專題02 倍長中線模型（解析版）（人教版）

專題02倍長中線模型【基本模型】【例題精講】例1．（基本模型）在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線，點在邊上，交于點且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點是的中點，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．【答案】（1）；（2）見解析；（3），證明見解析【分析】（1）延長到點，使，連接，即可證明，則可得，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到的取值范圍，進(jìn)而得到中線的取值范圍；（2）延長到點使，連接，由（1）知，則可得，由可知，，由角度關(guān)系即可推出，故，即可得到；（3）延長到，使，連接，即可證明，則可得由，以及角度關(guān)系即可證明點在一條直線上，通過證明≌，即可得到，進(jìn)而通過線段的和差關(guān)系得到．【詳解】（1）延長到點，使，連接，∵是的中線，∴，在和中，，，，∴，∴，在中，，∴，即，∴；（2）證明:延長到點使,連接，由（1）知，∴，，，，，，，，（3），延長到，使，連接，，，，，，點在一條直線上，，∴，∴在和中，，，，∴≌，，∵，．【點睛】本題考查了三角形中線、全等三角形的證明和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平角的概念、線段的和差關(guān)系等，正確的作出輔助線以及綜合運(yùn)用以上知識是解答本題的關(guān)鍵．例2．（培優(yōu)綜合1）閱讀

（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．中線AD的取值范圍是________；

（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；

（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C為頂點作一個70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）2＜AD＜8；（2）證明見解析；（3）BE+DF=EF；理由見解析.【分析】（1）延長AD至E，使DE=AD，由SAS證明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；（2）延長FD至點M，使DM=DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；（3）延長AB至點N，使BN=DF，連接CN，證出∠NBC=∠D，由SAS證明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，證出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS證明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，如圖①所示：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=AD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案為2＜AD＜8；（2）證明：延長FD至點M，使DM=DF，連接BM、EM，如圖②所示：同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM=CF，∵DE⊥DF，DM=DF，∴EM=EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF=EF；理由如下：延長AB至點N，使BN=DF，連接CN，如圖3所示：∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，∴∠NBC=∠D，在△NBC和△FDC中，BN=DF，∠NBC=∠D，BC=DC，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF，在△NCE和△FCE中，CN=CF，∠ECN=∠ECF，CE=CE，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN=EF，∵BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．考點：全等三角形的判定和性質(zhì)；三角形的三邊關(guān)系定理.例3．（培優(yōu)綜合2）已知，△ABC中，BC＝6，AC＝4，M是BC的中點，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE，正方形ACFG，連接EG，MA的延長線交EG于點N，(1)如圖，若∠BAC＝90°，求證：AM＝EG，AM⊥EG；(2)將正方形ACFG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至如圖，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；(3)將正方形ACFG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至B，C，F(xiàn)三點在一條直線上，請畫出圖形，并直接寫出AN的長．【答案】(1)證明見解析；(2)結(jié)論不變；(3)AN的值為．【分析】(1)方法一：如圖1中，直接證明△ABC≌△AEG即可解決問題；方法二：如圖2中，如圖，延長AM至點H，使AM＝MH，連接BH．證明△EAG≌△ABH即可解決問題．(2)如圖3中，結(jié)論不變．證明方法類似方法二．(3)分兩種情形分別求解即可解決問題．【詳解】(1)證明：方法一：如圖1中，∵四邊形ABDE，四邊形ACFG均為正方形，∴∠BAE＝∠CAG＝90°＝∠BAC＝∠EAG，且AB＝AE，AC＝AG，在△ABC和△AEG中，∴△ABC≌△AEG(SAS)，∴BC＝EG，∠CBA＝∠AEG，又∵M(jìn)是AB的中點，∴AM＝BM＝BC，∴AM＝EG，∠MBA＝∠MAB＝∠AEN，∴∠ANE＝180°﹣(∠NEA+∠EAN)＝180°﹣(∠BAM+∠EAN)＝180°﹣(180°﹣90°)＝90°，∴AM⊥EG．方法二：如圖，延長AM至點H，使AM＝MH，連接BH．