高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列單元綜合檢測(cè)（五）理試題

單元綜合檢測(cè)(五)一、選擇題(每小題5分,共55分)1.(2016·江西師范大學(xué)附中、臨川一中聯(lián)考)已知{an}是等差數(shù)列,a10=10,其前10項(xiàng)和S10=70,則其公差d為 ()A.- B.- C. D.1.D【解析】a10=a1+9d=10,S10=10a1+d=10a1+45d=70,解得d=.2.(2016·安徽皖江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2,且數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=,則a2018為 ()A.2 B.- C. D.-32.C【解析】∵a1=2,an+1=,∴a2=,∴a3=-,∴a4=-3,∴a5=2,∴數(shù)列{an}的周期4,∴a2018=a2=.3.(2016·福建泉州五校聯(lián)考)已知{an}為等差數(shù)列,a2+a8=,則S9等于 ()A.6 B.5 C.4 D.73.A【解析】S9==6.4.(2016·山西大學(xué)附中月考)已知等比數(shù)列{an}中,各項(xiàng)都是正數(shù),且a1,a3,2a2,成等差數(shù)列,則= ()A.1+ B.1- C.3+2 D.3-24.C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則a3=a1q2,a2=a1q,又因?yàn)閍1,a3,2a2成等差數(shù)列,所以a3=a1+2a2,即a1q2=a1+2a1q,q2=1+2q,解得q=1+或q=1-,又因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),所以q=1+,則=q2=3+2.5.(2016·河南八市重點(diǎn)高中聯(lián)考)在公差不為零的等差數(shù)列{an}中,Sn是其前n項(xiàng)和,若S17=S10,a2+ak=0(k∈N*),則k的值為 ()A.9 B.17 C.26 D.20165.C【解析】由S17=S10得a11+a12+a13+a14+a15+a16+a17=0,從而a14=0又a2+a26=2a14=0,所以k=26.6.(2016·安徽蚌埠二中月考)已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1>0,8a5=13a11,則前n項(xiàng)和Sn取最大值時(shí),n的值為 ()A.19 B.20 C.22 D.236.B【解析】由8a5=13a11得8(a1+4d)=13(a1+10d)?a1=-d,因?yàn)閍1>0,所以d<0,所以an=a1+(n-1)d=-d+(n-1)d=d,由d<0可知令an>0?n-<0?n≤20.7.(2016·廣東百校聯(lián)考)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問(wèn)日織幾何?”意思是:“一女子善于織布,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問(wèn)這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上題的已知條件,可求得該女子第3天所織布的尺數(shù)為 ()A. B. C. D.7.A【解析】設(shè)該女子第一天織布x尺,則由題可得=5,解得x=,第三天所織布的尺數(shù)為×22=.8.設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則下列命題錯(cuò)誤的是 ()A.若d<0,則數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng)B.若數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng),則d<0C.若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列,則對(duì)任意n∈N*,均有Sn>0D.若對(duì)任意n∈N*,均有Sn>0,則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列8.C【解析】因?yàn)镾n=na1+n(n-1)d=n2+n,所以Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),當(dāng)d<0時(shí),Sn有最大值,即數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng),故A項(xiàng)命題正確;若{Sn}有最大項(xiàng),即對(duì)于n∈N*,Sn有最大值,故二次函數(shù)圖象的開(kāi)口要向下,即d<0,故B項(xiàng)命題正確;而若a1<0,d>0,則數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列,此時(shí)S1<0,故C項(xiàng)命題錯(cuò)誤;若對(duì)于任意的n∈N*,均有Sn>0,則a1=S1>0,且n+a1->0對(duì)于n∈N*恒成立,∴>0,即D項(xiàng)命題正確.故選C項(xiàng).9.(2016·福建龍巖上杭一中期中考試)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2an(n≥2),a1=1,則an= ()A. B. C. D.9.B【解析】∵Sn=n2an,當(dāng)n>1時(shí),Sn-1=(n-1)2an-1,∴an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1,(n2-1)an=(n-1)2an-1.即,∴an=a1·…·=1×.10.等比數(shù)列{an}中,a1=2,a8=4,函數(shù)f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),則f'(0)= ()A.26 B.29 C.212 D.21510.C【解析】由f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)得f'(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]',因此f'(0)=a1a2…a8=(a1a8)4=84=212.11.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=2+sinx,且f(0)=-1,數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列,若f(a2)+f(a3)+f(a4)=3π,則= ()A.2016 B.2015 C.2014 D.201311.B【解析】根據(jù)題意可知,f(x)=2x-cosx+c,根據(jù)f(0)=-1可知c=0,從而有f(x)=2x-cosx,結(jié)合題意可知2a2-cosa2+2a3-cosa3+2a4-cosa4=3π,即2(a2+a3+a4)-(cosa2+cosa3+cosa4)=3π,所以有cosa2+cosa3+cosa4=0,即2(a2+a3+a4)=3π,得a3=,a2=,a4=,所以a2016=a2+2014×=2015×,所以有=2015.二、填空題(每小題5分,共20分)12.(2016·蘭州一中月考)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1+a2+a3=3,a5+a6+a7=9,則a4=.

