根為不當(dāng)，則一+一的值為（）

mx2

33

A.-B.—3C.3D.

22

【答案】C

【解析】

11

【分析】先求得玉+々=-3,X]X2=-\,再將不+f變形，代入王+々與X1的值求解即可?

【詳解】解：；一元二次方程/+3x-l=0的兩根為玉、4，

X]+%2=-3,尤|?工2=一]

11

------1-------

玉龍2

_X|+x2

中2

_-3

=3.

故選C.

bc

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，牢記占+々=一一，演”,=且是解決本題的關(guān)

aa

鍵.

7.一ABC三邊長“，b,c滿足（“一一）2+j2a-/一3+|c—3應(yīng)|=0，則是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、C的等式，從而分別計(jì)算得到4、氏C的值，再由a2+〃=c2的關(guān)

系，可推導(dǎo)得到—ABC為直角三角形.

【詳解】解：（“一切2+y]2a-b-3+|c-372|=0

（a-/?）2>0

又?：T2a-b-3N0

卜-3碼NO

（a-Z?）-=0

/."J2a-b-3—0,

卜-3閩=0

a—h=0

<2a—b—3=0

C-30=0

。=3

解得《b=3,

c-3^/2

a2+/?2-c1，且。=〃，

一ABC為等腰直角三角形，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)性和勾股定理逆定理的知識，求解的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的和為0,每一個(gè)非

負(fù)數(shù)均為0,和勾股定理逆定理.

8.若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”，如：4(1,3),8(-2,-6),。(0,0)等都是三

倍點(diǎn)”，在一3<x<l的范圍內(nèi)，若二次函數(shù),=一X2-》+。的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，則c的取

值范圍是()

A.--<c<lB.-4<c<-3C.--<c<5D.-4<c<5

44

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得：三倍點(diǎn)所在的直線為y=3x,根據(jù)二次函數(shù)y=-/-x+c的圖象上至少存在一個(gè)

“三倍點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為y=—/—x+c和y=3x至少有一個(gè)交點(diǎn)，求ANO,再根據(jù)x=-3和x=l時(shí)兩個(gè)函數(shù)

值大小即可求出.

【詳解】解：由題意可得：三倍點(diǎn)所在的直線為y=3x,

在一3<x<l的范圍內(nèi)，二次函數(shù)丁=一/一萬+。的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，

即在-3<x<l的范圍內(nèi)，y=-％2-x+c和y=3x至少有一個(gè)交點(diǎn)，

令3X=-X2-X+C，整理得：-x2-4x+c=0，

則△=匕2—4ac=(-4)~—4x(-l)xc=16+4cN0,解得eNT,

2

當(dāng)x=-3時(shí)，=-(-3)-(-3)+c=-12+c,y2>

A-9>-12+c,解得：c<3,

當(dāng)x=l時(shí)，y,=-1-1+c=-2+c,%=3，

3>-2+c,解得：c<5,

綜上:c的取值范圍是~4Wc<5,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分，只要求把最后結(jié)果填寫在答題卡的

相應(yīng)區(qū)域內(nèi).)

9.因式分解：m1-4m-.

【答案】m(m-4)

【解析】

【分析】直接提取公因式"7,進(jìn)而分解因式即可.

【詳解】解：

故答案為：機(jī)0-4).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵.

10.計(jì)算：|G—21+2sin60。—2023°=.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)先計(jì)算絕對值，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)累，再進(jìn)行加減計(jì)算即可.

【詳解】解：|石一2|+2sin60°-2023°

=2一6+2x咚-1

=1

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)基的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

11.用數(shù)字0,1,2,3組成個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不同的兩位數(shù)，其中是偶數(shù)的概率為.

【答案】|

【解析】

【分析】先列表得出所有的情況，再找到符合題意的情況，利用概率公式計(jì)算即可.

【詳解】解：0不能在最高位，而且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不同，

列表如下：

123

0102030

12131

21232

31323

一共有可以組成9個(gè)數(shù)字，偶數(shù)有10、12、20、30、32,

???是偶數(shù)的概率為，.

故答案為：I.

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法求概率，注意0不能在最高位.

12.如圖，正八邊形ABCOEFG”的邊長為4,以頂點(diǎn)A為圓心，A3的長為半徑畫圓，則陰影部分的面

積為（結(jié)果保留》）.

【答案】6萬

【解析】

【分析】先利用正八邊形求出圓心角的度數(shù)，再利用扇形的面積公式求解即可.

