高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 第3講 幾何概型練習(xí) 理 試題

【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】（全國通用）2017版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布第3講幾何概型練習(xí)理新人教A版基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：35分鐘)一、選擇題1.在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，cosx的值介于0到eq\f(1,2)之間的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,π) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析若cosx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，利用三角函數(shù)性質(zhì)解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)是等可能的，結(jié)合幾何概型的概率公式可得所求概率為P＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3))),\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))))＝eq\f(1,3).答案A2.(2016·東北三省三校聯(lián)考)實(shí)數(shù)m是[0，6]上的隨機(jī)數(shù)，則關(guān)于x的方程x2－mx＋4＝0有實(shí)根的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析方程x2－mx＋4＝0有實(shí)根，則Δ＝m2－4×4≥0，∴m≥4或m≤－4，又m∈[0，6]，∴4≤m≤6，∴關(guān)于x的方程x2－mx＋4＝0有實(shí)根的概率為eq\f(6－4,6－0)＝eq\f(1,3).故選B.答案B3.在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析設(shè)AC＝xcm，0＜x＜12，則CB＝(12－x)cm，要使矩形面積大于20cm2，只要x(12－x)＞20，則x2－12x＋20＜0，解得2＜x＜10，所求概率為P＝eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).答案C4.若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,8)解析設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，則P(A)＝eq\f(陰影面積,長方形面積)＝eq\f(\f(1,2)π×12,1×2)＝eq\f(π,4).答案B5.(2016·武漢部分學(xué)校質(zhì)檢)如圖，大正方形的面積是34，四個(gè)全等直角三角形圍成一個(gè)小正方形，直角三角形的較短邊長為3，向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運(yùn)小花朵，則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,17) B.eq\f(2,17) C.eq\f(3,17) D.eq\f(4,17)解析∵大正方形的面積是34，∴大正方形的邊長是eq\r(34)，由直角三角形的較短邊長為3，得四個(gè)全等直角三角形的直角邊分別是5和3，則小正方形邊長為2，面積為4，∴小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為P＝eq\f(4,34)＝eq\f(2,17).故選B.答案B二、填空題6.如圖，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為________.解析設(shè)陰影部分的面積為S，由題意知eq\f(S,S正方形)＝eq\f(180,1000)，解得S＝0.18.答案0.187.在區(qū)間[－2，4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________.解析由|x|≤m，得－m≤x≤m.當(dāng)m≤2時(shí)，由題意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去.當(dāng)2＜m＜4時(shí)，由題意得eq\f(m－（－2）,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.即m的值為3.答案38.在區(qū)間[1，5]和[2，4]上分別各取一個(gè)數(shù)，記為m和n，則方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率是________.解析∵方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，∴m>n.如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)Q(m，n)，點(diǎn)Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線m＝n恰好將矩形平分，∴所求的概率為P＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)9.如圖，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為________.解析∵y＝ex與y＝lnx互為反函數(shù)，故直線y＝x兩側(cè)的陰影部分面積相等，只需計(jì)算其中一部分即可.如圖，S1＝eq\i\in(0,1,)exdx＝exeq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\s\up12(1)0＝e1－e0＝e－1.∴S總陰影＝2S陰影＝2(e×1－S1)＝2[e－(e－1)]＝2，故所求概率為P＝eq\f(2,e2).答案eq\f(2,e2)三、解答題10.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個(gè)數(shù)，求方程有實(shí)根的概率.解設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”.當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b.試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根據(jù)條件畫出構(gòu)成的區(qū)域(略)，可得所求的概率為P(A)＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.(2016·遼寧五校聯(lián)考)設(shè)k是一個(gè)正整數(shù)，已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,k)))eq\s\up12(k)的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為eq\f(1,16)，函數(shù)y＝x2與y＝kx的圖象所圍成的區(qū)域如圖中陰影部分所示，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，則點(diǎn)(x，y)恰好落在陰影部分內(nèi)的概率為()A.eq\f(17,96) B.eq\f(5,32) C.eq\f(1,6) D.eq\f(7,48)解析由題意得Ceq\o\al(3,k)eq\f(1,k3)＝eq\f(1,16)，解得k＝4.陰影部分的面積S1＝eq\i\in(0,4,)(4x－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x2－\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3))))eq\s\up12(4)0＝eq\f(32,3)，∵任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，∴以x、y為橫、縱坐標(biāo)的所有可能的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積S2＝4×16＝64，所以所求概率P＝eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,6)，故選C.答案C12.如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓.在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A.eq\f(1,2)－eq\f(1,π) B.eq\f(1,π)C.1－eq\f(2,π) D.eq\f(2,π)解析如圖，設(shè)OA＝2，S扇形AOB＝π，S△OCD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S扇形OCD＝eq\f(π,4)，∴在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1＝eq\f(π,2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)))＝1，所有陰影面積為π－2.故所求概率P＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π).答案C13.張先生訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人在早上6：30～7：30之間把報(bào)紙送到他家，張先生離開家去上班的時(shí)間在早上7：00～8：00之間，則張先生在離開家之前能得到報(bào)紙的概率是________.解析以橫坐標(biāo)x表示報(bào)紙送到時(shí)間，以縱坐標(biāo)y表示張先生離家時(shí)間，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)殡S機(jī)試驗(yàn)落在正方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題意只要點(diǎn)落到陰影部分，就表示張先生在離開家前能得到報(bào)紙，即所求事件A發(fā)生，所以P(A)＝eq\f(1×1－\f(1,2)×\f(1,2)×\f(1,2),1×1)＝eq\f(7,8).答案eq\f(7,8)14.已知向量a＝(－2，1)，b＝(x，y).(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足a·b＝－1的概率；(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1，6]上取值，求滿足a·b<0的概率.解(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6×6＝36(個(gè))；由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，所以滿足a·b＝－1的基本事件為(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3個(gè)；故滿