專(zhuān)題2.3三角形與多邊形有關(guān)角的計(jì)算與證明大題專(zhuān)練（分層培優(yōu)30題七下蘇科）-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】（解析版）

2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專(zhuān)題2.3三角形與多邊形有關(guān)角的計(jì)算與證明大題專(zhuān)練（分層培優(yōu)30題，七下蘇科）A卷基礎(chǔ)過(guò)關(guān)卷（限時(shí)50分鐘，每題10分，滿(mǎn)分100分）1．（2022春?漣水縣校級(jí)月考）如圖，賈玲從點(diǎn)A出發(fā)，前進(jìn)5米后向右轉(zhuǎn)20°，再前進(jìn)5米后又向右轉(zhuǎn)20°，這樣一直下去，直到她第一次回到出發(fā)點(diǎn)A為止，她所走的路徑構(gòu)成了一個(gè)多邊形．（1）賈玲一共走了多少米？（2）求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和．【分析】（1）第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)正好構(gòu)成一個(gè)外角是20度的正多邊形，求得邊數(shù)，即可求解；（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)正好構(gòu)成一個(gè)外角是20度的正多邊形，∴360÷20＝18，18×5＝90（米）．答：賈玲一共走了90米；（2）根據(jù)題意，得（18﹣2）×180°＝2880°，答：這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是2880°．2．（2022春?天寧區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖三角形ABC，點(diǎn)D是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD，CD．試探究∠BDC與∠A、∠1、∠2之間的關(guān)系并說(shuō)明理由．【分析】由三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得到∠BDC＝∠1+∠BED，∠BED＝∠A+∠2，于是可以得到結(jié)論．【解答】解：∠BDC＝∠1+∠2+∠A，理由如下：延長(zhǎng)CD交AB于E，∵∠BDC＝∠1+∠BED，∠BED＝∠A+∠2，∴∠BDC＝∠1+∠2+∠A．3．（2022春?盱眙縣期中）將正六邊形與正五邊形按如圖所示方式擺放，公共頂點(diǎn)為O，且正六邊形的邊AB與正五邊形的邊DE在同一條直線(xiàn)上．（1）請(qǐng)求出∠ABO度數(shù)；（2）請(qǐng)求出∠BOE的度數(shù)．【分析】（1）求出正六邊形的內(nèi)角度數(shù)，即可；（2）由三角形內(nèi)角和定理，即可計(jì)算．【解答】解：（1）∵∠ABO是正六邊形的一個(gè)內(nèi)角，∴∠ABO＝180°﹣360°÷6＝120°；（2）∵∠OEB是正五邊形的一個(gè)外角，∴∠OEB＝360°÷5＝72°，∵∠OBE＝180°﹣∠ABO＝60°，∴∠BOE＝180°﹣∠OBE﹣∠OEB＝48°．4．（2022春?相城區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，E是AB上一點(diǎn)，過(guò)D作DE∥BC交AB于E點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，連接DF．若∠AED＝∠1．（1）求證：AB∥DF．（2）若∠1＝52°，DF平分∠CDE，求∠C的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)DE//BC，得出∠AED＝∠B，又因?yàn)椤?＝∠AED，等量代換得∠B＝∠1，最后根據(jù)同位角相等，兩直線(xiàn)平行即可證明；（2）根據(jù)DE//BC，得出∠EDF＝∠1＝52°，再根據(jù)DF平分∠CDE，得出∠CDF＝∠EDF＝52°，最后在△CDF中利用三角形內(nèi)角和等于180°即可求解．【解答】（1）證明：∵DE//BC，∴∠AED＝∠B，又∵∠1＝∠AED，∴∠B＝∠1，∴AB//DF；（2）解：∵DE//BC，∴∠EDF＝∠1＝52°，∵DF平分∠CDE，∴∠CDF＝∠EDF＝52°，在△CDF中，∵∠C+∠1+∠CDF＝180°，∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝180°﹣52°﹣52°＝76°．答：∠C的度數(shù)為76°．5．（2022秋?啟東市校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°．（1）求∠AFB的度數(shù)；（2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度數(shù)．【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)即可得出答案；（2）利用三角形外角的性質(zhì)得3∠ABF＝93°，從而得出答案．【解答】解：（1）∵∠AEB＝∠C+∠CAE，∠C＝42°，∠CAE＝18°，∴∠AEB＝60°，∵∠CBD＝27°，∴∠BFE＝180°﹣27°﹣60°＝93°，∴∠AFB＝180°﹣∠BFE＝87°；（2）∵∠BAF＝2∠ABF，∠BFE＝93°，∴3∠ABF＝93°，∴∠ABF＝31°，∴∠BAF＝62°．6．（2021春?宜興市月考）一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)外角都等于和它相鄰的內(nèi)角的一半．（1）求這個(gè)多邊形是幾邊形；（2）求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和．【分析】（1）設(shè)內(nèi)角為x，根據(jù)多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系列出方程，解方程求出x（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）設(shè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為x，則每一個(gè)外角為x，由題意得，x+x＝180°，解得，x＝120°，x＝60°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為：＝6，答：這個(gè)多邊形是六邊形；（2）由（1）知，該多邊形是六邊形，∴內(nèi)角和＝（6﹣2）×180°＝720°，答：這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720°．7．（2022春?高淳區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知：AD平分∠BAC，點(diǎn)F是AD反向延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝65°．求：∠B和∠F的度數(shù)．【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的定義以及三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝40°，∴∠DAC＝40°，∵∠C＝65°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣65°＝35°，∴∠EDF＝∠B+∠1＝35°+40°＝75°，∵EF⊥BC，∴在Rt△EDF中，∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣75°＝15°．