82180

【詳解】解：由題意，AHAB=（-）-.=135°,

8

AW=AB=4

故答案為：6萬.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，扇形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積5=空匚，正多邊

360

形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為（"-2）18。.

n

13.如圖，點(diǎn)E是正方形A8CQ內(nèi)的一點(diǎn)，將.A8E繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到V。卯.若

ZABE=55°,則NEGC=度.

【答案】80

【解析】

【分析】先求得NBE尸和NC8E的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：：四邊形ABC。是正方形，

ZABC=90°,

?：ZABE=55°,

：.NCBE=90°-55°=35°,

??二ABE繞點(diǎn)8按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到VCB尸

；./EBF=90。,BE=BF，

：.ZBEF=45。,

：.ZEGC=NCBE+NBEF=350+45°=80。，

故答案為：80.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)

圖形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在四邊形ABCO中，NABC=/區(qū)4。=90°,AB=5,AD=4,AD<8C,點(diǎn)E在線段上運(yùn)

動，點(diǎn)尸在線段AE上，ZADF=ZBAE，則線段的最小值為.

A-

BEC

【答案】729-2##-2+V29

【解析】

【分析】設(shè)的中點(diǎn)為0，以AO為直徑畫圓，連接。8,設(shè)。B與。的交點(diǎn)為點(diǎn)尸'，證明

ZDFA=90°,可知點(diǎn)尸在以AO為直徑的半圓上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到0B與1。的交點(diǎn)尸'時(shí)，線段

所有最小值，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為0,以AO為直徑畫圓，連接。8,設(shè)。8與。的交點(diǎn)為點(diǎn)尸'，

ZABC=ZBAD=90°,

：.AD//BC,

：.ZDAE=ZAEB,

,//ADF=/BAE，

/.NDFA=NABE=90。,

...點(diǎn)F在以AO為直徑的半圓上運(yùn)動，

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到0B與的交點(diǎn)F'時(shí)，線段BF有最小值，

?/AD=4,

：.AO=OF'=-AD^2,,

2

30=6+22=犧,

5尸的最小值為回-2，

故答案為：曬一2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，勾股定理等知識，根據(jù)題意分析得到點(diǎn)F的運(yùn)動

軌跡是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本題共78分，把解答或證明過程寫在答題卡的相應(yīng)區(qū)域內(nèi).）

5x-2<3（x+1）,

15.解不等式組：hx-2x-2-

----->%+-----

I32

2

【答案】x<-

【解析】

【分析】分別求出各個(gè)不等式的解，再取各個(gè)解集的公共部分，即可.

【詳解】解：解5x—2<3（x+l）得：x<|,

3x—2x—2.2

解-----2XH------得：X<一,

323

2

不等式組的解集為

【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組，熟練掌握解不等式組的基本步驟，是解題的關(guān)鍵.

「3xx、x

16.先化筒，再求值：------1-------j2>其中x,y滿足2x+y—3=0.

（x-yx+yjx-y

【答案】4x+2y,6

【解析】

【分析】原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，同時(shí)將除法變?yōu)槌朔ǎs分得到最簡結(jié)

果，將2x+y-3=0變形整體代入計(jì)算即可求解.

3x(x+y)x(x-y)>(x-y)(x+y)

【詳解】解：原式=-7<+~七、

7(x-y)(x+y)7(x-y)(x+y)X

3x2+3Ay+x2-xy；；(xy)(x+y)

(x-y)(x+y)%

4x2+2xy(x-y)(x+y)

(x-y)(x+y)x

=4x+2y；

由2x+y—3=0,得至!|2x+y=3,

則原式=2(2x+y)=6.

【點(diǎn)睛】此題考查分式的化簡求值，解題關(guān)鍵熟練掌握分式混合運(yùn)算的順序以及整體代入法求解.

17.如圖，在YABCD中，AE平分N84D，交于點(diǎn)E；C/平分NBCD,交于點(diǎn)F.求證:

AE=CF.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得NB=NO，AB=CD,AD//BC,由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)

得出NBAE=NDCF,可證△84E四△OCF,即可得出AE=C戶.