在△ACM和△HBM中，△ACM≌△HBM(SAS)，∴BH＝AC，∠BHM＝∠CAM，∴AC∥BH，∴∠HBA＝∠CAB＝90°∵四邊形ABDE，四邊形ACFG均為正方形，∴∠BAE＝∠CAG＝90°＝∠BAC＝∠EAG，且AB＝AE，AC＝AG，∴BH＝AG，在△EAG和△ABH中，∴△EAG≌△ABH(SAS)，∴EG＝BC，∠NEA＝∠HAB，∴∠ANE＝180°﹣(∠NEA+∠EAN)＝180°﹣(∠HAB+∠EAN)＝180°﹣(180°﹣90°)＝90°，∴AM⊥EG，∵∠BAC＝90°，AM為BC中點，∴AM＝BC，∴AM＝EG．(2)如圖3中，結(jié)論不變．理由：在△ACM和△HBM中，△ACM≌△HBM(SAS)，∴BH＝AC，∠BHM＝∠CAM，∴AC∥BH，∴∠HBA+∠CAB＝90°，∵四邊形ABDE，四邊形ACFG均為正方形，∴∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAC+∠EAG＝180°，∴∠ABH＝∠EAG，且AB＝AE，AC＝AG，∴BH＝AG，在△EAG和△ABH中，△EAG≌△ABH(SAS)，∴EG＝BC，∠NEA＝∠HAB，∴∠ANE＝180°﹣(∠NEA+∠EAN)＝180°﹣(∠HAB+∠EAN)＝180°﹣(180°﹣90°)＝90°，∴AM⊥EG，∵∠BAC＝90°，AM為BC中點，∴AM＝BC，∴AM＝EG．(3)①如圖4﹣1中，當(dāng)點F在BC的延長線上時，作CH⊥AM于H．易證：△ANG≌△CHA，可得AN＝CH，在Rt△ACM中，∵AC＝4，CM＝3，∴∵?AM?CH＝?AC?CM，∴CH＝，∴AN＝CH＝．②如圖4﹣2中，當(dāng)點F在線段BC上時，同法可得AN＝CH＝.綜上所述，AN的值為．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常壓軸題．例4．（培優(yōu)綜合3）在中，點為邊中點，直線繞頂點旋轉(zhuǎn)，直線于點．直線于點，連接，．（1）如圖1，若點，在直線的異側(cè)，延長交于點．求證：．（2）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，點，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時，，，求的長度．（3）若過點作直線于點．試探究線段、和的關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）；（3）線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)證得再根據(jù)，即可得到，得到．（2）延長與的延長線相交于點．證明，推出，求出的面積即可解決問題．（3）位置關(guān)系的證明比較簡單，數(shù)量關(guān)系分四種情形：當(dāng)直線與線段交于一點時，當(dāng)直線與線段交于一點時，當(dāng)直線與線段的延長線交于一點時，當(dāng)直線與線段的延長線交于一點時，畫出對應(yīng)的圖形，利用三角形和梯形的面積公式分別證明即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖1，直線于點，直線于點，，，，又為邊中點，，在和中，，，．（2）解：如圖2，延長與的延長線相交于點，直線于點，直線于點，，，，，又為中點，，又，∴在和中，，，，，，∵，，，，，，，．（3）位置關(guān)系：，數(shù)量關(guān)系：分四種情況討論∵直線于點．直線于點，直線于點，∴，①如圖3，當(dāng)直線與線段交于一點時，由（1）可知，，即，，，，∵，．②當(dāng)直線與線段交于一點時，如圖，延長交的延長線于點．直線于點，直線于點，，，，又為邊中點，，在和中，，，．，即，，，，∵，．③如圖4，當(dāng)直線與線段的延長線交于一點時．由（2）得：，，，∴，即，．④當(dāng)直線與線段的延長線交于一點時，如圖，延長交的延長線于點．直線于點，直線于點，，，，，又為中點，，又，∴在和中，，，，，∴，即，．綜上所述，線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，以及三角形和梯形的面積公式的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)．例5．（培優(yōu)綜合4）將一大、一小兩個等腰直角三角形拼在一起，，連接．（1）如圖1,若三點在同一條直線上，則與的關(guān)系是；

（2）如圖2，若三點不在同一條直線上,與相交于點，連接,猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，在(2)的條件下作的中點,連接，直接寫出與之間的關(guān)系．【答案】（1）且；（2）；證明見解析；（3）且．【分析】（1）根據(jù)題意利用全等三角形的判定與性質(zhì)以及延長AC交BD于點C’進(jìn)行角的等量代換進(jìn)行分析即可；（2）根據(jù)題意在上截取,連接，并全等三角形的判定證明和，進(jìn)而利用勾股定理得出進(jìn)行分析求解即可；（3）過點B作BM∥OC，交OF的延長線于點M，延長FO交AD于點N，證明?BFM??CFO，?AOD??OBM，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，延長AC交BD于點C’，如下圖：

∵，∴，即，綜上且，故答案為：且；證明:在上截取,連接

在和中在和中即；且，理由如下：過點B作BM∥OC，交OF的延長線于點M，延長FO交AD于點N，∵BM∥OC，∴∠M=∠FOC，∵∠BFM=∠CFO，BF=CF,∴?BFM??CFO（AAS），∴OF=MF，BM=CO，∵DO=CO，∴DO=BM，∵BM∥OC，∴∠OBM+∠BOC=180°，∵∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°，∴∠OBM=∠AOD，又∵AO=BO，∴?AOD??OBM（SAS），∴AD=OM=2OF，∠BOM=∠OAD，∵∠BOM+∠AON=180°-90°=90°，∴∠OAD+∠AON=90°，即OF⊥AD．∴且．【點睛】本題考查等腰直角三角形，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1．如圖所示，在中，交于點，點是中點，EF∥AD交的延長線于點，交于點，若，求證：為的平分線.【答案】見解析【分析】延長FE，截取EH=EG，連接CH，可證△BEG≌△CEH，即可求得∠H=∠BGE，進(jìn)一步證明，最后由平行線的性質(zhì)即可證得∠CAD=∠BAD，即可解題．