8．（2022春?邗江區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，連接BD，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)F在DC邊上，且∠1＝∠2．（1）求證：EF∥BD；（2）若DB平分∠ABC，∠A＝130°，∠C＝70°，求∠CFE的度數(shù)．【分析】（1）由AD∥BC知∠1＝∠3，結(jié)合∠1＝∠2得∠3＝∠2，據(jù)此即可得證；（2）由AD∥BC、∠A＝130°知∠ABC＝50°，再根據(jù)平分線(xiàn)定義及BD∥EF知∠3＝∠2＝25°，由三角形的內(nèi)角和定理可得答案．【解答】解：（1）如圖，∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠3（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠2（等量代換）．∴EF∥BD（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）．（2）解：∵AD∥BC（已知），∴∠ABC+∠A＝180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．∵∠A＝130°（已知），∴∠ABC＝50°．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠3＝∠ABC＝25°．∴∠2＝∠3＝25°．∵在△CFE中，∠CFE+∠2+∠C＝180°（三角形內(nèi)角和定理），∠C＝70°，∴∠CFE＝85°．9．（2021春?玄武區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°，F(xiàn)、H是BC上的點(diǎn)，F(xiàn)G⊥AC，HD⊥AC，垂足分別為G、D，在AB上取一點(diǎn)E，使∠BED+∠B＝180°，求四邊形BEDH各內(nèi)角的度數(shù)．【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的判定得出DH∥FG，DE∥BC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠CFG＝∠DHC，∠DHC＝∠HDE，即可求出答案．【解答】解：∵∠BED+∠B＝180°，∴CB∥DE，∵∠C＝60°，∴∠ADE＝60°，∵∠A＝80°，∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∵HD⊥AC，∴∠HDA＝90°，∴∠HDE＝∠HDA﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∵CB∥DE，∴∠DHB＝180°﹣∠HDE＝180°﹣30°＝150°，∵∠DEB是△ADE的外角，∴∠DEB＝∠A+∠ADE＝80°+60°＝140°，∴∠B＝180°﹣∠DEB＝180°﹣140°＝40°．綜上，四邊形BEDH各內(nèi)角度數(shù)為：∠B＝40°，∠BED＝140°，∠HDE＝30°，∠DHB＝150°．10．（2022春?東?？h校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，連接BD，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)F在DC邊上，且∠1＝∠2．（1）求證：EF∥BD；（2）若DB平分∠ABC，∠A＝130°，求∠2的度數(shù)．【分析】（1）由AD∥BC知∠1＝∠3，結(jié)合∠1＝∠2得∠3＝∠2，據(jù)此即可得證；（2）由AD∥BC、∠A＝130°知∠ABC＝50°，再根據(jù)平分線(xiàn)定義及BD∥EF知∠3＝∠2＝25°，由三角形的內(nèi)角和定理可得答案．【解答】（1）證明：如圖，∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠3（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠2（等量代換）．∴EF∥BD（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）．（2）解：∵AD∥BC（已知），∴∠ABC+∠A＝180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．∵∠A＝130°（已知），∴∠ABC＝50°．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠3＝∠ABC＝25°．∴∠2＝∠3＝25°．B卷能力提升卷（限時(shí)60分鐘，每題10分，滿(mǎn)分100分）11．（2022春?盱眙縣期中）如圖，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．（1）AB與CD有怎樣的位置關(guān)系？為什么？（2）若∠C＝50°，求∠CEA的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得出∠BAE＝∠CAE，求出∠BAE＝∠CEA，再根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理得出即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠CAE+∠CEA＝180°﹣∠C＝130°，再求出答案即可．【解答】解：（1）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE＝∠CEA，∴∠BAE＝∠CEA，∴AB∥CD；（2）∵∠C＝50°，∴∠CAE+∠CEA＝180°﹣∠C＝130°，∵∠CAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠CAE＝×130°＝65°．12．（2022春?吳江區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知CD是△ABC的角平分線(xiàn)，∠CDE＝∠DCE．（1）求證：DE∥BC；（2）若CD⊥AB，∠A＝28°，求∠CED的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠BCD＝∠ECD，等量代換得到∠EDC＝∠BCD，根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理得到DE∥BC；（2）根據(jù)垂直的定義得到∠ADC＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵CD是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠BCD＝∠ECD，∵∠CDE＝∠DCE，∴∠EDC＝∠BCD，∴DE∥BC；（2）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝28°，∴∠ACD＝62°，∴∠EDC＝∠ACD＝62°，∴∠CED＝180°﹣∠EDC﹣∠ECD＝56°．13．（2022春?鎮(zhèn)江期末）如圖，AD為△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，連接BE交AD于點(diǎn)G，連接EF，∠1＝∠2．