【詳解】證明：...四邊形ABC。是平行四邊形，

，NB=Z￡>，AB=CD,NBAD=NDCB,AD//BC，

AE平分NB4D，CF平分/BCD,

ZBAE=ZDAE=NBCF=/DCF,

在“胡石和一。。尸中，

NB=ND

<ABCD

NBAE=NDCF

.BAEDCF（ASA）

AE=CF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目已知條件

熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

18.無人機(jī)在實(shí)際生活中的應(yīng)用廣泛，如圖所示，某人利用無人機(jī)測最大樓的高度BC,無人機(jī)在空中點(diǎn)P

處，測得點(diǎn)P距地面上A點(diǎn)80米，點(diǎn)A處俯角為60。，樓頂C點(diǎn)處的俯角為30°,已知點(diǎn)A與大樓的距離

A3為70米（點(diǎn)A,B,C,尸在同一平面內(nèi)），求大樓的高度8C（結(jié)果保留根號）

【答案】大樓的高度BC為30Gm.

【解析】

【分析】如圖，過P作于“，過。作CQLPH于Q,而則四邊形CQ”8是矩形,

可得QH=BC,BH=CQ,求解尸"=AP-sin60°=80x立=40百，A//=AP?cos60°=40,可得

2

CQ=8〃=70—40=30,PQ=CQ.tan30。=106，可得BC=QH=40右一1()6=306.

【詳解】解：如圖，過P作PH_LAB于〃，過C作CQLP”于。，而CB_LAB,

口

口

呂

口

呂

口

口

口

則四邊形是矩形，

/.QH=BC,BH=CQ,

由題意可得：AP=80,NB4H=60°,NPCQ=30。，AB=70,

PH=AP.sin60°=80x3=40>/3,AH=AP.cos60°=40,

2

，CQ=5/7=70-40=30,

/.PQ=CQ.tan30°=106，

BC=QH=40^-106=30百，

???大樓的高度BC為30^m.

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解仰角與俯角的含義是解本題的

關(guān)鍵.

19.某班學(xué)生以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為載體，綜合運(yùn)用體育，數(shù)學(xué)，生物學(xué)等知識，研究體育課的運(yùn)動負(fù)荷，

在體育課基本部分運(yùn)動后，測量統(tǒng)計(jì)了部分學(xué)生的心率情況，按心率次數(shù)x（次/分鐘）分為如下五組：A

組：50Vx<75,8組：75Wx<100,C組：100〈x<125,。組：1254x<150,E組：

150<x<175.其中，A組數(shù)據(jù)為73,65,74,68,74,70,66,56.根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制了不完整的統(tǒng)

計(jì)圖（如圖所示），請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題：

（1）A組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是,眾數(shù)是；在統(tǒng)計(jì)圖中8組所對應(yīng)的扇形圓心角是度；

（2）補(bǔ)全學(xué)生心率頻數(shù)分布直方圖；

（3）一般運(yùn)動的適宜行為為100Wx<150（次/分鐘），學(xué)校共有2300名學(xué)生，請你依據(jù)此次跨學(xué)科項(xiàng)目

研究結(jié)果，估計(jì)大約有多少名學(xué)生達(dá)到適宜心率？

【答案】（1）69,74,54；

（2）見解析（3）大約有1725名學(xué)生達(dá)到適宜心率.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)概念求解，先求出總?cè)藬?shù)，然后求出B組所占的百分比，最后乘以

360°即可求出在統(tǒng)計(jì)圖中B組所對應(yīng)的扇形圓心角;

（2）根據(jù)樣本估計(jì)總體的方法求解即可.

【小問1詳解】

將4組數(shù)據(jù)從小到大排列為：56,65,66,68,70,73,74,74,

68+70

.??中位數(shù)為=69；

2

：74出現(xiàn)的次數(shù)最多,

.??眾數(shù)是74；

8+8%=l(X),

360°x—=54°

100

???在統(tǒng)計(jì)圖中B組所對應(yīng)的扇形圓心角是54°；

故答案為：69,74,54；

【小問2詳解】

100-8-15-45-2=30

；.C組的人數(shù)為30,

???補(bǔ)全學(xué)生心率頻數(shù)分布直方圖如下：

(次/分鐘)

2300x30+45=1725(人)，

100

；?大約有1725名學(xué)生達(dá)到適宜心率.

【點(diǎn)睛】本題主要考查調(diào)查與統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識，理解頻數(shù)分布直方圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖的相關(guān)信息，掌握運(yùn)用

樣本百分比估算總體數(shù)量是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，已知坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)A(0,4),3(2,0),連接A3,過點(diǎn)2作交反比例函數(shù)y=g在第

一象限的圖象于點(diǎn)C(a,l).

（1）求反比例函數(shù)＞=&和直線0C的表達(dá)式；

X

3

（2）將直線。。向上平移一個(gè)單位，得到直線/,求直線/與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).