【詳解】證明：延長FE，截取EH=EG，連接CH，∵E是BC中點，∴BE=CE，在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△CEH（SAS），∴∠BGE=∠H，BG=CH∵BG=CF∴CH=CF∴∴∵EF∥AD，∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠BGE，∴∠CAD=∠BAD，∴AD平分∠BAC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，本題中求證△BEG≌△CEH是解題的關(guān)鍵．2．閱讀理解：（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______．（2）解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點，，交于點，交于點，連接，求證：．（3）問題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點，延長至，使得，求證：．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析．【分析】（1）如圖1延長到點，使得，再連接，由AD為中線，推出BD=CD，可證△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三邊關(guān)系即可，（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG由D為BC中點，BD=CD可證△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中由三邊關(guān)系，（3）如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，由是邊上的中點，得BD=CD，可證△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，【詳解】（1）如圖1延長到點，使得，再連接，∵AD為中線，∴BD=CD，在△ADC和△

EDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=EB=6，，∵，∴，∴，（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG，由D為BC中點，BD=CD，在△FDC和△GDB中，∵CD=BD，∠FDC=∠GDB，F(xiàn)D=GD，∴△FCD≌△GBD（SAS），∴FC=GB，∵，DF=DG，∴EF=EG，在△BEG中EG<EB+BG，即，（3）如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，由是邊上的中點，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠GDB，AD=GD，∴△ACD≌△GBD（SAS），∴AC=GB，∠DAC=∠G，∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G=∠CAD．【點睛】本題考查中線加倍，三角形全等，三邊關(guān)系，垂直平分線，等腰三角形，掌握中線加倍構(gòu)造三角形，用三角形全等轉(zhuǎn)化等量關(guān)系，用三邊關(guān)系求取值范圍，用垂直平分線轉(zhuǎn)化線段，用等腰三角形證角是解題關(guān)鍵，3．如圖所示，，是的中點，，，求證．【答案】見解析【分析】延長AM到F，使MF＝AM，交CD于點N，構(gòu)造平行四邊形，利用條件證明△ABF≌△CAD，可得出∠BAF＝∠ACD，再結(jié)合條件可得到∠ANC＝90°，可證得結(jié)論．【詳解】證明：延長AM到F，使MF＝AM，交CD于點N，∵BM＝EM，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴BF＝AE，∠ABF＋∠BAE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAD＋∠BAE＝180°，∴∠ABF＝∠CAD，∵BF＝AE，AD＝AE，∴BF＝AD，在△ABF和△CAD中，，∴△ABF≌△CAD（SAS），∴∠BAF＝∠ACD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠CAF＝90°，∴∠ACD＋∠CAF＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AM⊥CD．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，通過輔助線構(gòu)造平行四邊形證明三角形全等得到∠BAF＝∠ACD是解題的關(guān)鍵．4．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在CB上，連接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD．（1）求證：AD=AE；（2）若點F為CD中點，AF交BE于點G，求∠AGE的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）90°．【分析】（1）根據(jù)∠BAC=90°，EA⊥AD，可得∠BAD=∠CAE，然后根據(jù)AB=AC，∠ACE=∠ABD，可證明△ABD≌△ACE，繼而可得出AD=AE；（2）延長AF至M，使FM=AF，連接MC，易證△ADF≌△MCF，可得出AD=AE=CM，易證∠BAE=∠ACM，從而證得△ABE≌△CAM，通過∠ABG=∠CAF，得到∠AGE=90°．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=90°，EA⊥AD，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴AD=AE；（2）延長AF至M，使FM=AF，連接MC，在△ADF與△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（SAS），∴AD=CM，∠DAF=∠M，∴AD∥CM，∴∠ACM+∠DAC=180°，∵△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∴AD=AE=CM，∵∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAC+∠DAC+∠CAE=180°，∴∠BAE+∠DAC=180°，∴∠BAE=∠ACM，在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（SAS），∴∠ABG=∠CAF，∵∠CAF+∠BAG=90°，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠AGB=∠AGE=90°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用了三角形全等的判定和性質(zhì)解題．