（1）求證：∠BEF與∠AGB互補(bǔ)；（2）若∠C＝75°，EF⊥BC，求∠ABC的度數(shù)．【分析】（1）先利用角平分線(xiàn)的定義得到∠DAC＝∠1，則∠DAC＝∠2，于是可判斷AD∥EF，接著根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)∠BEF+∠DGE＝180°，然后利用對(duì)頂角相等得到結(jié)論；（2）先利用互余計(jì)算出∠2＝15°，則∠1＝15°，所以∠BAC＝30°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算∠ABC的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵AD為△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠DAC＝∠1，又∵∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠2，∴AD∥EF，∴∠BEF+∠DGE＝180°又∵∠AGB＝∠DGE，∴∠AGB+∠BEF＝180°，即∠BEF與∠AGB互補(bǔ)；（2）解：∵∠C＝75°，EF⊥BC，∴∠2＝90°﹣75°＝15°，∴∠1＝15°，∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣30°﹣75°＝75°．14．（2022春?高郵市期末）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G在△ABC的邊上，且BF∥DE，∠1+∠2＝180°．（1）求證：GF∥BC；（2）若BF平分∠ABC，∠2＝138°，求∠AGF的度數(shù)．【分析】（1）由平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠2+∠3＝180°，再根據(jù)補(bǔ)角性質(zhì)得∠1＝∠3，便可由平行線(xiàn)的判定得結(jié)果；（2）先由平行線(xiàn)的性質(zhì)求得∠3＝42°，再由平分線(xiàn)的定義求得∠ABC，再由平行線(xiàn)的性質(zhì)求得結(jié)果．【解答】（1）證明：∵BF∥DE，∴∠2+∠3＝180°，∵∠1+∠2＝180°．∴∠1＝∠3，∴GF∥BC；（2）解：∵∠2+∠3＝180°，∠2＝138°，∴∠3＝42°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠3＝84°，∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝84°．15．（2022春?盱眙縣期末）如圖，AD、BE分別是△ABC的高和角平分線(xiàn)，∠BAD＝26°，∠C＝30°，求∠AEB的度數(shù)．【分析】先利用互余計(jì)算出∠ABD＝64°，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠CBE＝32°，然后利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算∠AEB的度數(shù)．【解答】解：∵AD為高，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣26°＝64°，∵BE為角平分線(xiàn)，∴∠CBE＝∠ABD＝32°，∴∠AEB＝∠C+∠CBE＝30°+32°＝62°．16．（2022秋?海陵區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，BE是AC邊上的高，垂足為E，設(shè)∠BAC＝α．（1）探究與發(fā)現(xiàn)①如圖1，若α＝30°，則∠C的度數(shù)為75°°，∠DBE的度數(shù)為22.5°°；②試探究∠DBE與α的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）拓展與思考如圖2，∠BDC的平分線(xiàn)DF交BC于點(diǎn)F．當(dāng)DF∥AB時(shí)，求∠DBE的度數(shù)．【分析】（1）①利用三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠C＝75°，從而利用角平分線(xiàn)的定義可得∠ABD＝37.5°，進(jìn)而利用三角形外角的性質(zhì)可得∠BDE＝67.5°，然后根據(jù)垂直定義可得∠BED＝90°，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行計(jì)算即可解答；②利用三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠C＝90°﹣α，再利用角平分線(xiàn)的定義可得∠ABD＝45°﹣α，然后利用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得：∠ABD＝45°﹣α，∠BDC＝45°+α，再利用角平分線(xiàn)的定義可得∠BDF＝22.5°+α，然后利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠ABD＝∠BDF，從而列出關(guān)于α的方程，進(jìn)行計(jì)算可得α＝36°，進(jìn)而可得∠BDC＝72°，最后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）①∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣30°）＝75°，∵BD是∠ABC的平分線(xiàn)，∴∠ABD＝∠ABC＝37.5°，∴∠BDE＝∠A+∠ABD＝67.5°，∵BE⊥AC，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝12.5°，∴∠C的度數(shù)為75°，∠DBE的度數(shù)為12.5°，故答案為：75°，22.5°；②∠BDC與α的數(shù)量關(guān)系為：∠BDC＝45°+α，理由：∵∠BAC＝α°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∵BD是∠ABC的平分線(xiàn)，∴∠ABD＝∠ABC＝45°﹣α，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+α，∴∠BDC與α的數(shù)量關(guān)系為：∠BDC＝45°+α；（2）由（1）可得：∠ABD＝45°﹣α，∠BDC＝45°+α，∵DF平分∠BDC，∴∠BDF＝∠BDC＝22.5°+α，∵AB∥DF，∴∠ABD＝∠BDF，∴45°﹣α＝22.5°+α，∴α＝36°，∴∠BDC＝45°+α＝72°，∵BE⊥AC，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＝90°﹣∠BDC＝18°，∴∠DBE的度數(shù)為18°．17．（2022春?海安市期末）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線(xiàn)AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交直線(xiàn)CD于點(diǎn)F，∠BEF的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)與射線(xiàn)CD交于點(diǎn)G．（1）如圖1，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上運(yùn)動(dòng)．