2

41

【答案】（1）y——，y——x

x4

（2）（2,2）或\8,一；

【解析】

【分析】（1）如圖，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)。，證明cABOs_38,利用相似三角形的性質(zhì)得到

BD=2,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入＞=（可得反比例函數(shù)解析式，設(shè)OC的表達(dá)式為y=g,將點(diǎn)c（4,l）

代入即可得到直線OC的表達(dá)式；

（2）先求得直線/的解析式，聯(lián)立反比例函數(shù)的解析式即可求得交點(diǎn)坐標(biāo).

【小問1詳解】

如圖，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)力，

則CD=1,ZCDB=90°,

BCLAB,

：.ZABC=9（）°,

ZABO+ZCBD=90°,

ZCDB=9Q°,

：.ABCD+ZCBD=90°,

：.ZBCD^ZABO,

.ABO^BCD,

.OABD

??=f

OBCD

VA（O,4）,B（2,O）,

QA=4,OB=2,

.4_BD

：.BD=2,

：.OD=2+2=4,

...點(diǎn)C（4,l）,

將點(diǎn)c代入y=人中，

X

可得Z=4,

4

??y——，

x

設(shè)oc的表達(dá)式為y=g,

將點(diǎn)c（4,l）代入可得l=4m,

解得：m=—,

4

/.。。的表達(dá)式為、=!尤；

4

【小問2詳解】

13

直線/的解析式為丁=一%+—，

42

134

當(dāng)兩函數(shù)相交時(shí)，可得一%+一=一,

42x

解得玉=2,%=—8,

代入反比例函數(shù)解析式,

x=-8

=22

得《

=2,1

1X%=一/

直線/與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）或

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交

點(diǎn)問題，一次函數(shù)的平移問題，解一元二次方程等知識.

21.某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個(gè)一面靠墻（墻足夠長）的矩形花園，用一

道籬笆把花園分為A,B兩塊（如圖所示），花園里種滿牡丹和芍藥，學(xué)校已定購籬笆120米.

〃〃/（〃〃〃/〈〃〃/<〃

AB

（1）設(shè)計(jì)一個(gè)使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；

（2）在花園面積最大的條件下，A,8兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，知牡丹每株售價(jià)

25元，芍藥每株售價(jià)15元，學(xué)校計(jì)劃購買費(fèi)用不超過5萬元，求最多可以購買多少株牡丹？

【答案】（1）長為60米，寬為20米時(shí)，有最大面積，且最大面積為1200平方米

（2）最多可以購買1400株牡丹

【解析】

【分析】（1）設(shè)長為x米，面積為），平方米，則寬為另三米，可以得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，配成頂點(diǎn)

式求出函數(shù)的最大值即可；

（2）設(shè)種植牡丹的面積為。平方米，則種植芍藥的面積為（1200-。）平方米，由題意列出不等式求得種植

牡丹面積的最大值，即可解答.

【小問1詳解】

解：設(shè)長為X米，面積為y平方米，則寬為=米，

y=xx120-x=」x2+40x=」（x—60『+1200,

333V）

.,.當(dāng)x=60時(shí)，y有最大值是1200,

此時(shí)，寬為-------=20（米）

3

答：長為60米，寬為20米時(shí)，有最大面積，且最大面積為1200平方米.

【小問2詳解】

解：設(shè)種植牡丹的面積為。平方米，則種植芍藥的面積為（1200-a）平方米，

由題意可得25x2a+15x2（1200-a）<50000

解得：a<700,

即牡丹最多種植700平方米，

700x2=1400（株），

答：最多可以購買1400株牡丹.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要

的條件.

22.如圖，AB為。的直徑，C是圓上一點(diǎn)，。是的中點(diǎn)，弦DE1AB，垂足為點(diǎn)?

（1）求證：BC=DE；

（2）P是淞上一點(diǎn)，AC=6,BF=2,求tanNBPC；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)CP是/ACB的平分線時(shí)，求CP的長.

【答案】（1）證明見解析；

⑶70

【解析】

【分析】（1）由。是BC的中點(diǎn)得cr>=8￡>，由垂徑定理得8七=50，得到存C=2E，根據(jù)同圓中,

等弧對等弦即可證明；

（2）連接0。，證明.ACfis.OED,設(shè)。。的半徑為r,利用相似三角形的性質(zhì)得r=5,

BC844

AB=2r=10,由勾股定理求得5C,得到tan/C4B=一2=一=一，即可得到tanZBPC=：；

AC633

（3）過點(diǎn)B作8GJ_CP交CP于點(diǎn)G,證明^CBG是等腰直角三角形，解直角三角形得到

CG=BG=BCcos45。=4五,由tanNBPC=g得到券=g,解得GP=3企，即可求解.