12.2【解析】由a1+a2+a3=3得3a2=3,a2=1,由a5+a6+a7=9得3a6=9,a6=3,又a2+a6=2a4,故a4=2.13.(2016·華中師大附中期中考試)若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1·a2·a3…an=n2+3n+2,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.

13.an=【解析】由題a1·a2·a3…an=n2+3n+2=(n+1)(n+2),∴a1·a2·a3…an-1=n(n+1),∴an=(n≥2),∵a1=6,∴an=14.(2016·廣西柳州鐵路一中月考)設(shè){an}是等比數(shù)列,公比q=,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.Tn=,n∈N*.設(shè)為數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng),則n0=.

14.4【解析】Tn===,因?yàn)?)n+≥8,當(dāng)且僅當(dāng)()n=4,即n=4時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)n0=4時(shí)Tn有最大值.15.(2016·安徽皖江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知數(shù)列{an}中,滿(mǎn)足anan+1=2Sn(n∈N*),其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和,且a1=1,則2×a1+22×a2+…+22016×a2016=.

15.2015×22017+2【解析】anan+1=2Sn,an+1an+2=2Sn+1,an+1an+2-anan+1=2Sn+1-2Sn=2an+1,an+2-an=2,a1=1,a3=3,a5=5,…,a2k-1=2k-1;a2=2,a4=4,…,a2k=2k.∴an=n;令Tn=2×a1+22×a2+…2n×an,2Tn=22×a1+23×a2+…+2n+1×an,相減可得Tn=(n-1)×2n+1+2,∴T2016=2015×22017+2.三、解答題(共45分)16.(10分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公差d=2,S10=120.(1)求an;(2)若bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n.16.【解析】(1)∵Sn=na1+d,d=2,S10=120,∴10a1+×2=120,即a1=3.∴an=a1+(n-1)d=2n+1.(2)∵bn=),∴Tn=)+)+…+)+).即Tn=-1).17.(11分)(2015·湖北黃岡中學(xué)模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿(mǎn)足Sn=an+1-n·2n+3-4,n∈N*,且a1,S2,2a3+4成等比數(shù)列.(1)求a1,a2,a3的值;(2)設(shè)bn=,n∈N*,求{an}的通項(xiàng)公式.17.【解析】(1)由條件知解得a1=4,a2=24,a3=96.(2)由Sn=an+1-n·2n+3-4得Sn-1=an-(n-1)2n+2-4(n≥2),兩式相減得an+1=2an+(n+1)2n+2,兩邊同時(shí)除以2n+1得=2(n+1),則bn+1-bn=2(n+1).當(dāng)n≥2時(shí),bn=b1+b2-b1+…bn-bn-1=2(1+2+…n)=n(1+n);當(dāng)n=1時(shí),b1=2滿(mǎn)足上式,所以bn=n(n+1),從而an=2n·n(n+1).18.(12分)(2015·西北師大附中三診)在等差數(shù)列{an}中,a1=3,其前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù),b1=1,公比為q,且b2+S2=12,q=.(1)求an與bn;(2)求+…+的取值范圍.18.【解析】(1)設(shè){an}的公差為d,∵b2+S2=12,q=,∴解得q=3或q=-4(舍),d=3.故an=3n,bn=3n-1.(2)Sn=,∴.∴+…+1-+…+=.∵n≥1,∴0<≤1-<1,∴,即+…+.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=(k,b∈N*),滿(mǎn)足f(2)=2,f(3)>2.(1)求k,b的值;(2)若各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且有4Sn·f=-1,設(shè)bn=,求數(shù)列{n·bn}的前n項(xiàng)和Tn;(3)在(2)的條件下,證明:ln(1+bn)<bn.19.【解析】(1)由由①代入②可得k<,且k∈N*.當(dāng)k=2時(shí),b=2(成立),當(dāng)k=1時(shí),b=0(舍去).所以k=2,b=2.(2)4Sn·f=4Sn·=-1,即2Sn=+an,③n≥2時(shí),2Sn-1=+an-1, ④所以,當(dāng)n≥2時(shí),由③-④可得2an=()+(an-an-1),整理得(an+an-1)(an-an-1-1)=0.又因?yàn)閍2>0得an-an-1=1,且a1=1,所以{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,即an=n,bn=2n.所以nbn=n·2n.Tn=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n,2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2