①若∠B＝60°，∠ACB＝30°，則∠EGC＝45°；②若∠A＝80°，求∠EGC的度數(shù)；（2）若點(diǎn)E在射線(xiàn)DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究∠EGC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出答案．【分析】（1）①根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義以及三角形的內(nèi)角和定理，得出∠EGC＝∠B+∠ACB，代入進(jìn)行計(jì)算即可；②由①的方法得出∠EGC＝∠B+∠ACB，進(jìn)而得出∠EGC＝（180°﹣∠A），代入計(jì)算即可；（2）分類(lèi)討論進(jìn)行解答，畫(huà)出相應(yīng)位置的圖形，根據(jù)（1）中的結(jié)論和平角的定義，可得當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上時(shí)，有∠EGC＝90°﹣∠A成立；當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段DB上或DB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，有∠EGC＝∠A或∠EGC＝90°+∠A．成立．【解答】解：（1）①∵EF∥BC，∴∠B＝∠FEB，∠EFD＝∠BCD，∵CF是∠ACB的平分線(xiàn)，EG是∠FED的平分線(xiàn)，∴∠FEG＝∠DEG＝∠FED＝∠B，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝∠EFD，又∵∠EGC＝∠FEG+∠EFG，∴∠EGC＝∠B+∠ACB＝×60°+×30°＝45°，故答案為：45；②由①得，∠EGC＝∠B+∠ACB＝（∠B+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A＝90°﹣×80°＝50°；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段DB上時(shí)，如圖（2），∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠EFG＝∠BCD＝∠ACB，∵GH平分∠BEF，∴∠BEH＝∠HEF，∴∠EGC＝∠HEF﹣∠EFG＝﹣∠ACB＝90°﹣∠AEF﹣∠ACB＝90°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣（180°﹣∠A）＝∠A；當(dāng)點(diǎn)E在射線(xiàn)DB上時(shí)，如圖（3）由（1）得，∠EGD＝90°﹣∠A，∴∠EGC＝180°﹣∠EGD＝180°﹣90°+∠A＝90°+∠A；綜上所述，∠EGC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為：∠EGC＝∠A或∠EGC＝90°+∠A．答：若點(diǎn)E在射線(xiàn)DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠EGC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為：∠EGC＝∠A或∠EGC＝90°+∠A．18．（2022春?玄武區(qū)期末）在△ABC中，AF平分∠BAC，CD⊥AF，垂足為F，與AB交于點(diǎn)D．（1）如圖①，若∠BAC＝80°，∠B＝40°，則∠BCD的度數(shù)為10°；（2）如圖②，在△ABC內(nèi)部作∠ACE＝∠B，求證：∠BCD＝∠DCE．【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，垂直的定義可求∠ACD，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°可求∠ACB，進(jìn)一步根據(jù)角的和差關(guān)系求出∠BCD的度數(shù)；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，垂直的定義可求∠ADC＝∠ACD，再根據(jù)等量關(guān)系即可求解．【解答】（1）解：∵AF平分∠BAC，∠BAC＝80°，∴∠FAC＝40°，∵CD⊥AF，∴∠AFC＝90°，∴∠ACF＝50°，∵∠B＝40°，∴∠ACB＝180°﹣80°﹣40°＝60°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°．故答案為：10；（2）證明：∵AF平分∠BAC，∴∠DAF＝∠CAF．∵CD⊥AF，∴∠AFD＝∠AFC＝90°．在△AFD中，∠DAF+∠ADC＝90°，∴在△AFC中，∠CAF+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝∠ACD．又∵∠ADC是△BCD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BCD，又∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE，∴∠B+∠BCD＝∠ACE+∠DCE．又∵∠ACE＝∠B，∴∠BCD＝∠DCE．19．（2022春?興化市期中）如圖，∠AOB＝n°，C、D兩點(diǎn)分別是邊OA、OB上的定點(diǎn)，∠ACE＝∠ACD，∠FDO＝∠CDO，射線(xiàn)CE的反向延長(zhǎng)線(xiàn)與射線(xiàn)DF相交于點(diǎn)F．（1）若n＝60，∠CDO＝75°，求∠F的度數(shù)；（2）若n＝75，則∠F＝50°．（3）隨著n的變化，∠AOB與∠F數(shù)量關(guān)系會(huì)發(fā)生變化嗎？如不變，請(qǐng)求出∠AOB與∠F的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）首先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠OCD＝45°，接著利用鄰補(bǔ)角的定義求出∠ACD＝135°，最后利用已知條件和三角形內(nèi)角和定理即可求出∠F；（2）利用和（1）的思路即可解決問(wèn)題；（3）不會(huì)發(fā)生變化．設(shè)∠AOB＝x，∠CDO＝y(tǒng)，首先利用三角形內(nèi)角和定理得到∠OCD＝180°﹣x﹣y，然后利用鄰補(bǔ)角定義得到∠ACD＝x+y，最后利用已知條件和三角形內(nèi)角和定理即可得到∠F＝x＝∠AOB．【解答】解：（1）在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，又∵∠AOB＝60°，∠CDO＝75°，∴∠OCD＝45°，∵∠OCD+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝135°，∵∠ACE＝∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD＝90°，∵∠ECD+∠FCD＝180°，∴∠FCD＝90°，∵∠FDO＝∠CDO，∴∠CDF＝∠CDO＝50°，∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，∴∠F＝40°；（2）若n＝75°，則∠F＝50°；∵在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，又∵∠AOB＝75°，∠CDO＝x，∴∠OCD＝105°﹣x，∵∠OCD+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝75°+x，∵∠ACE＝∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD＝（75°+x）＝50°+x，∵∠ECD+∠FCD＝180°，∴∠FCD＝130°﹣x，∵∠FDO＝∠CDO，∴∠CDF＝∠CDO＝x，∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，∴∠F＝50°；故答案為：50°；（3）不會(huì)發(fā)生變化．