【小問1詳解】

解：：。是8C的中點(diǎn)，

:.CD=BD，

:。石J.A6且A8為O的直徑,

BE=BD，

波c=DE,

BC-DE；

【小問2詳解】

解：連接0。，

:CD=BD，

:.ZCAB=ZDOB,

A3為的直徑,

NACB=90°,

,/DEJ.AB,

；.ZDFO=90。,

:二OFD>

.ACOF

??--------,

ABOD

設(shè)；。的半徑為r,

解得〃=5,經(jīng)檢驗(yàn)，〃=5是方程的根,

:.AB=2r=10，

BC=4AB2-AC2=8,

.，八*84

tanNC4rB>-B--C-——

AC63

???/BPC=/CAB,

4

tanZ.BPC--；

3

【小問3詳解】

解：如圖，過點(diǎn)B作BG_LCP交CP于點(diǎn)G,

/BGC=/BGP=90。

?；ZACB=90°,CP是ZACB的平分線,

ZACP=ZBCP=45°

：.ZCBG=45°

：?CG=BG=BCcos45°=4點(diǎn)，

4

,/tanZ.BPC=—

3

?BG4

??=f

GP3

:，GP=3垃,

，CP=4夜+30=7直?

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理及推論，解直角三角形等知識，熟

練掌握以上知識并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

23.(1)如圖1,在矩形ABCO中，點(diǎn)E，尸分別在邊。C,上，AE±DF,垂足為點(diǎn)G.求證:

/XADEs^JDCF.

圖1圖2圖3

【問題解決】

(2)如圖2,在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊。C,BC上,AE=O尸，延長BC到點(diǎn)“，使C"=。七，

連接求證：ZADF=/H.

【類比遷移】

(3)如圖3,在菱形A3CD中，點(diǎn)E，尸分別在邊QC，BC上，AE=DF=U<DE=8,ZAED=60°,

求的長.

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3

【解析】

【分析】(1)由矩形的性質(zhì)可得NAZ>E=N￡)C9=90°,則NCD尸+N0FC=90°,再由可

得NDGE=90°,則N8F+NA￡D=90°,根據(jù)等角的余角相等得NAEr)=NOFr,即可得證；

(2)利用"HL”證明_ADERDCF，可得DE=CF,由CH=DE,可得CF=CH,利用“SAS”

證明.DCF—DCH,則ZDHC=ZDFC,由正方形的性質(zhì)可得AD//BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得證；

(3)延長到點(diǎn)G,使CG=￡)E=8,連接DG,由菱形的性質(zhì)可得AO=OC,AD//BC,則

ZADE=NDCG,推出△AOEgADCG(SAS),由全等的性質(zhì)可得/DGC=NA￡D=60。，DG=AE,

進(jìn)而推出,DFG是等邊三角形,再根據(jù)線段的和差關(guān)系計(jì)算求解即可.

【詳解】(1)證明：四邊形ABCO是矩形，

;.ZADE=NDCF=90°,

ZCDF+ZDFC=90°,

AEA.DF,

:.NDGE=90°,

：.ZCDF+ZAED=9Q°,

:.ZAED=/DFC,

:.Z\ADEs/\DCF；

(2)證明：四邊形ABC。是正方形，

AD=DC,AD//BC,ZADE=ZDCF=90°,

.AE^DF，

:.^ADE^DCF(HL),

；.DE=CF,

又CH=DE,

?1.CF=CH,

點(diǎn)，在BC的延長線上，

力CH=NDCF=驕,

DC=DC,

DCFADCH(SAS),

：.ZH=ZDFC,

AD//BC，

:.ZADF=NDFC=/H；

(3)解：如圖，延長8c到點(diǎn)G,使CG=O￡=8,連接。G,

四邊形ABCQ是菱形，

AD=DC,AD//BC,

:.ZADE=/DCG,

ADE竺DCG(SAS),

:.ZDGC=ZAED=60°,DG=AE,

,AE=DF，

：.DG=DF,

。回G是等邊三角形，

：.FG=FC+CG=DF=\\,

.?.FC=ll-CG=ll-8=3.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性