正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．5．【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．小明的解法如下：延長AD到點E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中∴△ABD?△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索應(yīng)用】如圖②，ABCD，AB＝25，CD＝8，點E為BC的中點，∠DFE＝∠BAE，求DF的長為．（直接寫答案）【應(yīng)用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點，求證：AP⊥DP．【答案】觀察發(fā)現(xiàn)：EC，2，12，1，6；探索應(yīng)用：17；應(yīng)用拓展：見解析【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：由“SAS”可證△ABD≌△ECD，可得AB=EC，由三角形的三邊關(guān)系可求解；探索應(yīng)用：由“SAS”可證△ABE≌△HCE，可得AB=CH=25，即可求解；應(yīng)用拓展：由“SAS”可證△BPA≌△EPF，可得AB=FE，∠PBA=∠PEF，由“SAS”可證△ACD≌△FED，可得AD=FD，由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】觀察發(fā)現(xiàn)解：如圖①，延長AD到點E，使DE=AD，連接CE，在△ABD與△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=EC，在△AEC中，EC-AC＜AE＜EC+AC，而AB=EC=7，AC=5，∴2＜AE＜12．又∵AE=2AD，∴1＜AD＜6，故答案為：EC，2，12，1，6；探索應(yīng)用解：如圖2，延長AE，CD交于H，∵點E是BC的中點，∴BE=CE，∵CD∥AB，∴∠ABE=∠ECH，∠H=∠BAE，∴△ABE≌△HCE（AAS），∴AB=CH=25，∴DH=CH-CD=17，∵∠DFE=∠BAE，∴∠H=∠DFE，∴DF=DH=17，故答案為：17；應(yīng)用拓展證明：如圖2，延長AP到點F，使PF=AP，連接DF，EF，AD，在△BPA與△EPF中，，∴△BPA≌△EPF（SAS），∴AB=FE，∠PBA=∠PEF，∵AC=BC，∴AC=FE，在四邊形BADE中，∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，∵∠BAC=60°，∠CDE=120°，∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°．∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠ACD=∠DEB+∠EBA，∴∠ACD=∠FED，在△ACD與△FED中，，∴△ACD≌△FED（SAS），∴AD=FD，∵AP=FP，∴AP⊥DP．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，證得三角形全等是解答此題的關(guān)鍵．【課后訓(xùn)練】1．如圖，中，為的中點，點為延長線上一點，交射線于點，連接，則與的大小關(guān)系為A． B． C． D．以上都有可能【答案】C【分析】如圖，延長ED到T，使得DT＝DE，連接CT，TF，證明△EDB≌△TDC（SAS），推出BE＝CT，由CT＋CF＞FT，可得BE＋CF＞EF．【詳解】解：如圖，延長到，使得，連接，．，，，在和中，，，，，，故選：．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．2．在中，，于點，點為的中點，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接CE，并延長CE，交BA的延長線于點N，根據(jù)已知條件和平行四邊形的性質(zhì)可證明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知條件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度數(shù)．【詳解】解：連接CE，并延長CE，交BA的延長線于點N，∵四邊形ABCF是平行四邊形，∴AB∥CF，AB＝CF，∴∠NAE＝∠F，∵點E是的AF中點，∴AE＝FE，在△NAE和△CFE中，，∴△NAE≌△CFE（ASA），∴NE＝CE，NA＝CF，∵AB＝CF，∴NA＝AB，即BN＝2AB，∵BC＝2AB，∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，∴DE＝NC＝NE，∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，∴∠B＝80°．故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，在利用等腰三角形的性質(zhì)解答．3．在△ABC中，AB＝AC，點D是△ABC內(nèi)一點，點E是CD的中點，連接AE，作EF⊥AE，若點F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝．（用α含的式子表示）【答案】180°﹣α．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AF＝FM，F(xiàn)B＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長AE至M，使EM＝AE，連接AF，F(xiàn)M，DM，∵點E是CD的中點，∴DE＝CE，在△AEC與△MED中，，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵點F在BD的垂直平分線上，∴FB＝FD，在△MDF與△ABF中，，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，故答案為：180°﹣α．