設(shè)∠AOB＝x，∠CDO＝y(tǒng)，在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，∴∠OCD＝180°﹣x﹣y，∵∠OCD+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝x+y，∵∠ACE＝∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD＝（x+y），∵∠ECD+∠FCD＝180°，∴∠FCD＝180°﹣（x+y），∵∠FDO＝∠CDO，∴∠CDF＝y(tǒng)，∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，∴∠F＝x，∴∠F＝∠AOB．20．（2022春?無(wú)錫期中）閱讀并解決下列問(wèn)題：（1）如圖①，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，則∠BDC＝120°．（2）如圖②，五邊形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝72°，求∠EFC的度數(shù)．【分析】（1）首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠ABC、∠ACB的度數(shù)和是多少；然后根據(jù)∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，求出∠DBC、∠DCB的度數(shù)和是多少；最后在△BCD中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠BDC的度數(shù)是多少即可．（2）首先根據(jù)AE∥BC，可得∠A+∠B＝180°，再用五邊形的內(nèi)角和減去180°，求出∠AED、∠EDC、∠BCD的度數(shù)和；然后根據(jù)∠EDC＝70°，求出∠AED、∠EDC的度數(shù)和；最后根據(jù)EF平分∠AED，CF平分∠BCD，求出∠FED、∠FCD的度數(shù)和；再用四邊形CDEF的內(nèi)角和減去∠FED、∠FCD、∠EDC的度數(shù)和，求出∠EFC的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，∴∠ABD＝∠DBC，∠DCB＝∠ACD，∴∠DBC+∠DCB＝120°÷2＝60°，∴∠BDC＝180°﹣60°＝120°，故答案為：120°；（2）∵AE∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵五邊形ABCDE的內(nèi)角和是540°，∴∠AED+∠EDC+∠BCD＝540°﹣180°＝360°，∵∠EDC＝72°，∴∠AED+∠BCD＝360°﹣72°＝288°，∵EF平分∠AED，CF平分∠BCD，∴∠FED+∠FCD＝288°÷2＝144°，∴∠EFC＝360°﹣（∠FED+∠FCD+∠EDC）＝360°﹣（144°+72°）＝144°C卷培優(yōu)壓軸卷（限時(shí)70分鐘，每題10分，滿(mǎn)分100分）21．（2022春?洪澤區(qū)校級(jí)月考）如圖①，把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED內(nèi)部點(diǎn)A′的位置，通過(guò)計(jì)算我們知道：2∠A＝∠1+∠2．請(qǐng)你繼續(xù)探索：（1）如果把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部點(diǎn)A′的位置，如圖②，此時(shí)∠A與∠1、∠2之間存在什么樣的關(guān)系？（2）如果把四邊形ABCD沿時(shí)折疊，使點(diǎn)A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部A′、D′的位置，如圖③，你能求出∠A、∠D、∠1與∠2之間的關(guān)系嗎？（直接寫(xiě)出關(guān)系式即可）【分析】（1）連接AA′，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)進(jìn)行分析；（2）根據(jù)平角的定義以及四邊形的內(nèi)角和定理進(jìn)行探討即可．【解答】解：（1）連接AA′，∵∠2＝∠A′AE+∠AA′E，∠1＝∠A′AD+∠AA′D，∴∠1﹣∠2＝2∠A；（2）由圖形折疊的性質(zhì)可知∠1＝180°﹣2∠AEF，∠2＝180°﹣2∠DFE，兩式相加得，∠1+∠2＝360°﹣2（∠AEF+∠DFE），即∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠D），所以，∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°，即：∠A+∠D＝180°+（∠1+∠2）．22．（2022春?濱?？h校級(jí)月考）已知：如圖①，△ABC中，∠BAC，∠B，∠ACB的度數(shù)之比為1：3：5，CD平分∠ACB．直角三角形DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°，△DEF的邊DF在直線(xiàn)AB上，將△DEF繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為∠α，（0°＜∠α＜180°）．完成下列問(wèn)題：（1）△ABC中，求∠BAC，∠B，∠ACB的度數(shù)．（2）△ADC中，∠ADC＝110°．（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖②，當(dāng)∠α＝30°時(shí)，DE∥BC，當(dāng)∠α＝120°時(shí)，DE⊥BC．（4）如圖③，當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，邊DE，DF分別交BC，AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)．∠1與∠2之間有一種始終保持不變的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理，即可求解；（2）由角平分線(xiàn)的定義求出∠DCA的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理，即可計(jì)算；（3）由平行線(xiàn)的性質(zhì)，垂直的定義，即可求解；（4）由三角形的外角的性質(zhì)推出∠ACB＝∠1+∠2+∠EDF，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵180°÷（1+3+5）＝20°，∴∠BAC＝20°×1＝20°，∠B＝20°×3＝60°，∠ACB＝20°×5＝100°．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ACD﹣∠BAC＝110°，故答案為：110．（3）①如圖2當(dāng)DE∥BC時(shí)，∴∠EDA＝∠B＝60°，∵∠E＝90°，∠F＝60°，∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，∴α＝60°﹣30°＝30°，故答案為30．②當(dāng)DE⊥BC時(shí)，∵∠B＝60°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴∠FDA＝180°﹣∠BDE﹣∠EDF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴α＝120°．故答案為：120．（4）如圖3，∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是∠1+∠2＝70°，理由如下：∵∠ACB＝∠2+∠CPN，∠CPN＝∠1+∠EDF，∴∠ACB＝∠1+∠2+∠EDF，∴∠1+∠2＝∠ACB﹣∠EDF＝100°﹣30°＝70°，∴∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是∠1+∠2＝70°．23．（2022春?漣水縣校級(jí)月考）【認(rèn)識(shí)概念】如圖1，在△ABC中，若∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，則AD，AE叫做∠BAC的“三分線(xiàn)”．其中，AD是“近AB三分線(xiàn)”，AE是“遠(yuǎn)AB三分線(xiàn)”．【理解應(yīng)用】（1）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，若∠A的三分線(xiàn)AD與∠B的角平分線(xiàn)BE交于點(diǎn)P，則∠APB＝125°或105°；（2）如圖2，在△ABC中，BO、CO分別是∠ABC的近AB三分線(xiàn)和∠ACB近AC三分線(xiàn)，若BO⊥CO，求∠A的度數(shù)；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在△ABC中，BO、CO分別是∠ABC的遠(yuǎn)BC三分線(xiàn)和∠ACB遠(yuǎn)BC三分線(xiàn)，且∠A＝m°，直線(xiàn)PQ過(guò)點(diǎn)O分別交AC、BC于點(diǎn)P、Q，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠1﹣∠2的度數(shù)（用含m的代數(shù)式表示）．【分析】（1）分兩種情況：①當(dāng)AD為近AB三分線(xiàn)時(shí)，如圖所示，求得，再利用角平分線(xiàn)的定義求得，最后在△ABP中利用三角形的內(nèi)角和定理即可；②當(dāng)AD為遠(yuǎn)AB三分線(xiàn)時(shí)，如圖所示，然后分別根據(jù)三分線(xiàn)和角平分線(xiàn)的定義及三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）利用BO、CO分別是∠ABC近AB三分線(xiàn)和∠ACB近AC三分線(xiàn)，求得∠ABC+∠ACB＝135°，然后再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（3）如圖2，在△ABC中，利用三角形的內(nèi)角和定理求∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，再利用BO、CO分別是∠ABC的遠(yuǎn)BC三分線(xiàn)和∠ACB遠(yuǎn)BC三分線(xiàn)，求得，進(jìn)而在△BCO中利用內(nèi)角和定理求，結(jié)合∠1+∠3＝180°，即可求得∠1﹣∠2．【解答】解：（1）分兩種情況：當(dāng)AD為近AB三分線(xiàn)時(shí)，如圖所示，∠BAC＝60°，∴，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝70°，∴，∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝125°；當(dāng)AD為遠(yuǎn)AB三分線(xiàn)時(shí)，如圖所示，∠BAC＝60°，∴，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝70°，∴，∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝105°，故答案為：125°或105°．（2）如圖1，∵BO、CO分別是∠ABC近AB三分線(xiàn)和∠ACB近AC三分線(xiàn)，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∵BO⊥CO，∴∠BOC＝90°，∴，∴∠ABC+∠ACB＝135°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°．（3）如圖2，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝m°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣m°．∵BO、CO分別是∠ABC的遠(yuǎn)BC三分線(xiàn)和∠ACB遠(yuǎn)BC三分線(xiàn)，∴，∴，在△BCO中，∠BOC+∠4+∠5＝180°，∴∠BOC＝180°﹣（∠4+∠5）＝＝，∴；∵∠1+∠3＝180°，∴＝．24．（2022春?太倉(cāng)市校級(jí)月考）如圖1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）若∠A＝60°，則∠BDC的度數(shù)為120°；（2）若∠A＝α，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．①如圖2，若MN∥AB，求∠NDC﹣∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；②如圖3，若MN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交線(xiàn)段BC，AC于點(diǎn)M，N，試問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠NDC﹣∠MDB的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求出∠NDC﹣∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；③如圖4，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直線(xiàn)MN，與線(xiàn)段AC交于點(diǎn)N，與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠NDC與∠MDB的關(guān)系（用含阿爾法的代數(shù)式表示）．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB，再根據(jù)角平分線(xiàn)定義得到∠BDC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），再利用三角形內(nèi)角和定理得∠BDC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，然后把∠A的度數(shù)代入計(jì)算．（2）①利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求解即可．②利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．③根據(jù)平角的定義，∠NDC+∠BDM＝180°﹣∠BDC即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖1中，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，∵∠A＝60°，∴∠BDC＝90°+×60°＝120°；故答案為：120°；（2）①如圖2中，∵M(jìn)N∥AB，∴∠A＝∠DNC，∠ABD＝∠BDM，∴∠NDC﹣∠BDM＝180°﹣∠A﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣α﹣（180°﹣α）＝90°﹣α．