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．請閱讀下列材料：問題：在四邊形ABCD中，M是BC邊的中點，且∠AMD=90°（1）如圖1，若AB與CD不平行，試判斷AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系；小雪同學(xué)的思路是：延長DM至E使DM=ME，連接AE，BE，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決請你參考小雪的思路，在圖1中把圖形補(bǔ)充完整，并直接寫出上面問題AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系：（2）如圖2，若在原條件的基礎(chǔ)上，增加AM平分∠BAD，（1）中結(jié)論還成立嗎？若不成立，寫出AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）AB+CD＞AD；（2）不成立，AB+CD=AD；證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件作出圖形，利用DM=EM、BM=MC便可得到是四邊形BECE是平行四邊形，再結(jié)合EM=DM,且∠AMD=90°，得到等腰三角形，最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系求解．（2）增加AM平分∠BAD，便可以得到點A.B.E必然共線，故（1）的結(jié)論不成立，通過（1）的分析，邊可以證明其數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1）AB與CD不平行根據(jù)題意,延長DM使DM=EM，連接BE，AE，EC，BD由于M是BC的中點，故BM=MC∴四邊形BECE是平行四邊形∴CD=BE又EM=DM，且∠AMD=90°∴是等腰三角形∴AD=AB在中，(2)若在原條件的基礎(chǔ)上，增加AM平分∠BAD則（1）的結(jié)論不成立關(guān)系為：證明：由于M是BC的中點，故BM=MC∴四邊形BECE是平行四邊形，∴CD=BE又EM=DM,且∠AMD=90°∴是等腰三角形∴AD=AE又AM平分∠BAD∴點A.B.E必然共線∴【點睛】本題比較綜合，涉及到畫圖能力，平行四邊形判定，等腰三角形性質(zhì)應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系等，解題的關(guān)鍵在于熟悉各個知識點的靈活運(yùn)用．5．如圖所示，在中，交于點，點是中點，交的延長線于點，交于點，若，求證：.【答案】見解析【分析】延長GE至Q，使EQ=EG，連接CQ，根據(jù)SAS證△BEG≌△CEQ，推出BG=CQ，∠BGE=∠Q，又由BG=CF得CQ=CF，所以得∠F=∠Q，則∠BGE=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BGE=∠BAD，∠F=∠CAD，于是得∠BAD=∠CAD，所以結(jié)論得證.【詳解】證明：：延長GE至Q，使EQ=EG，連接CQ.∵點E是BC中點，∴BE=CE，在△BEG和△CEQ中，∵GE=QE，∠BEG=∠CEQ，BE=CE∴△BEG≌△CEQ(SAS)，∴BG=CQ，∠BGE=∠Q，又∵BG=CF，∴CQ=CF，∴∠F=∠Q，∴∠BGE=∠F，∵EF∥AD，∴∠BGE=∠BAD，∠F=∠CAD，∴∠BAD=∠CAD，∴.【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和角平分線的判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，正確作輔助線是解此題的關(guān)鍵.6．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別是AC，AB上的動點，且AE＝CD，BD交CE于點P．（1）如圖1，求證：∠BPC＝120°；（2）點M是邊BC的中點，連接PA，PM，延長BP到點F，使PF＝PC，連接CF，①如圖2，若點A，P，M三點共線，則AP與PM的數(shù)量關(guān)系是．②如圖3，若點A，P，M三點不共線，問①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①AP＝2PM；②成立，證明見解析【分析】（1）由“SAS”可證△AEC≌△CDB，得到∠ACE＝∠CBD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計算，得出結(jié)論；（2）①由等邊三角形的性質(zhì)和已知條件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°，得出PB＝PC，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠PBC＝∠PCB＝30°，得出PC＝2PM，證出∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，得出AP＝PC，即可得出AP＝2PM；②延長PM＝MH，連接CH，由“SAS”可證△ACF≌△BCP，可得AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，由“SAS”可證△CMH≌△BMP，可得CH＝BP＝AF，∠HCM＝∠PBM，由“SAS”可證△AFP≌△HCP，可得AP＝PN＝2PM．【詳解】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（SAS），∴∠ACE＝∠CBD，∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°，∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°，∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°；（2）①解：AP＝2PM，理由如下：∵△ABC為等邊三角形，點M是邊BC的中點，∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，∵AM⊥BC，點M是邊BC的中點，∴PB＝PC，∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PM，∠ACP＝30°，∴∠PAC＝∠PCA，∴PA＝PC，∴AP＝2PM，故答案為：AP＝2PM；②