②結(jié)論不變．理由如下：如圖3中，∵∠NDC﹣∠BDM＝∠DMC+∠DCM﹣∠BDM＝∠DBM+∠BDM+∠DCM﹣∠BDM＝∠ABC+∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴結(jié)論成立；③結(jié)論：如圖4中，∠NDC+∠MDB＝90°﹣α．理由如下：∵∠NDC+∠MDB＝180°﹣∠BDC，∠BDC＝90°+α，∴∠NDC+∠MDB＝90°﹣α．25．（2022春?鐘樓區(qū)期中）（1）如圖1，∠BAD的平分線(xiàn)AE與∠BCD的平分線(xiàn)CE交于點(diǎn)E，∠ABC＝60°，∠ADC＝140°，則∠AEC的大小是100°；（2）如圖2，∠BAD的平分線(xiàn)AE與∠BCD的平分線(xiàn)CE交于點(diǎn)E，∠ABC＝α，∠ADC＝β（α＞β），求∠AEC的大?。唬ㄓ煤?，β的代數(shù)式表示）（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝α，∠ABC＝β（α＞β），AD是△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E是AD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，作EF⊥BC與點(diǎn)F，請(qǐng)問(wèn)的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）延長(zhǎng)CD，與AB交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作射線(xiàn)BF，根據(jù)三角形的外角定理得∠ABC+∠BCD+∠DAH＝140°，求得∠BCD+∠DAH，再根據(jù)角平分線(xiàn)定義求得∠BCE+∠BAE，再根據(jù)三角形的外角定理得∠AEC＝∠ABC+∠BAE+∠BCE便可；（2）過(guò)點(diǎn)C作射線(xiàn)AG，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠BCD＝α+β+∠BAD，再由∠BAD的平分線(xiàn)AE與∠BCD的平分線(xiàn)CE交于點(diǎn)E，得∠BCE＝，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BFE＝α+∠BAD，進(jìn)而得∠AEC＝∠BFE﹣∠BCE＝；（3）由三角形內(nèi)角和定理得∠BAC＝180°﹣α﹣β，由角平分線(xiàn)定義得∠BAD＝∠CAD＝90°﹣，由三角形外角定理得∠EDF＝∠B+∠BAD＝90°﹣α+β，根據(jù)直角三角形兩銳角互余定理得∠AEF＝90°﹣∠EDF＝（α﹣β），進(jìn)而便可求得結(jié)果．【解答】解：（1）如圖，延長(zhǎng)CD，與AB交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作射線(xiàn)BF，∵∠ADC＝∠DAH+∠AHD，∠ADC＝140°，∴∠DAH+∠AHD＝140°，∴∠AHD＝∠ABC+∠BCD，∴∠ABC+∠BCD+∠DAH＝140°，∵∠ABC＝60°，∴∠BCD+∠DAH＝80°，∵∠BAD的平分線(xiàn)AE與∠BCD的平分線(xiàn)CE交于點(diǎn)E，∴∠BCE+∠BAE＝40°，∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE，∠AEF＝∠ABE+BAE，∴∠AEC＝∠CEF+∠AEF＝∠BCE+∠CBE+∠ABE+∠AEF＝∠ABC+∠BCE+∠BAE＝60°+40°＝100°，故答案為：100°；（2）過(guò)點(diǎn)C作射線(xiàn)AG，如圖，∴∠BCD＝∠BCG+∠DCG＝∠B+∠BAC+∠D+∠DAC＝α+β+∠BAD，∵∠BAD的平分線(xiàn)AE與∠BCD的平分線(xiàn)CE交于點(diǎn)E，∴∠BAF＝∠BAD，∠BCE＝∠BCD＝，∵∠BFE＝∠B+∠BAF＝α+∠BAD，∴∠AEC＝∠BFE﹣∠BCE＝α+∠BAD﹣（）＝；（3）的值不變，恒為．理由如下：∵∠ACB＝α，∠ABC＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝90°﹣，∴∠EDF＝∠B+∠BAD＝β+90°﹣＝90°﹣α+β，∵EF⊥BC，∴∠AEF＝90°﹣∠EDF＝（α﹣β），∴＝，故的值不變，恒為．26．（2022春?宿豫區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分線(xiàn)于點(diǎn)P，CP與DE相交于點(diǎn)G，∠ACF的平分線(xiàn)CQ與DP相交于點(diǎn)Q．（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，則∠DPC＝115°，∠Q＝25°；（2）若∠A＝50°，當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠DPC、∠Q的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說(shuō)明理由；（3）若∠A＝x°，則∠DPC＝（90+x）°，∠Q＝x°（用含x的代數(shù)式表示）；（4）若△PCQ中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的∠A的度數(shù)．【分析】（1）先利用內(nèi)角和求出∠C，再利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)求出∠PDE和∠PGD，再利用內(nèi)角和求解；（2）仿照（1）的格式求解；（3）仿照（2）的格式求解；（4）分類(lèi)討論求解．【解答】解：（1）∵∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠ACB＝70°，∴∠BCP＝∠ACB＝35°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠PGD＝∠PCB＝35°，∵∠PDE＝∠ADE＝30°，∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝115°；又∵∠ACQ＝∠ACF，∴∠PCQ＝∠ACQ+∠ACP＝（∠ACF+∠ACB）＝90°，∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；故答案為：115°，25°；（2）當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠DPC、∠Q的度數(shù)不發(fā)生變化；理由：由（1）得：∵∠PDE＝∠ADE＝∠B，∠PGD＝∠BCP＝∠ACB，∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝115°；∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°，（3）由（2）得：∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+x°，∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝90°+x°﹣90°＝x°；故答案為：（90+x），x；（4）由（1）得：∠PCQ＝90°，當(dāng)∠PCQ＝3∠Q＝30°時(shí)，∴∠A＝2∠Q＝60°；當(dāng)∠PCQ＝3∠QPC＝30°時(shí)，∠Q＝60°，∴∠A＝2∠Q＝120°；當(dāng)3∠QPC＝∠Q時(shí)，又因?yàn)椤螿PC+∠Q＝90°，∴∠Q＝67.5°，∴∠A＝2∠Q＝135°；當(dāng)∠QPC＝3∠Q時(shí)，又因?yàn)椤螿PC+∠Q＝90°，∴∠Q＝22.5°，∴∠A＝2∠Q＝45°；所以所有符合條件的∠A的度數(shù)為：60°，120°，135°，45°．27．（2022春?海州區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知∠COD＝90°，直線(xiàn)AB與OC交于點(diǎn)B，與OD交于點(diǎn)A，射線(xiàn)OE和射線(xiàn)AF交于點(diǎn)G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，則∠OGA＝18°；（2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝BAD，∠OBA＝36°，則∠OGA＝12°；（3）將（2）中“∠OBA＝36°”改為“∠OBA＝β”，其余條件不變，求∠OGA的度數(shù)（用含β的代數(shù)式表示）；（4）若OE將∠BOA分成∠COE和∠EOD兩部分，∠COE：∠EOD＝1：2，AF也將∠BAD分成∠BAF和∠FAD兩部分，∠BAF：∠FAD＝1：2，∠ABO＝β（30°＜β＜90°），則∠OGA的度數(shù)＝β°（用含β的代數(shù)式表示）．【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可解答．（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可解答．（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可解答．（4）分四種情形，分別求解即可．【解答】解：（1）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，∵AE平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA＝90°，∴∠GAD＝∠BAD＝63°，∠EOA＝∠BOA＝45°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝63°﹣45°＝18°，故答案為：18°；（2）∵∠BOA＝90°，∠GOA＝36°，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∴∠GAD＝42°，∠EOA＝30°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝42°﹣30°＝12°，故答案為：12°；（3）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝β，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝90°+β，∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∴∠GAD＝30°+β，∠EOA＝30°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝β；（4）∵∠COD＝90°，∠COE：∠EOD＝1：2，∴∠EOD＝×∠COD＝×90°＝60°，∵∠BAF：∠FAD＝1：2，∠ABO＝β∴∠FAD＝∠BAD＝（∠COD+∠ABO）＝×（90°+β°），∵∠FAD是△AGO的外角，∴∠FAD＝∠EOD+∠OGA，∴∠OGA＝∠FAD﹣∠EOD＝×（90°+β°）﹣60°＝β°．28．（2022春?鎮(zhèn)江期末）如圖1，在△ABC中，AP平分∠BAC，BP平分∠ABC．（1）若∠C＝40°．①∠P的度數(shù)為110°；②如圖2，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)DE∥BC，交邊AB、AC于點(diǎn)D、E，則∠APE﹣∠BPD＝70°；（2）若∠C＝α°，小明將（1）中的直線(xiàn)DE繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，分別交線(xiàn)段AB，AC于點(diǎn)C，D，如圖3，試問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠APE﹣∠BPD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求出∠APE﹣∠BPD的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣40°＝140°，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠BAP＝CAB，∠ABP＝ABC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；②根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到ADE＝∠ABC，∠DPB＝∠PBC，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠BAP＝CAB，∠ABP＝ABC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）∠根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）①∵∠C＝40°，∴∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣40°＝140°，∵AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，∴∠BAP＝CAB，∠ABP＝ABC，∴∠P＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝180°﹣＝110°，故答案為：110°；②∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠DPB＝∠PBC，∵AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，∴∠BAP＝CAB，∠ABP＝ABC，∴∠ADP＝∠DBP+∠DPB＝2∠DPB，∴∠APE﹣∠BPD＝∠BAP+∠ADP﹣∠DPB＝∠BAP+∠ABP＝（∠CAB+∠ABC）＝140°＝70°，故答案為：70；（2）∠APE﹣∠BPD的度數(shù)不變，∵∠APE﹣∠BPD＝∠ADP+∠DAP﹣∠BPD＝∠ABP+∠BPD+∠DAP﹣∠BPD＝∠ABC+∠BAC＝（180°﹣α）＝90°﹣α∴∠APE﹣∠BPD的度數(shù)不變．29．（2022春?鎮(zhèn)江期末）定義：在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，我們稱(chēng)這兩個(gè)角互為“開(kāi)心角”，這個(gè)三角形叫做“開(kāi)心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，則∠A與∠B互為“開(kāi)心角”，△ABC為“開(kāi)心三角形”．【理解】（1）若△ABC為開(kāi)心三角形，∠A＝144°，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為12°；（2）若△ABC為開(kāi)心